Geometri Alıştırma Soruları — ALES

Soru 1Soru →

Bir kenar uzunluğu $8\text{ cm}$ olan $ABCD$ karesinin içine, $[AB]$ kenarını çap kabul eden bir yarım çember çizilmiştir. Bu yarım çembere dıştan, karenin ise $[BC]$ ve $[CD]$ kenarlarına içten teğet olan küçük çemberin yarıçapı kaç $\text{cm}$ 'dir?

8 - 4\sqrt{3}

16 - 4\sqrt{3}

12 - 6\sqrt{3}

16 - 8\sqrt{3}

8 - 2\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $16 - 8\sqrt{3}$

Cevap

Küçük çemberin yarıçapı

16 - 8\sqrt{3}\text{ cm}

'dir.

Küçük çemberin karenin sağ ve üst kenarlarına teğet olması merkez koordinatlarını

(8-r, 8-r)

yapar.

[AB]

çaplı yarım çemberin merkezi ise

(4,0)

noktasıdır. Dıştan teğet olan iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık yarıçaplar toplamına (

4+r

) eşittir. Bu iki merkez arasında kurulan Pisagor bağıntısı çözüldüğünde elde edilen

r^2 - 32r + 64 = 0

denkleminin kare içinde kalan kökü

16 - 8\sqrt{3}

değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Yarım çemberin merkezini ve yarıçap��nı belirleme.

[AB]

çaplı yarım çemberin yarıçapı

R = 4\text{ cm}

ve merkezi

[AB]

'nin orta noktası olan

O_1(4,0)

noktasıdır.

Karenin bir kenarı

8\text{ cm}

olup çap

[AB]

olduğu için yarım çemberin yarıçapı bu kenarın yarısıdır.

2

Küçük çemberin merkez koordinatlarını yarıçap cinsinden ifade etme.

Küçük çemberin yarıçapına

r

denirse, çemberin merkezi

O_2(8-r, 8-r)

olur.

Küçük çember karenin sağ (

x=8

) ve üst (

y=8

) kenarlarına teğet olduğundan merkez koordinatları kenarlardan

r

birim uzaklıktadır.

3

Merkezler arasındaki uzaklığı teğetlik koşuluyla bulma.

|O_1 O_2| = R + r = 4 + r

.

İki çember dıştan teğet olduğunda merkezleri arasındaki mesafe, yarıçaplarının toplamına eşit olur.

4

İki nokta arasındaki uzaklık formülü ile Pisagor bağıntısını kurma.

((8-r)-4)^2 + ((8-r)-0)^2 = (4+r)^2 \implies (4-r)^2 + (8-r)^2 = (4+r)^2

.

O_1(4,0)

ve

O_2(8-r, 8-r)

noktaları arasındaki yatay ve dikey mesafeler dik üçgen oluşturur.

5

Denklemi açarak sadeleştirme ve çözme.

16 - 8r + r^2 + 64 - 16r + r^2 = 16 + 8r + r^2 \implies r^2 - 32r + 64 = 0

. Bu denklemin kökleri

r = 16 \pm 8\sqrt{3}

'tür.

r < 4

olması gerektiğinden

r = 16 - 8\sqrt{3}\text{ cm}

bulunur.

Küçük çember kare içine sığmak zorunda olduğundan yarıçapı

4

'ten küçük olmalıdır.

Anahtar Kavram

İki çemberin dıştan teğet olması durumunda merkezler arası uzaklığın yarıçaplar toplamına eşit olması ve dik koordinat sisteminde Pisagor bağıntısının uygulanması.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $D$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir. $AD \perp BC$ ve $m(\widehat{ABC}) = 45^\circ$ ’dir. $|AD| = 60\text{ cm}$ ve $|BC| = 140\text{ cm}$ olduğuna göre, $D$ noktasından $[AC]$ kenarına çizilen dikmenin $[AC]$ 'yi kestiği nokta $E$ olmak üzere, $|AE|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

36

48

50

64

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

36

Verilen bilgilere göre,

ABD

ikizkenar dik üçgeninden

|BD| = 60\text{ cm}

elde edilir. Buradan

|CD| = 80\text{ cm}

bulunur.

