Bir ABC üçgeninde, [AD] doğrusu A açısının iç açıortay doğrusudur. D noktası [BC] kenarı ü… — ALES

Bir $ABC$ üçgeninde, $[AD]$ doğrusu $A$ açısının iç açıortay doğrusudur. $D$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir. $ABC$ üçgeninin çevresi $45\text{ cm}$ , $|BD| = 6\text{ cm}$ ve $|DC| = 9\text{ cm}$ olduğuna göre, $|AB|$ uzunluğu kaç $\text{ cm}$ 'dir?

A
10
12Cevap
C
15
D
14
E
18

Cevap

Üçgende iç açıortay teoremi gereğince, açıortayın karşı kenarda böldüğü parçaların oranı, bu parçalara komşu olan kenarların oranına eşittir. Soruda verilen

|BC| = 6 + 9 = 15\text{ cm}

değeri toplam çevreden çıkarıldığında geriye kalan iki kenarın toplamı

|AB| + |AC| = 30\text{ cm}

olur. Açıortay teoreminden

|AB| / |AC| = 6/9 = 2/3

oranı elde edilir. Dolayısıyla

|AB| = 2k

|AC| = 3k

yazıldığında

5k = 30

ve buradan

k = 6\text{ cm}

bulunur. İstenen

|AB| = 2k = 12\text{ cm}

olarak hesaplanır. Bu nedenle doğru yanıt 12 değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

BC kenarının toplam uzunluğunu hesaplayın.

|BC| = |BD| + |DC| = 6 + 9 = 15\text{ cm}

D noktası [BC] kenarı üzerinde olduğundan, parçaların toplamı tüm kenarı verir.

Diğer iki kenarın toplam uzunluğunu bulun.

|AB| + |AC| = 45 - 15 = 30\text{ cm}

Üçgenin çevresi 45 cm olup, çevre tüm kenarların toplamına eşittir.

İç açıortay teoremini uygulayarak kenarlar arasındaki oranı kurun.

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

Bir üçgende iç açıortay doğrusu, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler.

Orantı sabitini kullanarak kenarları harflendirin ve bilinmeyeni çözün.

|AB| = 2k

|AC| = 3k \implies 2k + 3k = 30 \implies 5k = 30 \implies k = 6

Kenarların oranından yola çıkarak toplam denkleminde yerine yazıp orantı sabitini buluruz.

İstenen AB kenarının uzunluğunu hesaplayın.

|AB| = 2k = 2 \times 6 = 12\text{ cm}

AB kenarı orantıya göre 2k değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Üçgende İç Açıortay Teoremi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru