Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Piramitleri ve Üçgensel Dizilimler

Pozitif tam sayılarla oluşturulan bir sayı piramidinde, her satırdaki sayılar belirli bir kurala göre dizilmiştir. Bu piramidin ilk beş satırı aşağıda gösterilmiştir:

1.1. Satır: 11
2.2. Satır: 2,42, 4
3.3. Satır: 3,6,93, 6, 9
4.4. Satır: 4,8,12,164, 8, 12, 16
5.5. Satır: 5,10,15,20,255, 10, 15, 20, 25

Buna göre, bu piramidin 15.15. satırındaki tüm sayıların toplamı kaçtır?

  1. A
    120120
  2. B
    330330
  3. C
    15751575
  4. 18001800Cevap
  5. E
    33753375

Cevap

Piramidin 15.15. satırındaki sayıların toplamı 18001800 olur.
15.15. satırdaki sayılar 1515'in katları olan ardışık sayılardır. Bu sayılar 15,30,45,…,22515, 30, 45, \dots, 225 şeklindedir. Terim sayısı 1515'tir. Bu sayıların toplamı, 15×(1+2+⋯+15)=15×120=180015 \times (1 + 2 + \dots + 15) = 15 \times 120 = 1800 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Piramidin satır yapısını inceleyerek genel örüntü kuralını belirlemek.
n.n. satırda nn adet sayı bulunmakta olup, bu sayılar sırasıyla n,2n,3n,…,n2n, 2n, 3n, \dots, n^2 şeklindedir (yani nn sayısının ilk nn katıdır).
Soruda istenen 15.15. satırdaki sayıları ve bu sayıların dizilim kuralını tespit etmek için.
2
Genel örüntü kuralını 15.15. satıra uygulayarak terimleri belirlemek.
15.15. satırdaki sayılar sırasıyla 15⋅1,15⋅2,…,15⋅1515 \cdot 1, 15 \cdot 2, \dots, 15 \cdot 15 yani 15,30,45,…,22515, 30, 45, \dots, 225 olur.
Toplanacak olan sayıları net olarak görmek için.
3
Bu sayıların toplamını hesaplamak.
Toplam = 15+30+45+⋯+225=15⋅(1+2+3+⋯+15)15 + 30 + 45 + \dots + 225 = 15 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + 15) olur. 11'den 1515'e kadar olan sayıların toplamı 15⋅162=120\frac{15 \cdot 16}{2} = 120 olduğundan, Toplam = 15⋅120=180015 \cdot 120 = 1800 bulunur.
15.15. satırdaki tüm sayıların toplamını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Sayı piramitlerinde satır dizilim kuralları ve ardışık sayıların toplamı formülü.

İpuçları

1
Her satırın ilk elemanının satır numarasına eşit olduğuna ve elemanların o sayının katları şeklinde ilerlediğine dikkat edin.
2
n.n. satırdaki sayıların toplamını bulmak için n⋅(1+2+⋯+n)n \cdot (1 + 2 + \dots + n) ortak parantez alma yöntemini kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla çalışan fakat her satırın son elemanının satır numarasının karesi olduğu örüntüleri inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Aritmetik dizi toplam formülünü doğrudan kullanabiliriz: Terim sayısı 1515, ilk terim 1515, son terim 225225 olduğuna göre Toplam = 152⋅(15+225)=152⋅240=15⋅120=1800\frac{15}{2} \cdot (15 + 225) = \frac{15}{2} \cdot 240 = 15 \cdot 120 = 1800 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Piramitleri ve Üçgensel Dizilimler

Bu konudan daha fazla soru