Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

131 soru

Tüm türler131Çoktan seçmeli115Sayısal16
Soru 1Soru →
Pozitif aa ve bb tam sayıları için
a!=6⋅b!a! = 6 \cdot b!
olduğuna göre, a+ba + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

En küçük a+ba+b toplamı 4 olarak bulunur.
Verilen a!=6⋅b!a! = 6 \cdot b! eşitliği b=1b=1 için a!=6⋅1=6=3!a! = 6 \cdot 1 = 6 = 3! den a=3a=3 sonucunu verir ve en küçük toplamı 3+1=43+1=4 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen a!=6⋅b!a! = 6 \cdot b! eşitliğini sağlayan pozitif tam sayı çiftlerini bulmak için faktöriyel özelliklerini kullanalım.
a!a! ve b!b! ifadeleri pozitif tam sayıların faktöriyelleridir.
Çözüm kümesini doğru tanımlamak için.
2
66 sayısının 3!3! değerine eşit olduğunu göz önüne alarak b=1b=1 değerini deneyelim.
a!=6⋅1!=6=3!a! = 6 \cdot 1! = 6 = 3! eşitliğinden a=3a = 3 bulunur.
Eşitliği sağlayan en küçük pozitif tam sayı çiftini belirlemek için.
3
a!=n⋅(n−1)!a! = n \cdot (n-1)! kuralından hareketle 66 çarpanını 5!5! ile çarparak ardışık yazalım.
a!=6⋅5!=6!a! = 6 \cdot 5! = 6! eşitliğinden a=6a = 6 ve b=5b = 5 bulunur.
Diğer olası pozitif tam sayı çiftini bulmak için.
4
Elde edilen (3,1)(3, 1) ve (6,5)(6, 5) çiftleri için a+ba+b toplamlarını hesaplayıp en küçüğünü belirleyelim.
3+1=43+1=4 ve 6+5=116+5=11 toplamlarından en küçük olanı 44'tür.
Soruda istenen en küçük toplamı bulmak için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel sadeleştirmesi ve ardışık çarpan analizi
Soru 2Soru →
pp, qq ve rr birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,
p⋅q+r=41p \cdot q + r = 41
eşitliği veriliyor.

Buna göre, p⋅q⋅rp \cdot q \cdot r çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 418

Cevap

En büyük çarpım değeri 418418 olarak bulunur.
Verilen eşitliği sağlayan birbirinden farklı asal sayı üçlüleri arasından elde edilebilecek en büyük çarpım değeri 418418 sayısıdır. Bu değer, p=2p=2, q=11q=11 ve r=19r=19 (veya yer değiştirmiş halleri) asal sayıları için 2⋅11+19=412 \cdot 11 + 19 = 41 eşitliğinin sağlanmasıyla elde edilir ve çarpımları 2⋅11⋅19=4182 \cdot 11 \cdot 19 = 418 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen p⋅q+r=41p \cdot q + r = 41 eşitliğinde 4141 sayısı bir tek sayıdır. İki sayının toplamının tek sayı olabilmesi için bu sayılardan birinin çift, diğerinin tek olması gerekir. Buradan iki durum ortaya çıkar.
Durum 1: p⋅qp \cdot q çift ve rr tek olmalıdır. Durum 2: p⋅qp \cdot q tek ve rr çift olmalıdır.
Toplamın teklik-çiftlik kurallarını kullanarak olası durumları belirlemek.
2
Durum 1'i inceleyelim: p⋅qp \cdot q çift ise, pp ve qq asal sayılarından en az biri çift asal sayı olan 22 olmalıdır. p=2p = 2 alalım (çarpım simetrik olduğundan q=2q = 2 durumu da aynı sonuçları verir). Bu durumda denklem 2q+r=412q + r = 41 halini alır. qq asal sayısına değerler vererek r=41−2qr = 41 - 2q değerinin de asal sayı olmasını sağlayacak durumları test edelim:
- q=3  ⟹  r=35q = 3 \implies r = 35 (asal değil)
- q=5  ⟹  r=31q = 5 \implies r = 31 (asal)   ⟹  \implies Çarpım: 2⋅5⋅31=3102 \cdot 5 \cdot 31 = 310
- q=7  ⟹  r=27q = 7 \implies r = 27 (asal değil)
- q=11  ⟹  r=19q = 11 \implies r = 19 (asal)   ⟹  \implies Çarpım: 2⋅11⋅19=4182 \cdot 11 \cdot 19 = 418
- q=17  ⟹  r=7q = 17 \implies r = 7 (asal)   ⟹  \implies Çarpım: 2⋅17⋅7=2382 \cdot 17 \cdot 7 = 238
- q=19  ⟹  r=3q = 19 \implies r = 3 (asal)   ⟹  \implies Çarpım: 2⋅19⋅3=1142 \cdot 19 \cdot 3 = 114
Durum 1 için mümkün olan en büyük çarpım değeri 418418 olarak elde edilir.
Çift asal sayı özelliğinden yararlanarak olası tüm üçlüleri bulmak.
3
Durum 2'yi inceleyelim: p⋅qp \cdot q tek ve rr çift olmalıdır. Çift olan tek asal sayı 22 olduğundan r=2r = 2 olmalıdır. Bu durumda denklem p⋅q+2=41  ⟹  p⋅q=39p \cdot q + 2 = 41 \implies p \cdot q = 39 olur. Çarpımları 3939 olan asal sayı çifti 33 ve 1313 olduğundan {p,q,r}={3,13,2}\{p, q, r\} = \{3, 13, 2\} elde edilir.
Bu durum için çarpım değeri 3⋅13⋅2=783 \cdot 13 \cdot 2 = 78 olur.
Çift olan tek asal sayının 22 olması bilgisini kullanarak diğer durumu analiz etmek.
4
Elde edilen tüm çarpım değerlerini (310310, 418418, 238238, 114114, 7878) karşılaştırarak en büyüğünü belirleyelim.
En büyük değer 418418'dir.
Soru kökünde istenen maksimum değeri seçmek.