ADC

dik üçgeninde Pisagor bağıntısı ile

|AC| = 100\text{ cm}

hesaplanır.

ADC

üçgeninde hipotenüse ait dikme inildiğinden, Öklid bağıntısı (

|AD|^2 = |AE| \cdot |AC|

) kullanılarak

3600 = |AE| \cdot 100 \implies |AE| = 36\text{ cm}

olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

ABD

üçgeninin özelliklerini belirleme

|BD| = 60\text{ cm}

AD \perp BC

olduğundan

ABD

bir dik üçgendir.

m(\widehat{ABC}) = 45^\circ

olduğu için

ABD

üçgeni

45^\circ - 45^\circ - 90^\circ

ikizkenar dik üçgenidir. Dolayısıyla dik kenarlar birbirine eşittir:

|BD| = |AD| = 60\text{ cm}

.

2

|CD|

uzunluğunu hesaplama

|CD| = 80\text{ cm}

|BC| = |BD| + |CD|

olduğundan, verilen

|BC| = 140\text{ cm}

değerinden

|BD| = 60\text{ cm}

çıkarılır:

|CD| = 140 - 60 = 80\text{ cm}

.

3

ADC

dik üçgeninde hipotenüs

|AC|

'yi bulma

|AC| = 100\text{ cm}

ADC

üçgeninde

AD \perp BC

olduğundan

m(\widehat{ADC}) = 90^\circ

olan bir dik üçgendir. Pisagor teoremi uygulanırsa:

|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 \implies |AC|^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000 \implies |AC| = 100\text{ cm}

bulunur. (Bu üçgen, kenarları

3-4-5

oranına sahip olan özel dik üçgenin

20

katıdır).

4

Öklid bağıntısı yardımıyla

|AE|

uzunluğunu bulma

|AE| = 36\text{ cm}

ADC

dik üçgeninde,

D

köşesinden

[AC]

hipotenüsüne

DE

dikmesi inilmiştir. Öklid'in dik kenar bağıntısına göre:

|AD|^2 = |AE| \cdot |AC| \implies 60^2 = |AE| \cdot 100 \implies 3600 = |AE| \cdot 100 \implies |AE| = 36\text{ cm}

elde edilir.

Anahtar Kavram

Dik üçgende Pisagor teoremi, özel açılı üçgenler (

45^\circ-45^\circ-90^\circ

) ve Öklid bağıntıları yardımıyla uzunluk hesabı yapmak.

Soru 3Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 135^\circ$ , $|AB| = 7\text{ cm}$ ve $|BC| = 5\sqrt{2}\text{ cm}$ olduğuna göre, $|AC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

13

3\sqrt{11}

\sqrt{29}

\sqrt{119}

17

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $13$

Cevap

AC uzunluğu 13 cm'dir.

Doğru cevap olan 13 cm uzunluğu, B köşesindeki dış açının 45 derece olmasından yararlanılarak dışarıda bir ikizkenar dik üçgen oluşturulması ve ardından oluşan 5-12-13 özel dik üçgeninde Pisagor teoreminin uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Geniş açılı

ABC

üçgeninde

AB

kenarı

A

yönünde uzatılarak

C

köşesinden bu uzantıya dikme indirilir ve

H

dikme noktası belirlenir.

H

noktasında dik açı (

m(\widehat{CHA}) = 90^\circ

) oluşur ve bütünler açılardan

m(\widehat{HBC}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

bulunur.

Dışarıda

45^\circ-45^\circ-90^\circ

özel dik üçgeni elde ederek bilinmeyen kenarları hesaplamak.

2

HBC

ikizkenar dik üçgeninde hipotenüs

|BC| = 5\sqrt{2}\text{ cm}

olduğundan dik kenar uzunlukları hesaplanır.

|HB| = |HC| = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5\text{ cm}

olarak bulunur.

45^\circ-45^\circ-90^\circ

üçgeninde dik kenarların

\sqrt{2}

katı hipotenüse eşittir.

3

AHC

dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanır. Burada

|AH| = |AB| + |HB| = 7 + 5 = 12\text{ cm}

ve

|HC| = 5\text{ cm}

'dir.

|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2 \implies |AC|^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \implies |AC| = 13\text{ cm}

bulunur.

