Examkin

Üçgende Açıortay

2 soru

Soru 1Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣=35 cm|AB| = |AC| = 35\text{ cm} ve ∣BC∣=42 cm|BC| = 42\text{ cm}'dir. AA açısının iç açıortay doğrusu [BC][BC] kenarını DD noktasında kesmektedir. [AC][AC] kenarı üzerinde ∣AE∣=14 cm|AE| = 14\text{ cm} olacak şekilde bir EE noktası alınıyor. [AD][AD] ve [BE][BE] doğruları PP noktasında kesiştiğine göre, ∣AP∣|AP| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16 cm
İkizkenar üçgende tabana inen açıortay aynı zamanda kenarortay ve yüksekliktir. Buradan taban ikiye bölünerek dik üçgen elde edilir ve Pisagor bağıntısıyla açıortay uzunluğu 28 cm olarak bulunur. D noktasından BE doğrusuna paralel çizilen yardımcı doğru yardımıyla Thales teoremi iki kez uygulanır; önce F noktasının orta nokta olduğu bulunarak EF uzunluğu 10,5 cm tespit edilir, ardından AP/PD oranının 4/3 olduğu belirlenir. Bu oran kullanılarak AP uzunluğu 16 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABC üçgeninin ikizkenar üçgen olduğunu belirleyip açıortay doğrusunun kenarortay ve yükseklik olma özelliğini kullanmak.
BD = DC = 21 cm ve AD doğrusu BC kenarına diktir.
İkizkenar üçgende tepe açısının açıortayı tabanı iki eşit parçaya böler ve tabana diktir.
2
ABD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulayarak AD açıortayının uzunluğunu bulmak.
AD uzunluğu 28 cm olarak bulunur.
35-21-28 üçgeni, 3-4-5 özel üçgeninin 7 katıdır.
3
D noktasından BE doğrusuna paralel bir DF doğrusu çizerek AC kenarını F noktasında kestirmek.
DF doğrusu BE doğrusuna paralel olur.
Menelaus teoremi kullanmadan benzerlik yardımıyla oranı hesaplayabilmek için yardımcı çizgi oluşturulur.
4
CBE üçgeninde Thales teoremini uygulayarak EF uzunluğunu hesaplamak.
EF uzunluğu 10,5 cm olarak bulunur.
DF ile BE paralel olduğundan EF/FC = BD/DC = 21/21 = 1 olur, bu da F noktasının EC'nin orta noktası olduğunu gösterir.
5
ADF üçgeninde Thales teoremini uygulayarak AP ve PD arasındaki oranı bulmak.
AP/PD oranı 4/3 olarak bulunur.
PE ile DF paralel olduğundan AP/PD = AE/EF = 14/10,5 = 4/3 olur.
6
Toplam uzunluğu 28 cm olan AD doğrusunda AP parçasının uzunluğunu hesaplamak.
AP uzunluğu 16 cm olarak elde edilir.
AP/PD = 4/3 olduğundan AP = (4/7) * AD = (4/7) * 28 = 16 cm olur.

Anahtar Kavram

Üçgende Açıortay, İkizkenar Üçgen Özellikleri ve Benzerlik

Alternatif Yöntem

Menelaus Teoremi kullanılarak da çözüm yapılabilir. ADC üçgeninde B-P-E doğrusu kesen olarak alındığında Menelaus Teoremi'ne göre: (AP/PD) * (DB/BC) * (CE/EA) = 1 olur. Değerler yerine yazıldığında: (AP/PD) * (21/42) * (21/14) = 1 => (AP/PD) * (1/2) * (3/2) = 1 => AP/PD = 4/3 bulunur. Buradan AP = (4/7) * 28 = 16 cm elde edilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, [AD][AD] doğrusu AA açısının iç açıortay doğrusudur. DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir. ABCABC üçgeninin çevresi 45 cm45\text{ cm}, ∣BD∣=6 cm|BD| = 6\text{ cm} ve ∣DC∣=9 cm|DC| = 9\text{ cm} olduğuna göre, ∣AB∣|AB| uzunluğu kaç  cm\text{ cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
Üçgende iç açıortay teoremi gereğince, açıortayın karşı kenarda böldüğü parçaların oranı, bu parçalara komşu olan kenarların oranına eşittir. Soruda verilen ∣BC∣=6+9=15 cm|BC| = 6 + 9 = 15\text{ cm} değeri toplam çevreden çıkarıldığında geriye kalan iki kenarın toplamı ∣AB∣+∣AC∣=30 cm|AB| + |AC| = 30\text{ cm} olur. Açıortay teoreminden ∣AB∣/∣AC∣=6/9=2/3|AB| / |AC| = 6/9 = 2/3 oranı elde edilir. Dolayısıyla ∣AB∣=2k|AB| = 2k ve ∣AC∣=3k|AC| = 3k yazıldığında 5k=305k = 30 ve buradan k=6 cmk = 6\text{ cm} bulunur. İstenen ∣AB∣=2k=12 cm|AB| = 2k = 12\text{ cm} olarak hesaplanır. Bu nedenle doğru yanıt 12 değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
BC kenarının toplam uzunluğunu hesaplayın.
∣BC∣=∣BD∣+∣DC∣=6+9=15 cm|BC| = |BD| + |DC| = 6 + 9 = 15\text{ cm}
D noktası [BC] kenarı üzerinde olduğundan, parçaların toplamı tüm kenarı verir.
2
Diğer iki kenarın toplam uzunluğunu bulun.
∣AB∣+∣AC∣=45−15=30 cm|AB| + |AC| = 45 - 15 = 30\text{ cm}
Üçgenin çevresi 45 cm olup, çevre tüm kenarların toplamına eşittir.
3
İç açıortay teoremini uygulayarak kenarlar arasındaki oranı kurun.
∣AB∣∣AC∣=∣BD∣∣DC∣=69=23\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
Bir üçgende iç açıortay doğrusu, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler.
4
Orantı sabitini kullanarak kenarları harflendirin ve bilinmeyeni çözün.
∣AB∣=2k|AB| = 2k ve ∣AC∣=3k  ⟹  2k+3k=30  ⟹  5k=30  ⟹  k=6|AC| = 3k \implies 2k + 3k = 30 \implies 5k = 30 \implies k = 6
Kenarların oranından yola çıkarak toplam denkleminde yerine yazıp orantı sabitini buluruz.
5
İstenen AB kenarının uzunluğunu hesaplayın.
∣AB∣=2k=2×6=12 cm|AB| = 2k = 2 \times 6 = 12\text{ cm}
AB kenarı orantıya göre 2k değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Üçgende İç Açıortay Teoremi
Üçgende Açıortay Alıştırma Soruları — ALES | Examkin