Anahtar Kavram

Asal sayıların tanımı, çift asal sayı olan 22 sayısının özel durumu ve teklik-çiftlik kurallarının birlikte uygulanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru →
Sıfırdan farklı pp, qq ve rr gerçel sayıları için
p−q>0p - q > 0
q−rp⋅r<0\frac{q - r}{p \cdot r} < 0
p⋅q3⋅r5>0p \cdot q^3 \cdot r^5 > 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi daima pozitif bir gerçel sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: p⋅rr−q\frac{p \cdot r}{r - q}

Cevap

p⋅rr−q\frac{p \cdot r}{r - q} ifadesi daima pozitiftir.
Verilen eşitsizliklerden p⋅q⋅r>0p \cdot q \cdot r > 0 ve p>qp > q elde edilir. Bu koşulları sağlayan iki durum vardır: Tüm değişkenlerin pozitif olduğu (p>q>0,r>q>0p > q > 0, r > q > 0) durum ve iki değişkenin negatif olduğu (p>0>q>rp > 0 > q > r) durum. p⋅rr−q\frac{p \cdot r}{r - q} ifadesi incelendiğinde; tümü pozitifken pay (p⋅rp \cdot r) ve payda (r−qr - q) pozitif olduğundan sonuç pozitif olur. İkinci durumda ise pay negatif (p⋅r<0p \cdot r < 0) ve payda negatif (r−q<0r - q < 0) olduğundan sonuç yine pozitif olur. Dolayısıyla bu ifade daima pozitiftir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitsizliklerden değişkenlerin işaret çarpımını belirleme
p⋅q⋅r>0p \cdot q \cdot r > 0 elde edilir.
Tek kuvvetli ifadelerin işareti tabanlarının işaretiyle aynı olduğundan çarpımın işareti korunur.
2
Değişkenlerin alabileceği işaret durumlarını ve sıralamaları analiz etme
İki olası durum bulunur: 1) p>q>0p > q > 0 ve r>q>0r > q > 0; 2) p>0>q>rp > 0 > q > r.
p>qp > q ve q−rp⋅r<0\frac{q - r}{p \cdot r} < 0 koşullarının p⋅q⋅r>0p \cdot q \cdot r > 0 ile tutarlı olması için bu iki durumun geçerli olması gerekir.
3
Her iki durum için doğru seçenekteki ifadenin işaretini kontrol etme
Her iki durumda da p⋅rr−q\frac{p \cdot r}{r - q} ifadesinin pay ve paydasının işaretleri aynı olduğundan sonuç daima pozitif çıkar.
Birinci durumda pay ve payda pozitif, ikinci durumda ise pay ve payda negatiftir. Negatifin negatife bölümü pozitif olduğundan sonuç daima pozitiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Çarpma ve Bölme Özellikleri
Soru 4Soru →
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
x!(y−1)!=12y+12\frac{x!}{(y-1)!} = 12y + 12
eşitliğini sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Eşitliği sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı 17'dir.
Verilen denklem düzenlendiğinde y(y+1)…x=12(y+1)y(y+1)\dots x = 12(y+1) elde edilir. Her iki taraf y+1y+1 ile sadeleştirildiğinde geriye kalan ardışık çarpanların çarpımının 12 olması gerekir. Bu durum y=12y=12 (tek çarpanlı durum, x=13x=13) veya y(y+2)=12y(y+2)=12 (iki çarpanlı durum, y=1y=1 ve x=4x=4) olmak üzere iki farklı xx değeri üretir. Bu değerlerin toplamı da 17'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafını ortak çarpan parantezine alın.
12y+12=12(y+1)12y + 12 = 12(y+1) olur. Böylece denklem x!(y−1)!=12(y+1)\frac{x!}{(y-1)!} = 12(y+1) haline gelir.
Denklemi sadeleştirmek ve çarpanları daha net görmek için sağ tarafı düzenleriz.
2
xx ve y−1y-1 arasındaki büyüklük ilişkisini analiz ederek faktöriyeli sadeleştirin.
x<y−1x < y-1 durumunda pozitif tam sayılarda çözüm yoktur. x≥yx \ge y için x!=x(x−1)…y(y−1)!x! = x(x-1)\dots y(y-1)! ifadesi denklemde yerine yazıldığında, sol taraf y(y+1)…xy(y+1)\dots x ardı��ık çarpımına dönüşür.
Pay ve paydadaki (y−1)!(y-1)! ifadelerini sadeleştirmek için faktöriyel açılımını kullanırız.
3
Elde edilen ardışık çarpım denkleminde terim sayısına göre çözümleri belirleyin.
y(y+1)…x=12(y+1)y(y+1)\dots x = 12(y+1) denkleminde her iki taraf y+1y+1 ile sadeleştiğinde geriye kalan çarpanların çarpımı 12 olmalıdır. İki terimli durumda (x=y+1x = y+1) y=12y = 12 ve dolayısıyla x=13x = 13 bulunur. Dört terimli durumda (x=y+3x = y+3) y(y+2)(y+3)=12y(y+2)(y+3) = 12 eşitliğinden y=1y=1 ve dolayısıyla x=4x=4 bulunur. Diğer terim sayıları için pozitif tam sayılarda çözüm yoktur.
Sadeleşen denklemdeki ardışık sayı çarpımlarının çarpan analizini yaparak olası tüm (x,y)(x, y) ikililerini buluruz.
4
Bulunan farklı xx değerlerini toplayın.
x=4x = 4 ve x=13x = 13 değerlerinin toplamı 4+13=174 + 13 = 17 olarak bulunur.
Soru kökünde bizden istenen farklı xx değerlerinin toplamını elde etmek için bu işlemi yaparız.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren denklemlerde ardışık çarpan analizi ve sadeleştirme teknikleri.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 5Soru →
aa, bb ve cc negatif tam sayılardır.
a⋅[b−c⋅(a−b)]=15a \cdot [b - c \cdot (a - b)] = 15
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