Büyük dik üçgende Pisagor teoremi yardımıyla hipotenüs olan

|AC|

uzunluğunu bulmak.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde dış dikme yardımıyla özel dik üçgen (45-45-90) oluşturma ve Pisagor teoremini uygulama.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi kullanılarak da çözülebilir:

|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(135^\circ)

. Burada

\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

yazıldığında

|AC|^2 = 49 + 50 - 2 \cdot 7 \cdot 5\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 99 + 70 = 169 \implies |AC| = 13\text{ cm}

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Taban yarıçapı $6\text{ cm}$ ve yüksekliği $12\text{ cm}$ olan dik dairesel koni biçimindeki boş bir kabın içerisine, tabanı koninin tabanıyla çakışacak biçimde üstü açık dik dairesel silindir şeklinde bir boru yerleştirilmiştir. Bu borunun üst dairesinin kenarı koninin yan yüzeyine tamamen değmektedir.

Koninin üst kısmından su döküldüğünde, su koni ile silindir arasında kalan boşluğu tamamen doldurup silindirin üst hizasına ulaştığı anda silindirin içerisine de akmaya başlamaktadır.

Koniye d��külen toplam su hacmi koninin hacminin yarısı olduğuna göre, silindirin yüksekliği kaç $\text{cm}$ 'dir?

4

6

8

9

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Silindirin yüksekliği 6 cm olmalıdır.

Silindirin yüksekliği 6 cm olduğunda, benzerlikten silindirin yarıçapı 3 cm olarak hesaplanır. Bu durumda silindirin üst hizasına kadar dolan suyun hacmi, yüksekliği 6 cm olan kesik koninin hacminden silindirin hacmi çıkarılarak 72π cm³ bulunur. Bu hacim, koninin toplam hacminin (144π cm³) tam yarısına eşit olduğundan koşul sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1

Koninin toplam hacmini hesaplama

V_{\text{koni}} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 12 = 144\pi \text{ cm}^3

Kaptaki suyun hacmini bulabilmek için öncelikle kabı oluşturan ana geometrik cismin toplam hacmini hesaplamamız gerekir.

2

Dökülen suyun hacmini belirleme

V_{\text{su}} = \frac{144\pi}{2} = 72\pi \text{ cm}^3

Soruda dökülen suyun hacminin, koninin toplam hacminin yarısı olduğu ifade edilmiştir.

3

Silindirin yarıçapı ile yüksekliği arasındaki benzerlik ilişkisini kurma

\frac{12-h}{12} = \frac{r}{6} \implies r = 6 - \frac{h}{2}

Silindirin üst dairesinin kenarı koninin yan yüzeyine değdiğinden, koninin tepe noktasından silindirin üst tabanına kadar olan küçük koni ile büyük koni arasında benzerlik kurulur.

4

Su hacmini veren denklemi kurma

V_{\text{su}} = V_{\text{kesik koni}} - V_{\text{silindir}} = 144\pi - \frac{1}{3}\pi r^2(12-h) - \pi r^2 h = 144\pi - \pi r^2 \left(4 + \frac{2}{3}h\right) = 72\pi \implies r^2 \left(4 + \frac{2}{3}h\right) = 72

Silindirin üst hizasına kadar olan suyun hacmi, yüksekliği

h

olan kesik koni hacminden silindirin hacminin çıkarılması ile bulunur.

5

Yarıçap ifadesini denklemde yerine yazıp yüksekliği (

h

) çözme

\left(6 - \frac{h}{2}\right)^2 \left(4 + \frac{2}{3}h\right) = 72 \implies (12-h)^2 (6+h) = 432

denklemini sağlayan pozitif değer

h = 6 \text{ cm}

olarak bulunur.

h = 6

değeri için

(12-6)^2 (6+6) = 36 \cdot 12 = 432

eşitliği sağlanır.

