Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Piramitleri ve Üçgensel Dizilimler

33’ün katı olan ardışık pozitif tam sayılar, birinci satırdan başlayarak ve her satırda satır numarası kadar sayı bulunacak şekilde aşağıdaki piramit düzeninde yerleştiriliyor.

369121518 \begin{matrix} & & 3 & & \\ & 6 & & 9 & \\ 12 & & 15 & & 18 \end{matrix}

Buna göre, bu sayı piramidinin 1010. satırında yer alan en büyük sayı kaçtır?

  1. A
    135
  2. B
    138
  3. C
    300
  4. 165Cevap
  5. E
    198

Cevap

Piramidin 10. satırındaki en büyük sayı 165'tir.
10. satıra kadar olan tüm satırlardaki toplam terim sayısı 1+2+3+...+10=10×112=551+2+3+...+10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55 adettir. Sayılar 3'ün katı olan ardışık sayılar şeklinde ilerlediğinden, nn. terim 3n3n formülüyle bulunur. Dolayısıyla, 10. satırdaki en büyük sayı, piramitteki 55. sayı olacaktır. Bu sayı da 3×55=1653 \times 55 = 165 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Piramitteki satırların terim sayılarını inceleyerek 10. satırın sonuna kadar toplam kaç sayı yazıldığını bulma.
1. satırda 1, 2. satırda 2, ..., 10. satırda 10 sayı vardır. Toplam sayı adedi: 1+2+3+⋯+10=10×112=551 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55 adettir.
10. satırın en büyük sayısı bu satırın en sağındaki sayıdır. Bu sayı da piramidin başlangıcından itibaren yazılan 55. sayıya karşılık gelir.
2
Kullanılan sayı dizisinin genel terimini belirleme.
Dizi 3,6,9,12,…3, 6, 9, 12, \dots şeklinde 3'ün katı olan sayılardan oluşur. Genel terim an=3na_n = 3n şeklindedir.
Her bir terimin değerini, sırasına göre hesaplayabilmek için dizinin kuralını formülleştirmek gerekir.
3
55. terimin değerini hesaplama.
a55=3×55=165a_{55} = 3 \times 55 = 165.
10. satırın en büyük elemanı olan 55. sayının sayısal değerini bulmak için genel terim formülünde n=55n = 55 yazılır.

Anahtar Kavram

Sayı piramitlerinde satır numarası ile terim sayısı arasındaki ilişkiyi kurarak belirli bir adımdaki terimi bulma.

İpuçları

1
10. satırın sonuna kadar piramit içerisine toplam kaç adet sayı yazıldığını bulmaya çalışın.
2
1. satırda 1, 2. satırda 2, ..., 10. satırda 10 sayı bulunduğundan, 10. satırın en büyük (yani son) sayısı, yazılan 55. sayı olacaktır.
3
Piramitteki sayılar 3, 6, 9, 12... şeklinde 3'ün katları olarak ilerlemektedir. 55. sayıyı bulmak için genel kuralı 3n3n olarak kullanıp n=55n=55 değerini hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 3'ün katı yerine 4'ün katı sayılarla oluşturulan bir piramitte aynı satırdaki sayıların toplamını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Piramidin her satırının en büyük sayısı sırasıyla: 3, 9, 18, 30... şeklindedir. Bu sayı dizisinin ardışık terimleri arasındaki farklar sırasıyla 6, 9, 12... olarak artmaktadır. 1. satırın en büyük sayısı 3 ise, 10. satırın en büyük sayısını bulmak için 3'ün üzerine bu farkları ekleyebiliriz: 3+(6+9+12+⋯+30)=3+3×(2+3+4+⋯+10)=3+3×54=1653 + (6 + 9 + 12 + \dots + 30) = 3 + 3 \times (2 + 3 + 4 + \dots + 10) = 3 + 3 \times 54 = 165 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Piramitleri ve Üçgensel Dizilimler

Bu konudan daha fazla soru