En büyük a + b + c toplamı -6 olur.
Negatif tam sayılarda toplamın en büyük olması için sayıların sıfıra en yakın (mutlak değerce en küçük) olması gerekir. Denklemi çarpanlarına ayırıp a = -3 durumunu incelediğimizde elde edilen en büyük toplam değeri -3 + (-1) + (-2) = -6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin sayı kümesini ve a değerinin alabileceği olası bölenleri belirleme.
a, b ve c negatif tam sayılar olduğundan, parantez içindeki ifade de bir tam sayıdır. Dolayısıyla a sayısı 15'in negatif bir böleni olmalıdır. Buradan a sayısı -1, -3, -5 veya -15 değerlerini alabilir.
Çözüm kümesini daraltmak ve her durumu ayrı ayrı incelemek için.
2
a = -1 durumunun incelenmesi.
a = -1 için denklem b - c(-1 - b) = -15 haline gelir. Düzenlendiğinde (b + 1)(c + 1) = -14 elde edilir. b ve c negatif tam sayılar olduğundan b + 1 <= 0 ve c + 1 <= 0 olmalıdır. İki negatif olmayan sayının çarpımı negatif olamayacağından bu durumdan çözüm gelmez.
a = -1 için negatif tam sayılarda çözüm olup olmadığını kontrol etmek için.
3
a = -3 durumunun incelenmesi.
a = -3 için denklem b - c(-3 - b) = -5 haline gelir. Düzenlendiğinde (b + 3)(c + 1) = -12 elde edilir. c <= -1 olduğundan c + 1 <= 0 olmalıdır. Çarpımın negatif çıkması için b + 3 > 0 olmalıdır. Buradan b = -1 veya b = -2 olabilir. b = -1 için c = -2 olur ve a + b + c = -6 elde edilir. b = -2 için c = -3 olur ve a + b + c = -8 elde edilir.
a = -3 için olası çözümleri ve toplamları hesaplamak için.
4
a = -5 ve a = -15 durumlarının incelenmesi.
a = -5 için (b + 5)(c + 1) = 2 denklemi elde edilir. Buradan en büyük toplam -14 olarak bulunur. a = -15 için (b + 15)(c + 1) = 14 denklemi elde edilir. Buradan en büyük toplam -40 olarak bulunur.
Diğer olası a değerleri için elde edilebilecek en büyük toplamları karşılaştırmak amacıyla bulmak için.
5
Elde edilen toplamlar arasından en büyük olanı seçme.
Olası toplamlar kümesi {-6, -8, -14, -40, -46} şeklindedir. Bu sayılar arasındaki en büyük değer -6'dır.
Soruda istenen en büyük toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Negatif tam sayılarda dört işlem, ortak çarpan parantezine alma ve çarpanlara ayırma yoluyla denklem çözümü.
Soru 6Soru →

Rakamları toplamının 4 katına eşit olan iki basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Rakamları toplamının 4 katına eşit olan iki basamaklı 4 farklı doğal sayı vardır.
İki basamaklı ABAB doğal sayısı çözümlendiğinde 10A+B10A + B ifadesi elde edilir. Bu ifade rakamları toplamının 4 katına eşitlendiğinde 10A+B=4(A+B)10A + B = 4(A + B) denklemi elde edilir. Denklem çözüldüğünde 2A=B2A = B ilişkisine ulaşılır. AA onlar basamağında olduğu için sıfırdan farklı bir rakam, BB ise birler basamağında bir rakam olmalıdır. Bu şartlara uygun (A,B)(A, B) ikilileri (1, 2), (2, 4), (3, 6) ve (4, 8) olup, oluşturulan iki basamaklı sayılar 12, 24, 36 ve 48 olmak üzere 4 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı ABAB doğal sayısını çözümleyin ve verilen koşula göre denklemi kurun.
10A+B=4(A+B)10A + B = 4(A + B)
İki basamaklı bir sayının onlar basamağındaki rakamın basamak değeri 10, birler basamağındaki rakamın basamak değeri 1'dir.
2
Denklemin sağ tarafındaki çarpma işlemini dağıtın ve benzer terimleri bir araya getirerek denklemi sadeleştirin.
10A+B=4A+4B⇒6A=3B⇒2A=B10A + B = 4A + 4B \Rightarrow 6A = 3B \Rightarrow 2A = B
Değişkenler arasındaki ilişkiyi bulmak için terimleri sadeleştirmemiz gerekir.
3
2A=B2A = B eşitliğini sağlayan AA ve BB rakam değerlerini bulun.
A=1A = 1 için B=2B = 2, A=2A = 2 için B=4B = 4, A=3A = 3 için B=6B = 6, A=4A = 4 için B=8B = 8
AA ve BB birer rakam olmalı ve ABAB iki basamaklı sayı olduğundan AA sıfırdan farklı olmalıdır.
4
Bulunan değerlere karşılık gelen iki basamaklı sayıları listeleyin ve toplam sayıyı belirleyin.
Koşulu sağlayan sayılar 12, 24, 36 ve 48'dir. Toplamda 4 farklı sayı vardır.
A≥5A \ge 5 için BB rakam olamayacağından (örneğin A=5A=5 için B=10B=10) başka çözüm yoktur.

Anahtar Kavram

İki basamaklı bir sayının basamak analizi yapılarak AB=10A+BAB = 10A + B şeklinde çözümlenmesi ve elde edilen cebirsel denklemin rakam olma kurallarına göre incelenmesi.
Soru 7Soru →
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
60!2x⋅15y\frac{60!}{2^x \cdot 15^y}
ifadesi bir tek tam sayıya eşit olduğuna göre, x+yx + y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

70
İfadenin bir tek tam sayıya eşit olması, sonucun çift olmaması yani içinde 2 çarpanı bulunmaması anlamına gelir. Bu yüzden paydadaki 2x2^x ifadesi, paydaki 60!60! sayısının içindeki tüm 2 çarpanlarını sadeleştirmelidir. 60!60! içinde 60/2=3060/2 = 30, 30/2=1530/2 = 15, 15/2=715/2 = 7, 7/2=37/2 = 3, 3/2=13/2 = 1 olmak üzere toplam 30+15+7+3+1=5630+15+7+3+1 = 56 adet 2 çarpanı vardır. Dolayısıyla x=56x = 56 olmalıdır. Diğer taraftan, 15y=3y⋅5y15^y = 3^y \cdot 5^y çarpanının derecesi 60!60! içindeki 3 ve 5 çarpanlarının sayısını aşamaz. 60!60! içinde 28 adet 3 ve 14 adet 5 çarpanı bulunduğundan, daha az olan 5 çarpanının sayısı sınırı belirler ve yy en fazla 14 olabilir. Böylece x+yx+y toplamının en büyük değeri 70 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bölme işleminin sonucunun bir tek tam sayı olması için sonuçta 2 çarpanı kalmamalıdır. Bu durum, paydadaki 2x2^x teriminin paydaki 60!60! sayısındaki tüm 2 çarpanlarını tam olarak sadeleştirmesini gerektirir. Bu yüzden xx değeri, 60!60! içindeki toplam 2 çarpanı sayısına eşit olmalıdır.
x=56x = 56 bulunur.
60!60! içindeki 2 çarpanı sayısını bulmak için ardışık bölme yöntemi uygulanır: 60/2=3060/2 = 30, 30/2=1530/2 = 15, 15/2=715/2 = 7, 7/2=37/2 = 3, 3/2=13/2 = 1. Bölümlerin toplamı 30+15+7+3+1=5630 + 15 + 7 + 3 + 1 = 56 olur.
2
Paydadaki 15y15^y ifadesi, asal çarpanlarına ayrılarak 3y⋅5y3^y \cdot 5^y şeklinde yazılır. İfadenin bir tam sayı olabilmesi için 60!60! içindeki 3 ve 5 çarpanlarının sayısı, paydadaki 3y3^y ve 5y5^y çarpanlarından fazla veya onlara eşit olmalıdır.
yy değeri hem 3 hem de 5 çarpanının sınırını aşmamalıdır.
15 çarpanı elde etmek için hem 3 hem de 5 çarpanına aynı anda ihtiyaç duyulur.
3
60!60! sayısı içindeki 3 ve 5 çarpanlarının sayısı ardışık bölme ile hesaplanır.
3 çarpanı sayısı 28, 5 çarpanı sayısı 14 olarak bulunur.
3 çarpanı için: 60/3=2060/3 = 20, 20/3=620/3 = 6, 6/3=26/3 = 2 olup toplam 20+6+2=2820 + 6 + 2 = 28 adettir. 5 çarpanı için: 60/5=1260/5 = 12, 12/5=212/5 = 2 olup toplam 12+2=1412 + 2 = 14 adettir.
4
yy değerinin alabileceği en büyük sınır belirlenir.
y=14y = 14 olmalıdır.
3y⋅5y3^y \cdot 5^y ifadesinde 5 çarpanının sayısı (14) daha az olduğu için sınır belirleyicidir (y≤14y \le 14 olmalıdır).
5
x+yx + y toplamının en büyük değeri hesaplanır.
x+y=56+14=70x + y = 56 + 14 = 70 elde edilir.
xx değeri tam olarak 56 olmalı ve yy değeri en fazla 14 olabilmelidir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren ifadelerde asal çarpanların derecesinin bulunması ve tam bölünebilme kuralları.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 8Soru →
Sisteme girilen x,yx, y ve zz tam sayıları için
x⋅y+y⋅zx \cdot y + y \cdot z
işleminin sonucunun bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu tam sayılarla oluşturulan aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x+y+zx + y + z