Anahtar Kavram

Katı cisimlerde benzerlik, kesik piramit/koni hacmi ve silindir hacmi ilişkileri

Soru 5Soru →

Tepe noktası aşağıda olacak şekilde konumlandırılmış, taban yarıçapı $10\text{ cm}$ ve yüksekliği $15\text{ cm}$ olan dik dairesel koni biçimindeki bir kap tamamen suyla doludur. Bu kaptaki suyun bir kısmı, taban yarıçapı $7\text{ cm}$ olan yeterince yüksek boş bir dik dairesel silindirin içine boşaltılıyor. Son durumda koni biçimindeki kapta kalan suyun yüksekliği $9\text{ cm}$ olduğuna göre, silindir kapta biriken suyun yüksekliği kaç $\text{ cm}$ 'dir?

24

12

8

2

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Silindir kapta biriken suyun yüksekliği 8 cm'dir.

Doğru cevap olan 8 değeri, koninin toplam hacminin ve benzerlik oranı yardımıyla içinde kalan suyun hacminin doğru hesaplanıp, dökülen su hacminin silindirin hacim formülüne eşitlenmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Koninin toplam hacmini hesaplayalım.

V_{toplam} = \frac{1}{3} \pi \cdot 10^2 \cdot 15 = 500\pi\text{ cm}^3

Başlangıçtaki toplam su miktarını bulmak için koninin hacim formülünü uyguluyoruz.

2

Koni içinde kalan suyun hacmini benzerlik oranı kullanarak hesaplayalım.

V_{kalan} = \left(\frac{9}{15}\right)^3 \cdot 500\pi = \left(\frac{3}{5}\right)^3 \cdot 500\pi = \frac{27}{125} \cdot 500\pi = 108\pi\text{ cm}^3

Kalan su da tepe noktası aşağıda olan benzer bir koni oluşturur. Hacimler oranı, benzerlik oranının (yükseklikler oranının) küpüne eşittir.

3

Silindire aktarılan dökülen suyun hacmini bulalım.

V_{dökülen} = V_{toplam} - V_{kalan} = 500\pi - 108\pi = 392\pi\text{ cm}^3

Toplam su hacminden kapta kalan su hacmini çıkararak silindire boşaltılan suyun hacmini buluruz.

4

Silindirdeki suyun yüksekliğini (

h

) hesaplayalım.

V_{silindir} = \pi \cdot r^2 \cdot h \Rightarrow 392\pi = \pi \cdot 7^2 \cdot h \Rightarrow 49 \cdot h = 392 \Rightarrow h = 8\text{ cm}

Dökülen su hacmini silindirin hacim formülüne eşitleyerek suyun yükselme miktarını buluruz.

Anahtar Kavram

Katı Cisimlerin Hacim İlişkileri ve Benzerlik Oranı

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 6Soru →

Şekildeki $ABCD$ eşkenar dörtgeninde köşegenler $E$ noktasında kesişmektedir. Köşegen uzunlukları $|AC| = 12$ cm ve $|BD| = 16$ cm olduğuna göre, bu eşkenar dörtgenin çevresi kaç santimetredir?

56

40

80

96

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Eşkenar dörtgenin çevresi 40 santimetredir.

Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik keserek ortalar. Köşegen uzunlukları 12 cm ve 16 cm olan bu dörtgende, köşegenlerin kesişiminde kenarları 6 cm ve 8 cm olan dik üçgenler oluşur. 6-8-10 özel dik üçgeninden eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğu 10 cm olarak hesaplanır. Eşkenar dörtgenin dört kenarı da eşit uzunlukta olduğundan çevre uzunluğu

4 \times 10 = 40

cm olur.

Adım Adım Çözüm

1

Eşkenar dörtgenin köşegen özelliklerini belirleme.

Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik keser ve ortalar. Bu durumda, köşegenlerin kesim noktası

E

olmak üzere;

|AE| = |EC| = \frac{12}{2} = 6

cm ve

|BE| = |ED| = \frac{16}{2} = 8

cm bulunur.

DEC

üçgeni (veya di��er eş üçgenler) bir dik üçgendir.

Köşegen uzunluklarından kenar uzunluğuna geçiş yapabilmek için dik üçgen oluşturulması gerekir.

2

Dik üçgende Pisagor teoremi yardımıyla bir kenar uzunluğunu bulma.

|DC|^2 = |DE|^2 + |EC|^2 \implies |DC|^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \implies |DC| = 10

cm elde edilir.

