Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÜçgende Açıortay

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣=35 cm|AB| = |AC| = 35\text{ cm} ve ∣BC∣=42 cm|BC| = 42\text{ cm}'dir. AA açısının iç açıortay doğrusu [BC][BC] kenarını DD noktasında kesmektedir. [AC][AC] kenarı üzerinde ∣AE∣=14 cm|AE| = 14\text{ cm} olacak şekilde bir EE noktası alınıyor. [AD][AD] ve [BE][BE] doğruları PP noktasında kesiştiğine göre, ∣AP∣|AP| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. 16Cevap
  2. B
    12
  3. C
    8
  4. D
    32
  5. E
    14

Cevap

16 cm
İkizkenar üçgende tabana inen açıortay aynı zamanda kenarortay ve yüksekliktir. Buradan taban ikiye bölünerek dik üçgen elde edilir ve Pisagor bağıntısıyla açıortay uzunluğu 28 cm olarak bulunur. D noktasından BE doğrusuna paralel çizilen yardımcı doğru yardımıyla Thales teoremi iki kez uygulanır; önce F noktasının orta nokta olduğu bulunarak EF uzunluğu 10,5 cm tespit edilir, ardından AP/PD oranının 4/3 olduğu belirlenir. Bu oran kullanılarak AP uzunluğu 16 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABC üçgeninin ikizkenar üçgen olduğunu belirleyip açıortay doğrusunun kenarortay ve yükseklik olma özelliğini kullanmak.
BD = DC = 21 cm ve AD doğrusu BC kenarına diktir.
İkizkenar üçgende tepe açısının açıortayı tabanı iki eşit parçaya böler ve tabana diktir.
2
ABD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulayarak AD açıortayının uzunluğunu bulmak.
AD uzunluğu 28 cm olarak bulunur.
35-21-28 üçgeni, 3-4-5 özel üçgeninin 7 katıdır.
3
D noktasından BE doğrusuna paralel bir DF doğrusu çizerek AC kenarını F noktasında kestirmek.
DF doğrusu BE doğrusuna paralel olur.
Menelaus teoremi kullanmadan benzerlik yardımıyla oranı hesaplayabilmek için yardımcı çizgi oluşturulur.
4
CBE üçgeninde Thales teoremini uygulayarak EF uzunluğunu hesaplamak.
EF uzunluğu 10,5 cm olarak bulunur.
DF ile BE paralel olduğundan EF/FC = BD/DC = 21/21 = 1 olur, bu da F noktasının EC'nin orta noktası olduğunu gösterir.
5
ADF üçgeninde Thales teoremini uygulayarak AP ve PD arasındaki oranı bulmak.
AP/PD oranı 4/3 olarak bulunur.
PE ile DF paralel olduğundan AP/PD = AE/EF = 14/10,5 = 4/3 olur.
6
Toplam uzunluğu 28 cm olan AD doğrusunda AP parçasının uzunluğunu hesaplamak.
AP uzunluğu 16 cm olarak elde edilir.
AP/PD = 4/3 olduğundan AP = (4/7) * AD = (4/7) * 28 = 16 cm olur.

Anahtar Kavram

Üçgende Açıortay, İkizkenar Üçgen Özellikleri ve Benzerlik

Alternatif Yöntem

Menelaus Teoremi kullanılarak da çözüm yapılabilir. ADC üçgeninde B-P-E doğrusu kesen olarak alındığında Menelaus Teoremi'ne göre: (AP/PD) * (DB/BC) * (CE/EA) = 1 olur. Değerler yerine yazıldığında: (AP/PD) * (21/42) * (21/14) = 1 => (AP/PD) * (1/2) * (3/2) = 1 => AP/PD = 4/3 bulunur. Buradan AP = (4/7) * 28 = 16 cm elde edilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açıortay

Bu konudan daha fazla soru