Cevap

Değeri her zaman bir çift sayı olan ifade üç değişkenin toplamını veren ifadedir.
Verilen ifadeden ortak paranteze alma yöntemiyle ikinci değişkenin tek sayı, birinci ve üçüncü değişkenlerin toplamının ise tek sayı olduğu anlaşılır. İki tek sayının toplamı her zaman çift sayı olacağından, birinci ve üçüncü değişkenin toplamı ile ikinci değişkenin toplamı her zaman çift bir sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi çarpanlarına ayırma
y⋅(x+z)y \cdot (x + z) ifadesi elde edilir.
Ortak çarpan parantezine alarak ifadenin yapısını basitleştirmek ve çarpanların paritelerini incelemek amacıyla bu işlem yapılır.
2
Çarpımın tek sayı olma durumunu analiz etme
yy sayısının tek sayı ve (x+z)(x + z) ifadesinin tek sayı olduğu belirlenir.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da ayrı ayrı tek sayı olması gerektiğinden bu sonuca varılır.
3
Toplamların paritelerini ve seçenekleri inceleme
x+y+zx + y + z toplamının her zaman çift sayı olduğu görülür.
(x+z)(x + z) ifadesinin tek, yy sayısının da tek olduğu bilindiğinden; bu iki ifadenin toplamı olan (x+z)+y=x+y+z(x + z) + y = x + y + z ifadesi her zaman çift sayı olur (Tek + Tek = Çift).

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların çarpım ve toplam özellikleri
Soru 9Soru →

Ardışık 15 tek tam sayının toplam�� AA, bu sayıların en büyüğünden sonra gelen ardışık 10 çift tam sayının toplamı ise BB'dir.

B−A=135B - A = 135

olduğuna göre, bu 25 sayının tamamı içinde en büyük sayı ile en küçük sayının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 61

Cevap

En b��yük sayı ile en küçük sayının toplamı 61'dir.
İlk sayı xx (tek sayı) olduğunda, ardışık 15 tek sayının toplamı A=15x+210A = 15x + 210 olur. Bu sayıların en büyüğü x+28x+28 olup tek sayıdır. Dolayısıyla bu sayıdan sonra gelen ilk çift sayı x+29x+29 olur. Ardışık 10 çift sayının toplamı ise B=10x+380B = 10x + 380 bulunur. B−A=135B - A = 135 denklemi çözüldüğünde x=7x = 7 elde edilir. En küçük sayı 77, en büyük sayı ise 7+47=547+47=54 olur. Bu iki sayının toplamı 61'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Sayı dizilerini tek bir değişken (xx) cinsinden tanımlamak.
Tek sayılar: x,x+2,…,x+28x, x+2, \dots, x+28 (en büyük terim x+28x+28). Sonraki çift sayılar: x+29,x+31,…,x+47x+29, x+31, \dots, x+47.
Tüm terimleri tek bir bilinmeyenle ifade edip denklem kurabilmek için.
2
Aritmetik dizi toplamı formülüyle AA ve BB toplamlarını bulmak.
A=15x+210A = 15x + 210 ve B=10x+380B = 10x + 380.
Fark denklemini oluşturmak için dizilerin toplam değerlerini belirlemek.
3
Verilen B−A=135B - A = 135 eşitliğini çözmek.
(10x+380)−(15x+210)=135⇒170−5x=135⇒5x=35⇒x=7(10x + 380) - (15x + 210) = 135 \Rightarrow 170 - 5x = 135 \Rightarrow 5x = 35 \Rightarrow x = 7.
Dizilerin başlangıç terimi olan en küçük sayıyı bulmak.
4
En büyük ve en küçük sayıyı toplayarak sonucu bulmak.
En küçük sayı 77, en büyük sayı 7+47=547+47=54. Toplamları 7+54=617+54=61.
Soruda bizden istenen en büyük ve en küçük sayıların toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve toplam formülleri ile aritmetik dizi kurma.
Soru 10Soru →

Ardışık 1111 tek tam sayının toplamı, bu sayıların en küçüğünün 1313 katına eşittir. Buna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75