Eşkenar dörtgenin çevre uzunluğunu hesaplamak için bir kenar uzunluğunun bulunması şarttır.

3

Eşkenar dörtgenin çevre formülünü uygulama.

Tüm kenar uzunlukları eşit olduğundan Çevre

= 4 \times |DC| = 4 \times 10 = 40

cm olarak bulunur.

Bir kenar uzunluğu bilinen eşkenar dörtgenin toplam çevre uzunluğuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin birbirini dik ortalaması ve Pisagor bağıntısı yardımıyla kenar uzunluğunun bulunması.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 7Soru →

Alanı $16\pi\text{ cm}^2$ olan bir dairenin çevresi kaç $\pi\text{ cm}$ 'dir?

4

8

16

32

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Dairenin çevresi 8\pi\text{ cm}'dir.

Dairenin alanı

\pi r^2

formülü ile bulunur. Buradan

\pi r^2 = 16\pi

eşitliği kurularak

r = 4\text{ cm}

elde edilir. Çevre ise

2\pi r

formülüyle hesaplandığından,

2 \cdot \pi \cdot 4 = 8\pi\text{ cm}

olarak bulunur. Bu nedenle doğru seçenek 8 değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Dairenin alanı formülünü kullanarak yarıçapı bulma.

Alan =

\pi r^2 = 16\pi \implies r^2 = 16 \implies r = 4\text{ cm}

Dairenin çevresini hesaplayabilmek için öncelikle yarıçap değerine ulaşmamız gerekir.

2

Bulunan yarıçap değerini çevre formülünde yerine yazma.

Çevre =

2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 4 = 8\pi\text{ cm}

Yarıçapı bilinen dairenin çevresini veren standart formül uygulanır.

Anahtar Kavram

Bir dairenin alanı

\pi r^2

formülüyle, çevresi ise

2\pi r

formülüyle hesaplanır.

İpuçları

1

Dairenin alanı

\pi r^2

formülü ile hesaplanır. Buradan yarıçapı (

r

) bulabilirsiniz.

2

Yarıçapı bulduktan sonra, dairenin çevresini hesaplamak için

2\pi r

formülünü kullanın.

Tahmini Süre:45s

Soru 8Soru →

Analitik düzlemde, $A(2, 3)$ ve $B(6, -1)$ noktalarından geçen $d_1$ doğrusuna, bu iki noktanın orta noktasında dik olan $d_2$ doğrusu çiziliyor. Buna göre, $d_2$ doğrusunun koordinat eksenleriyle sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

\frac{9}{2}

9

\frac{25}{2}

8

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{2}$

Cevap

Doğrunun koordinat eksenleriyle sınırladığı kapalı bölgenin alanı

\frac{9}{2}

birimkaredir.

Verilen iki noktanın orta noktası

(4, 1)

olarak bulunur. İki noktadan geçen doğrunun eğimi

-1

olduğundan, buna dik olan doğrunun eğimi

1

'dir. Bu nokta ve eğimle yazılan doğru denklemi

y = x - 3

olur. Bu doğrunun eksenleri kestiği noktalar

(3, 0)

ve

(0, -3)

olduğundan, eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin alanı

\frac{3 \times 3}{2} = \frac{9}{2}

birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1

A(2, 3)

ve

B(6, -1)

noktalarının orta noktasını (

M

) hesaplayın.

M = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (4, 1)

d_2

doğrusunun geçtiği noktayı belirlemek için orta nokta formülü uygulanır.

2

A

ve

B

noktalarından geçen

d_1

doğrusunun eğimini (

m_1

) bulun.

m_1 = \frac{-1-3}{6-2} = \frac{-4}{4} = -1

Dik doğruların eğimleri çarpımı ilişkisini kullanabilmek için önce verilen noktaların eğimi bulunur.

3

d_2

doğrusunun eğimini (

m_2

) diklik şartını kullanarak bulun.

m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow (-1) \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = 1

Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı

-1

'dir.

4

M(4, 1)

noktasından geçen ve eğimi

m_2 = 1

olan

d_2

doğrusunun denklemini yazın.

y - 1 = 1 \cdot (x - 4) \Rightarrow y = x - 3

Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü kullanılır.

