Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArdışık Sayılar ve Terim Sayısı

Ardışık ve 44'ün katı olan pozitif tam sayılar küçükten büyüğe doğru sırasıyla x,x+4,…,yx, x+4, \dots, y şeklinde yazılmıştır. Bu sayı dizisinin terim sayısı 1515 ve tüm terimlerinin toplamı 660660 olduğuna göre, yy kaçtır?

  1. A
    1616
  2. B
    5151
  3. 7272Cevap
  4. D
    7474
  5. E
    7676

Cevap

En büyük terim olan 7272'dir.
Ardışık sayı dizisinin ortanca terimi 66015=44\frac{660}{15} = 44 olarak bulunur. Ortanca terim aynı zamanda ilk terim ile son terimin toplamının yarısı olduğu için x+y=88x + y = 88 elde edilir. Terim sayısı formülünden ise y−x4+1=15⇒y−x=56\frac{y-x}{4} + 1 = 15 \Rightarrow y - x = 56 denklemine ulaşılır. Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında 2y=144⇒y=722y = 144 \Rightarrow y = 72 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ortanca terimini (aritmetik ortalamasını) hesaplayın.
Tüm terimlerin toplamı 660660 ve terim sayısı 1515 olduğundan, ortanca terim 66015=44\frac{660}{15} = 44 olarak bulunur.
Ardışık sayı dizilerinde toplam değer, terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına eşittir.
2
Ortanca terimin ilk terim xx ve son terim yy cinsinden ifadesini yazarak x+yx + y toplamını bulun.
Ortanca terim x+y2=44\frac{x + y}{2} = 44 olduğundan x+y=88x + y = 88 elde edilir.
Bir aritmetik dizide ortanca terim, ilk ve son terimin aritmetik ortalamasıdır.
3
Terim sayısı formülünü kullanarak y−xy - x farkını elde edin.
Terim sayısı =Son Terim−I˙lk TerimArtıs¸ Miktarı+1= \frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1 formülünden, 15=y−x4+1⇒y−x4=14⇒y−x=5615 = \frac{y - x}{4} + 1 \Rightarrow \frac{y - x}{4} = 14 \Rightarrow y - x = 56 bulunur.
Dizideki terimlerin her biri 44'ün katı olduğu için artış miktarı 44 olarak alınır.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek en büyük terim olan yy değerini bulun.
x+y=88x + y = 88 ve y−x=56y - x = 56 denklemleri taraf tarafa toplanırsa, 2y=144⇒y=722y = 144 \Rightarrow y = 72 elde edilir.
Taraf tarafa toplama işlemi xx değişkenini yok ederek doğrudan en büyük terim olan yy'yi bulmamızı sağlar.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayılar, Terim Sayısı ve Toplam İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Terim Sayısı

Bu konudan daha fazla soru