Cevap

En büyük sayı 75'tir.
Ardışık 11 tek sayının en küçüğü xx ise en büyüğü x+20x+20 olur. Bu sayıların toplamı 11x+11011x + 110 ifadesine eşittir. Verilen bilgiye göre toplam, en küçük sayının 13 katına eşittir. Kurulan 11x+110=13x11x + 110 = 13x denklemi çözüldüğünde 2x=110  ⟹  x=552x = 110 \implies x = 55 bulunur. Bizden en büyük sayı istendiği için en büyük terim 55+20=7555 + 20 = 75 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık tek sayı dizisini temsil edecek değişkenleri belirlemek
En küçük sayıya xx dersek, ardışık tek sayılar ikişer ikişer arttığı için 11 adet sayı sırasıyla x,x+2,x+4,…,x+20x, x+2, x+4, \dots, x+20 şeklinde yazılır.
Ardışık tek sayılar arasındaki ortak farkın 2 olduğunu kullanarak tüm terimleri tek bir değişken türünden ifade etmek gerekir.
2
Terimlerin toplamını hesaplamak
Toplam = 11x+(2+4+6+⋯+20)=11x+11011x + (2 + 4 + 6 + \dots + 20) = 11x + 110 olur.
Soruda verilen toplam ilişkisini kurabilmek için terimlerin toplamını elde etmeliyiz.
3
Soruda verilen eşitliği kurup en küçük terimi bulmak
11x+110=13x11x + 110 = 13x denklemi çözüldüğünde 2x=1102x = 110 ve buradan en küçük terim x=55x = 55 bulunur.
Toplamın en küçük sayının 13 katı olduğu bilgisiyle denklemi çözüp ilk terimi elde etmek gerekir.
4
Dizinin en büyük terimini hesaplamak
En büyük terim x+20x + 20 olduğundan, 55+20=7555 + 20 = 75 elde edilir.
Soru kökünde dizinin en büyük terimi sorulduğu için ilk terime aradaki farkı eklemek gerekir.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayıların Toplamı ve Terim Formülleri
Soru 11Soru →

aa, bb ve cc sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0
a⋅c5>0a \cdot c^5 > 0
b−c>0b - c > 0

eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi daima negatiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a2⋅c−b2a^2 \cdot c - b^2

Cevap

a2⋅c−b2a^2 \cdot c - b^2 ifadesi daima negatiftir.
a2⋅c−b2a^2 \cdot c - b^2 ifadesinde, sıfırdan farklı aa sayısı için a2>0a^2 > 0 ve negatif cc sayısı için a2⋅c<0a^2 \cdot c < 0 (negatif) elde edilir. Benzer şekilde, sıfırdan farklı bb sayısı için b2>0b^2 > 0 ve dolayısıyla −b2<0-b^2 < 0 (negatif) olur. İki negatif terimin toplamı daima negatif bir değer üretecektir.

Adım Adım Çözüm

1
a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0 eşitsizliğini kullanarak aa sayısının işaretini belirleme.
a<0a < 0 (negatif) olarak bulunur.
bb sıfırdan farklı olduğu için b2b^2 daima pozitiftir. Çarpımın negatif olabilmesi için a3a^3 ifadesinin, dolayısıyla aa sayısının negatif olması gerekir.
2
a⋅c5>0a \cdot c^5 > 0 eşitsizliğini kullanarak cc sayısının işaretini belirleme.
c<0c < 0 (negatif) olarak bulunur.
a<0a < 0 olduğundan, çarpımın pozitif çıkması için c5c^5 ifadesinin de negatif olması gerekir. Buradan c<0c < 0 elde edilir.
3
b−c>0b - c > 0 eşitsizliğini analiz ederek bb sayısının alabileceği değerleri inceleme.
bb sayısı pozitif veya negatif değerler alabilir.
b>cb > c eşitsizliğinde c<0c < 0 (negatif) olduğundan, bb sayısı negatif bir sayıdan büyüktür. Bu durumda bb sayısı sıfırdan büyük (pozitif) veya cc ile sıfır arasında (negatif) değerler alabilir. Yani bb'nin işareti kesin değildir.
4
Seçenekleri analiz ederek daima negatif olan ifadeyi bulma.
a2⋅c−b2a^2 \cdot c - b^2 ifadesinin daima negatif olduğu görülür.
a≠0a \neq 0 için a2>0a^2 > 0 ve c<0c < 0 olduğundan a2⋅c<0a^2 \cdot c < 0 (negatif) olur. b≠0b \neq 0 için b2>0b^2 > 0 olduğundan −b2<0-b^2 < 0 (negatif) olur. İki negatif sayının toplamı her zaman negatiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılarda İşaret Analizi ve Eşitsizlik Yorumlama

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi kullanılarak da seçenekler elenebilir. Örneğin, a=−1a = -1 ve c=−2c = -2 seçildiğinde b−c>0b - c > 0 şartını sağlayan b=−1b = -1 (negatif) ve b=1b = 1 (pozitif) değerleri ayrı ayrı seçeneklerde yerine yazılarak daima negatif çıkmayan ifadeler elenir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 12Soru →

Ardışık nn tane pozitif tam sayının toplamı 504504'tür.

n>2n > 2 olduğuna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı nn değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Ardışık sayıların toplam formülü kullanılarak n(2a+n+1)=1008n(2a+n+1) = 1008 denklemi elde edilir. Çarpanlardan birinin tek, diğerinin çift olması gerektiği ve 2a+n+1>n2a+n+1 > n eşitsizliği analiz edildiğinde, n>2n > 2 kısıtlaması altında nn sayısı 3,7,9,163, 7, 9, 16 ve 2121 olmak üzere 5 farklı değer alabilir. Bu nedenle doğru cevap 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık sayıların toplamı formülünü kullanarak denklem kurun.
n⋅(2a+n+1)=1008n \cdot (2a + n + 1) = 1008 (a≥0a \ge 0 ve n>2n > 2)
Ardışık nn tane pozitif tam sayının ilk terimi a+1a+1 ve son terimi a+na+n olsun. Terimler toplamı n⋅(2a+n+1)2=504\frac{n \cdot (2a + n + 1)}{2} = 504 formülü ile hesaplanır. Buradan iki çarpanın çarpımı 10081008 olacak şekilde bir eşitlik elde ederiz.
2
10081008 sayısını asal çarpanlarına ayırın ve çarpanların teklik-çiftlik durumunu analiz edin.
1008=24⋅32⋅71008 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7 olup çarpanlardan biri tek, diğeri çifttir.
nn ve 2a+n+12a + n + 1 çarpanlarının toplamı 2a+2n+12a + 2n + 1 olup daima tektir. Toplamları tek olan iki tam sayının teklik-çiftlik karakterleri farklı olmalıdır. Bu yüzden çarpanlardan biri tek, diğeri çift olmalıdır.
3
10081008'in tek çarpanlarını listeleyerek her bir durum için nn değerlerini belirleyin.
Tek çarpanlar 1,3,7,9,21,631, 3, 7, 9, 21, 63 olup, nn için elde edilen geçerli değerler 3,7,9,16,213, 7, 9, 16, 21 olmak üzere 55 tanedir.
2a+n+1>n2a + n + 1 > n olduğundan, küçük olan çarpan her zaman nn olmalıdır. n>2n > 2 koşulunu sağlamayan n=1n=1 durumu elenir. Diğer tüm tek çarpanlar için geçerli bir aa doğal sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı ve terim sayısı formülleri yardımıyla kurulan denklemlerin çarpan analizi yapılarak çözülmesi.
Soru 13Soru →
Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için
a5⋅b2<0a^5 \cdot b^2 < 0
b⋅c3>0b \cdot c^3 > 0
a−c<0a - c < 0
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi daima pozitiftir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b⋅cc−a\frac{b \cdot c}{c - a}