5

d_2

doğrusunun eksenleri kestiği noktaları belirleyin ve alanı hesaplayın.

x=0

için

y=-3

ve

y=0

için

x=3

. Alan

= \frac{1}{2} \cdot |3| \cdot |-3| = \frac{9}{2}

Eksenlerle sınırlı bölge, kenarları eksen kesim noktalarının mutlak değerleri olan bir dik üçgendir.

Anahtar Kavram

İki noktası bilinen doğrunun eğimi, orta nokta koordinatları, dik doğruların eğimleri arasındaki ilişki ve doğrunun eksenlerle oluşturduğu sınırlı bölgenin alanı.

Soru 9Soru →

Düz bir zeminde bulunan dikey bir duvara yaslanmış olan $10\text{ metre}$ uzunluğundaki bir merdivenin alt ucunun duvara olan en kısa uzaklığı $6\text{ metredir}$ .

Buna göre, merdivenin üst ucunun yerden yüksekliği kaç metredir?

4

2\sqrt{2}

8

2\sqrt{34}

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Merdivenin üst ucunun yerden yüksekliği 8 metredir.

Merdiven, duvar ve zemin birlikte bir dik üçgen oluşturur. Merdivenin uzunluğu hipotenüs (10 m), alt ucun duvara olan uzaklığı ise dik kenarlardan biridir (6 m). Pisagor bağıntısı uygulandığında, bilinmeyen dik kenar olan yükseklik h için h^2 + 6^2 = 10^2 denklemi elde edilir. Buradan h^2 + 36 = 100, h^2 = 64 ve h = 8 m olarak bulunur. Bu durum aynı zamanda 3-4-5 özel üçgeninin 2 katı olan 6-8-10 özel dik üçgenidir.

Adım Adım Çözüm

1

Merdiven, zemin ve duvar arasındaki geometrik ilişkiyi dik üçgen olarak modelleyin.

Hipotenüsü 10 m, bir dik kenarı 6 m ve diğer dik kenarı (yükseklik) h olan bir dik üçgen elde edilir.

Merdiven duvara yaslandığında duvar ile zemin dik kesiştiği için bir dik üçgen oluşur.

2

Pisagor bağıntısın�� uygulayın: h^2 + 6^2 = 10^2.

h^2 + 36 = 100 denklemi kurulur.

Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.

3

Denklemi çözerek h değerini bulun.

h^2 = 64 ve buradan h = 8 m olarak bulunur (Ayrıca bu üçgen 6-8-10 özel dik üçgenidir).

Bilinmeyen yüksekliği bulmak için kareköklü işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Dik üçgende Pisagor bağıntısı ve özel dik üçgenler (3-4-5 üçgeninin katları)

İpuçları

1

Sorudaki merdiven, zemin ve duvarın oluşturduğu geometrik şekli bir dik üçgen olarak çizmeyi deneyin.

2

Bu dik üçgende hipotenüs merdivenin uzunluğu (10 m), dik kenarlardan biri ise merdivenin duvar tabanına olan uzaklığıdır (6 m).

3

Pisagor bağıntısını kullanabilir veya bu üçgenin en temel özel dik üçgenlerden biri olan 3-4-5 üçgeninin genişletilmiş bir hali (6-8-10) olduğunu fark edebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu 13 cm ve dik kenarlarından biri 5 cm ise diğer dik kenarın uzunluğunu bulmaya çalışarak bu konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

3-4-5 özel dik üçgeninin kenar uzunluklarının 2 katı alındığında 6-8-10 özel dik üçgeni elde edilir. Kenarları 6 m ve 10 m olan bu üçgende, bilinmeyen dik kenar doğrudan 8 m olarak bulunabilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 10Soru →

Taban yarıçapı $4\text{ cm}$ ve yüksekliği $10\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kap tamamen suyla doludur. Bu suyun tamamı, taban ayrıtları $5\text{ cm}$ ve $8\text{ cm}$ olan dikdörtgenler prizması biçimindeki boş bir kaba boşaltılıyor. Buna göre, prizmadaki suyun yüksekliği kaç $\text{cm}$ olur? ( $\pi = 3$ alınız.)