Cevap

b⋅cc−a\frac{b \cdot c}{c - a} ifadesi
Doğru seçenekte verilen b⋅cc−a\frac{b \cdot c}{c - a} ifadesinin payındaki b⋅cb \cdot c terimi, bb ve cc aynı işaretli olduğundan daima pozitiftir. Paydasındaki c−ac - a terimi ise a<ca < c olduğundan daima pozitiftir. İki pozitif değerin birbirine oranı da daima pozitif olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
a5⋅b2<0a^5 \cdot b^2 < 0 eşitsizliği incelenir.
a<0a < 0 olarak bulunur.
b≠0b \neq 0 olduğundan b2>0b^2 > 0 olmak zorundadır. Çarpımın negatif olması için a5<0a^5 < 0 olmalıdır, bu da a<0a < 0 anlamına gelir.
2
b⋅c3>0b \cdot c^3 > 0 eşitsizliği incelenir.
bb ve cc aynı işaretlidir (b⋅c>0b \cdot c > 0).
Çarpımın pozitif olması için iki çarpanın da aynı işaretli olması gerekir. c3c^3'ün işareti cc'nin işaretiyle aynı olduğundan bb ve cc aynı işaretlidir.
3
a−c<0a - c < 0 eşitsizliği incelenir.
c−a>0c - a > 0 olarak bulunur.
a−c<0⇒a<ca - c < 0 \Rightarrow a < c yazılır. Buradan aa karşı tarafa atıldığında c−a>0c - a > 0 elde edilir.
4
b⋅cc−a\frac{b \cdot c}{c - a} ifadesinin işareti değerlendirilir.
İfade daima pozitiftir.
Pay kısmındaki b⋅c>0b \cdot c > 0 (pozitif) ve payda kısmındaki c−a>0c - a > 0 (pozitif) olduğundan, iki pozitif sayının bölümü daima pozitiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılarda Eşitsizlik ve İşaret Analizi
Soru 14Soru →
AA ve BB sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere, iki basamaklı ABAB ve BABA doğal sayıları için,
AB−BA=54AB - BA = 54
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, A−BA - B farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İki basamaklı sayıların farkı alındığında elde edilen farkın 9'a bölümüyle ulaşılan 6 değeri doğru cevapt��r.
İki basamaklı ABAB ve BABA sayılarının farkı 9(A−B)9(A-B) olarak çözümlenir. 9(A−B)=549(A-B) = 54 eşitliğinden A−B=6A-B = 6 elde edilir. Bu nedenle 6 seçeneği doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı sayıların basamak çözümlemesini yapın.
AB=10A+BAB = 10A + B ve BA=10B+ABA = 10B + A
İki basamaklı sayıları sayı basamakları cinsinden ifade etmek için.
2
Elde edilen çözümlemeleri çıkarma işleminde yerine koyun ve ortak paranteze alın.
AB−BA=(10A+B)−(10B+A)=9A−9B=9(A−B)AB - BA = (10A + B) - (10B + A) = 9A - 9B = 9(A - B)
İfadeleri sadeleştirerek fark katsayısını belirlemek için.
3
Bulunan ifadeyi verilen eşitlikteki değere (54) eşitleyip sadeleştirin.
9(A−B)=54⇒A−B=69(A - B) = 54 \Rightarrow A - B = 6
İstenen A - B farkını bulmak için.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Çözümleme
Tahmini Süre:45s
Soru 15Soru →

Rakamları sıfırdan farklı üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısı, iki basamaklı ABAB ve BCBC doğal sayılarının toplamının 44 katına eşittir.

Buna g��re, A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Rakamları sıfırdan farkl�� üç basamaklı ABCABC sayısının rakamları çarpımı 36'dır.
Çözümleme yapıldığında elde edilen 60A=34B+3C60A = 34B + 3C denkleminde A,B,CA, B, C sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere tek bir çözüm vardır, o da A=2,B=3,C=6A=2, B=3, C=6 değerleridir. Bu rakamların çarpımı 2⋅3⋅6=362 \cdot 3 \cdot 6 = 36 olduğundan doğru yanıt 36 seçeneğidir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayıları basamak değerlerine göre çözümleyip eşitliği yazalım.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C
AB=10A+BAB = 10A + B
BC=10B+CBC = 10B + C
Eşitlik: 100A+10B+C=4⋅(10A+B+10B+C)100A + 10B + C = 4 \cdot (10A + B + 10B + C)
Sayı basamakları sorularında çözümleme yapmak, bilinmeyen rakamlar arasındaki ilişkiyi bulmanın temel adımıdır.
2
Elde edilen eşitliği sadeleştirelim.
100A+10B+C=4⋅(10A+11B+C)100A + 10B + C = 4 \cdot (10A + 11B + C)
100A+10B+C=40A+44B+4C100A + 10B + C = 40A + 44B + 4C
60A=34B+3C60A = 34B + 3C
Benzer terimleri bir araya getirerek denklemi daha sade bir biçime dönüştürmek gerekir.
3
Elde edilen 60A=34B+3C60A = 34B + 3C denkleminde rakamların alabileceği değerleri inceleyelim.
Denklemin sol tarafı (60A60A) 10'un katıdır. Dolayısıyla sağ tarafındaki 34B+3C34B + 3C ifadesinin de birler basamağı 0 olmalıdır.
34B+3C≡0(mod10)  ⟹  4B+3C≡0(mod10)34B + 3C \equiv 0 \pmod{10} \implies 4B + 3C \equiv 0 \pmod{10} olur.
BB ve CC sıfırdan farklı rakamlar olduğundan, B=3B = 3 için 4(3)+3C=12+3C4(3) + 3C = 12 + 3C ifadesinin 10'un katı olması için C=6C = 6 olmalıdır.
Bu durumda: 60A=34(3)+3(6)=102+18=120  ⟹  A=260A = 34(3) + 3(6) = 102 + 18 = 120 \implies A = 2 bulunur.
Rakam olma ve basamak kuralları (sıfırdan farklı olma) sınırlandırmalarını kullanarak değer denemesi yapılır.
4
Bulunan rakamların çarpımını hesaplayalım.
A=2A = 2, B=3B = 3, C=6C = 6 olduğundan sayı 236236'dır.
Rakamların çarpımı: 2⋅3⋅6=362 \cdot 3 \cdot 6 = 36 bulunur.
Soruda bizden istenen rakamların çarpımı değerine ulaşmaktır.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı ve iki basamaklı sayıların basamak analizi ve çözümlenerek elde edilen denklemlerde rakam sınırlandırmalarına göre değerlerin bulunması.

İpuçları

1
ABCABC, ABAB ve BCBC sayılarını basamak değerlerine göre 100A+10B+C100A+10B+C, 10A+B10A+B ve 10B+C10B+C şeklinde açarak işe başlayın.
2
Denklemi düzenlediğinizde 60A=34B+3C60A = 34B + 3C eşitliğini bulacaksınız. Sol tarafın 10'un katı olmasını kullanın.
3
34B+3C34B + 3C ifadesinin birler basamağının 0 olması için BB ve CC rakamlarına uygun değerleri verin. B=3B = 3 durumunu inceleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde ABC=5⋅(AB+BC)ABC = 5 \cdot (AB + BC) eşitliğini sağlayan rakamları sıfırdan farklı ABCABC sayılarını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemi 60A−34B=3C60A - 34B = 3C şeklinde yazıp 2(30A−17B)=3C2(30A - 17B) = 3C haline getirebiliriz. Buradan CC sayısının çift ve 30A−17B30A - 17B ifadesinin 3'ün katı olması gerektiği görülür. BB rakamına değer verilerek 30A−17B30A - 17B ifadesinin sadeleşmesi kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 16Soru →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+2)!−(n+1)!−n!(n+1)!−n!=26\frac{(n+2)! - (n+1)! - n!}{(n+1)! - n!} = 26
eşitliği veriliyor.

Buna göre, n!n! sayısının sondan kaç basamağı s��fırdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4
İfadenin sadeleştirilmesi sonucu n+2=26  ⟹  n=24n+2 = 26 \implies n = 24 elde edilir. 24!24! sayısının sondan sıfır basamak sayısını bulmak için 24 sayısı 5'e bölünür ve bölüm 4 olarak bulunur. Bu nedenle sondan 4 basamak sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi n!n! ortak parantezine alarak sadeleştirin.
n!⋅[(n+2)(n+1)−(n+1)−1]=n!⋅(n2+2n)=n!⋅n(n+2)n! \cdot [(n+2)(n+1) - (n+1) - 1] = n! \cdot (n^2 + 2n) = n! \cdot n(n+2)
Paydaki terimleri ortak çarpan parantezine alarak ifadeyi sadeleştirmek.
2
Payda kısmındaki ifadeyi n!n! ortak parantezine alarak sadeleştirin.
n!⋅[(n+1)−1]=n!⋅nn! \cdot [(n+1) - 1] = n! \cdot n
Paydadaki terimleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirmeye hazırlamak.
3
Pay ve paydayı birbirine oranlayarak sadeleştirme işlemini tamamlayın.
n!⋅n(n+2)n!⋅n=n+2\frac{n! \cdot n(n+2)}{n! \cdot n} = n+2
İfadenin en sade halini bulmak.
4
Sadeleşmiş ifadeyi verilen eşitliğe eşitleyip nn değerini bulun.
n+2=26  ⟹  n=24n+2 = 26 \implies n = 24
nn doğal sayısını elde etmek.
5
24!24! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için 24'ü sürekli 5'e bölün.
24÷5=424 \div 5 = 4 (kalan 4). Bölüm olan 4 sayısı 5'ten küçük olduğundan bölme işlemi biter. Toplam sıfır sayısı 4'tür.
n!n! sayısının içindeki 5 asal çarpanlarının sayısını belirlemek.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde sadeleştirme ve sondan sıfır basamak sayısını bulma kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 17Soru →
Birer pozitif tam sayı olan xx, yy ve zz için
x⋅y+y⋅zx \cdot y + y \cdot z
ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (x+y)⋅(y+z)(x + y) \cdot (y + z)

Cevap

��ki parantezli ifadenin çarpımı olan (x+y)⋅(y+z)(x + y) \cdot (y + z) ifadesi her zaman çift sayıdır.
Verilen koşullara göre yy tek sayı, x+zx + z ise tek sayıdır. Bu durumda xx ve zz sayılarından biri tek, diğeri çifttir. İki parantezli çarpım ifadesinde: Eğer xx çift ise zz tek olur; buradan y+zy+z toplamı tek + tek = çift olur ve çarpımın sonucu çift çıkar. Eğer xx tek ise x+yx+y toplamı tek + tek = çift olur ve çarpımın sonucu yine çift çıkar. Dolayısıyla bu ifade her iki durumda da çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak analiz edin.
x⋅y+y⋅z=y⋅(x+z)x \cdot y + y \cdot z = y \cdot (x + z)
İfadenin teklik-çiftlik durumunu çarpanlarına ayırarak belirlemek için.
2
Çarpımın sonucunun tek sayı olması şartını uygulayın.
yy tek sayıdır ve x+zx + z tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki sayının da tek sayı olması gerekir.
3
x+zx + z ifadesinin tek sayı olma durumlarını belirleyin.
xx çift iken zz tek olmalıdır veya xx tek iken zz çift olmalıdır.
İki sayının toplamının tek sayı olması için bu sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.
4
Elde edilen bu iki durumu seçeneklerdeki ifadeler için test edin.
(x+y)⋅(y+z)(x + y) \cdot (y + z) ifadesi: xx çift olduğunda y+z=tek+tek=c¸ifty+z = \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} olacağından çarpım çifttir. xx tek olduğunda x+y=tek+tek=c¸iftx+y = \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} olacağından çarpım çifttir.
Her iki olası durumda da ifadenin daima çift sayı sonuç verdiğini doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların toplama, çarpma ve üs alma işlemlerindeki davranış kuralları ve ortak paranteze alma yöntemi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 18Soru →

5'in katı olan ardışık tek tam sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. İlk terimi 15, son terimi xx olan bu sonlu dizinin terim sayısı x15+4\frac{x}{15} + 4 olduğuna göre, bu dizideki tüm terimlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 975