4

6

8

12

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Prizmadaki suyun yüksekliği 12 cm olur.

Silindirdeki suyun hacmi

V = 3 \cdot 4^2 \cdot 10 = 480\text{ cm}^3

olarak bulunur. Dikdörtgenler prizmasının taban alanı

5 \cdot 8 = 40\text{ cm}^2

olduğundan, suyun yüksekliği

480 / 40 = 12\text{ cm}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Silindirin hacim formülünü (

V = \pi \cdot r^2 \cdot h

) kullanarak silindirdeki suyun toplam hacmini hesaplayalım.

V = 3 \cdot 4^2 \cdot 10 = 3 \cdot 16 \cdot 10 = 480\text{ cm}^3

Kap tamamen dolu olduğu için suyun hacmi silindirin hacmine eşittir.

2

Suyun boşaltılacağı dikdörtgenler prizmasının taban alanını (

T_A = a \cdot b

) bulalım.

T_A = 5 \cdot 8 = 40\text{ cm}^2

Suyun prizma içindeki yüksekliğini bulmak için taban alanına ihtiyacımız vardır.

3

Suyun hacmini prizmanın taban alanına bölerek prizmadaki suyun yüksekliğini (

H

) bulalım.

H = \frac{480}{40} = 12\text{ cm}

Prizmadaki suyun hacmi

V = T_A \cdot H

bağ��ntısı ile hesaplandığı için hacim taban alanına bölünür.

Anahtar Kavram

Dik dairesel silindir ve dikdörtgenler prizmasının hacim hesaplamaları ile hacmin korunumu ilkesi.

İpuçları

1

Öncelikle silindirin hacmini bulmak için

V = \pi r^2 h

formülünü kullanın.

2

Bulduğunuz su hacmini, suyun boşaltılacağı prizmanın taban alanına (

5 \cdot 8

) bölerek yüksekliği bulun.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ , $m(\widehat{BAC}) = 60^\circ$ ve $|BC| = 6\sqrt{3}\text{ cm}$ 'dir.

Buna göre, $|AC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

6

12

6\sqrt{2}

12\sqrt{3}

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12 (Hipotenüs uzunluğu

12\text{ cm}

'dir.)

Verilen

ABC

üçgeni bir

30^\circ-60^\circ-90^\circ

dik üçgenidir. Bu üçgende

60^\circ

lik açının karşısındaki dik kenarın uzunluğu (

|BC| = 6\sqrt{3}\text{ cm}

),

30^\circ

lik açının karşısındaki dik kenarın uzunluğunun (

|AB|

)

\sqrt{3}

katına eşittir. Buradan

|AB| = 6\text{ cm}

bulunur. Hipotenüs uzunluğu (

|AC|

) ise

30^\circ

lik açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun 2 katı olduğundan

2 \times 6 = 12\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin iç açılarından yola çıkarak verilmeyen açıyı bulun.

m(\widehat{BCA}) = 30^\circ

Bir dik üçgende dik açı dışındaki iki dar açının toplamı

90^\circ

olmalıdır. Dolayısıyla

90^\circ - 60^\circ = 30^\circ

bulunur.

2

30^\circ-60^\circ-90^\circ

özel üçgeninin kenar özelliklerini kullanarak

|AB|

kenarının uzunluğunu hesaplayın.

|AB| = 6\text{ cm}

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgeninde,

60^\circ

lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu (

|BC|

),

30^\circ

lik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun (

|AB|

)

\sqrt{3}

katıdır.

6\sqrt{3} = |AB|\sqrt{3}

denkleminden

|AB| = 6\text{ cm}

elde edilir.

3

30^\circ

lik açının karşısındaki kenardan yararlanarak hipotenüs uzunluğunu (

|AC|

) hesaplayın.

|AC| = 12\text{ cm}

Aynı özel üçgende hipotenüs uzunluğu (

|AC|

),

30^\circ

lik açının karşısındaki kenarın (

|AB|

) uzunluğunun 2 katına eşittir. Dolayısıyla

|AC| = 2 \times 6 = 12\text{ cm}

olur.