Cevap

Dizideki tüm terimlerin toplamı 975'tir.
Dizideki terimlerin 5'in katı olan ardışık tek sayılar olması, ardışık terimler arasındaki farkın 10 olduğunu gösterir. Terim sayısı formülü kullanılarak kurulan denklemden son terim x=135x = 135 ve terim sayısı n=13n = 13 bulunur. Bu bilgilerle dizinin toplamı 975 olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin artış miktarını belirlemek.
Artış miktarı 10'dur.
5'in katı olan ardışık tek tam sayılar 15, 25, 35, ... şeklinde ilerler. İki terim arasındaki fark 10'dur.
2
Terim sayısı formülünü kullanarak xx değişkenine bağlı denklemi kurmak.
Terim sayısı formülü: x−1510+1=x−510\frac{x - 15}{10} + 1 = \frac{x - 5}{10} elde edilir.
Terim sayısı = (Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1 formülünü uygulamak gerekir.
3
Verilen terim sayısı bağıntısını formüle eşitleyerek xx değerini bulmak.
x−510=x15+4\frac{x - 5}{10} = \frac{x}{15} + 4 denkleminden x=135x = 135 bulunur.
Soruda verilen terim sayısı bağıntısı ile genel terim sayısı formülü birbirine eşittir.
4
Dizinin terim sayısını hesaplamak.
Terim sayısı n=13515+4=13n = \frac{135}{15} + 4 = 13 olur.
Bulunan x=135x = 135 değeri terim sayısı formülünde yerine yazılarak terim adedi bulunur.
5
Tüm terimlerin toplamını hesaplamak.
Toplam = 13×15+1352=97513 \times \frac{15 + 135}{2} = 975 bulunur.
Ardışık sayıların toplamı, Terim Sayısı ×\times (İlk Terim + Son Terim) / 2 formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Ardışık sayılar dizisinde terim sayısı ve terimler toplamı formülleri.
Soru 19Soru →

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, iki basamaklı BCBC doğal sayısının 13 katından 20 fazladır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Rakamları toplamı 19 olan sayıdır.
Verilen koşulu sağlayan en büyük üç basamaklı ABCABC sayısı çözümlendiğinde 865865 olarak bulunur. Bu sayının rakamlarının toplamı 8+6+5=198 + 6 + 5 = 19 olduğu için doğru seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Üç basamaklı ABCABC sayısını 100A+BC100A + BC şeklinde çözümleyerek verilen eşitlikte yerine yazın.
100A+BC=13⋅BC+20100A + BC = 13 \cdot BC + 20
Sayının basamak analizi yapılarak BCBC iki basamaklı terimi cinsinden ifade edilmesi işlemleri kolaylaştıracaktır.
2
Eşitliğin her iki tarafındaki BCBC terimlerini bir araya getirerek denklemi düzenleyin.
100A=12⋅BC+20100A = 12 \cdot BC + 20
BCBC terimini karşı tarafa atarak ortak katları görebilmek ve sadeleştirme yapabilmek için.
3
Denklemin her iki tarafını da 4 ile bölerek sadeleştirin.
25A=3⋅BC+525A = 3 \cdot BC + 5
Daha küçük sayılarla çalışmak ve katsayılar arasındaki bölünebilme ilişkilerini kolayca analiz edebilmek için.
4
Elde edilen 25A=3⋅BC+525A = 3 \cdot BC + 5 denkleminde AA rakamının alabileceği değerleri ve buna karşılık gelen iki basamaklı BCBC sayılarını bulun.
A=2⇒BC=15A = 2 \Rightarrow BC = 15, A=5⇒BC=40A = 5 \Rightarrow BC = 40, A=8⇒BC=65A = 8 \Rightarrow BC = 65
BCBC sayısının iki basamaklı (10≤BC≤9910 \leq BC \leq 99) bir doğal sayı ve AA'nın sıfırdan farklı bir rakam olması şartını sağlayan değerleri bulmak için.
5
Bulunan ABCABC sayılarından en büyüğünü seçerek rakamları toplamını hesaplayın.
En büyük ABC=865ABC = 865 sayısıdır. Rakamları toplamı ise 8+6+5=198 + 6 + 5 = 19'dur.
Soruda bizden koşulu sağlayan en büyük üç basamaklı sayının rakamları toplamı istendiği için.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı bir sayının basamak analizi yapılarak ABC=100A+BCABC = 100A + BC veya 100A+10B+C100A + 10B + C biçiminde çözümlenmesi ve elde edilen denklemlerde rakam/basamak sınırlamalarına uygun değerlerin atanması.
Soru 20Soru →

aa, bb ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,

a⋅(b+c) a \cdot (b + c)

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (a+b)c+c(a + b)^c + c

Cevap

Parantez içinde tabanı a + b ve üssü c olan ifadenin c ile toplamını veren ifade her zaman çift sayıdır.
Verilen a⋅(b+c)a \cdot (b + c) çarpımı tek sayı olduğuna göre, aa tek sayıdır ve b+cb + c tek sayıdır. b+cb + c tek sayı olduğundan bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir. Tabanı a + b ve üssü c olan ifadenin c ile toplamını veren ifadeyi iki durumda inceleyelim: 1. durum: bb çift ve cc tek olsun. Bu durumda a+ba + b tek sayı olur ve pozitif tam sayı olan cc kuvveti de tektir. Tek sayının tek sayı ile toplamından sonuç çift sayı elde edilir. 2. durum: bb tek ve cc çift olsun. Bu durumda a+ba + b çift sayı olur ve pozitif tam sayı olan cc kuvveti de çifttir. Çift sayının çift sayı ile toplamından sonuç çift sayı elde edilir. Her iki durumda da sonuç çift sayı olduğundan bu ifade her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinin tek sayı olma durumunu analiz etmek.
aa sayısının tek sayı ve b+cb + c toplamının tek sayı olduğu belirlenir.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
b+cb + c toplamının tek sayı olmasından yola çıkarak bb ve cc değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarını belirlemek.
bb ve cc sayılarından biri tek iken diğeri çifttir. Yani, (1. durum: bb çift, cc tek) veya (2. durum: bb tek, cc çift) geçerlidir.
İki tam sayının toplamının tek sayı olması için bu sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.
3
Elde edilen teklik-çiftlik durumlarını doğru seçenekteki ifadede yerine koyarak sonucu doğrulamak.
1. durumda a+ba+b tek, cc tek olduğundan tektek+tek=c¸ift\text{tek}^{\text{tek}} + \text{tek} = \text{çift} olur. 2. durumda a+ba+b çift, cc çift olduğundan c¸iftc¸ift+c¸ift=c¸ift\text{çift}^{\text{çift}} + \text{çift} = \text{çift} olur.
Her iki olası durumda da ifadenin sonucunun çift sayı olduğu gösterilerek doğruluğu kanıtlanır.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri
Tahmini Süre:1m 30s
Sayfa 1 / 7Sonraki