Anahtar Kavram

30^\circ-60^\circ-90^\circ

Özel Dik Üçgeninde Kenar Uzunlukları İlişkisi

İpuçları

1

Sorudaki dik üçgenin iç açılarının ölçülerini belirleyerek işe başlayın.

2

30^\circ-60^\circ-90^\circ

özel üçgeninde

60^\circ

lik açının karşısındaki kenar ile

30^\circ

lik açının karşısındaki kenar arasındaki oranı hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir şekilde

45^\circ-45^\circ-90^\circ

ikizkenar dik üçgeninde hipotenüs ile dik kenarlar arasındaki ilişkiyi inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pisagor bağıntısını doğrudan kullanabilirsiniz. Eğer

30^\circ

lik açının karşısındaki kenara

x

dersek, hipotenüs

2x

olur. Pisagor teoremine göre

x^2 + (6\sqrt{3})^2 = (2x)^2 \implies x^2 + 108 = 4x^2 \implies 3x^2 = 108 \implies x^2 = 36 \implies x = 6\text{ cm}

bulunur. Buradan hipotenüs

2x = 12\text{ cm}

elde edilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 12Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ ve $B$ köşesinden $[AC]$ hipotenüsüne indirilen dikme ayağı $H$ 'dir.

$m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ve $|AB| = 4\text{ cm}$ olduğuna göre, $|BH|$ uzunluğu kaç cm'dir?

2

2\sqrt{5}

2\sqrt{3}

4\sqrt{3}

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2\sqrt{3}$

Cevap

İstenen dikme uzunluğu olan

2\sqrt{3}

cm

Verilen

ABC

dik üçgeninde,

m(\widehat{ACB}) = 30^\circ

ve

[AB] \perp [BC]

olduğundan

m(\widehat{BAC}) = 60^\circ

olur.

BH \perp AC

çizildiğinde oluşan

ABH

dik üçgeni de bir

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgenidir. Bu üçgende hipotenüs

|AB| = 4\text{ cm}

olduğundan,

30^\circ

'lik açının karşısındaki kenar

|AH| = 2\text{ cm}

ve

60^\circ

'lik açının karşısındaki kenar olan yükseklik

|BH| = 2\sqrt{3}\text{ cm}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

dik üçgeninde verilmeyen açıyı bulma

m(\widehat{BAC}) = 60^\circ

Bir dik üçgende iç açılar toplamı

180^\circ

olduğundan ve

m(\widehat{ABC}) = 90^\circ

,

m(\widehat{ACB}) = 30^\circ

verildiğinden,

m(\widehat{BAC}) = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ

olur.

2

ABH

dik üçgeninin açılarını belirleme

ABH

üçgeni bir

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgenidir

BH \perp AC

olduğundan

m(\widehat{AHB}) = 90^\circ

olur.

m(\widehat{BAH}) = 60^\circ

olduğundan,

m(\widehat{ABH}) = 30^\circ

kalır.

3

ABH

dik üçgeninde özel üçgen oranlarını kullanarak

|BH|

uzunluğunu hesaplama

|BH| = 2\sqrt{3}\text{ cm}

30^\circ-60^\circ-90^\circ

dik üçgeninde

60^\circ

lik açının karşısındaki kenar (

BH

), hipotenüsün (

AB = 4\text{ cm}

) yarısının

\sqrt{3}

katıdır:

|BH| = \frac{4}{2} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\text{ cm}

.

Anahtar Kavram

30-60-90 özel dik üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki oranlar ve dik üçgende yükseklik bağıntıları.

Alternatif Yöntem

Büyük

ABC

üçgeninin alanı iki farklı şekilde yazılabilir:

\text{Alan} = \frac{|AB| \times |BC|}{2} = \frac{|AC| \times |BH|}{2}

. Buradan

|AB| \times |BC| = |AC| \times |BH|

bağıntısı elde edilir.

30^\circ-60^\circ-90^\circ

üçgeni özelliklerinden

|AC| = 8\text{ cm}

ve

|BC| = 4\sqrt{3}\text{ cm}

bulunur. Değerler yerine yazılırsa:

4 \times 4\sqrt{3} = 8 \times |BH| \implies 16\sqrt{3} = 8|BH| \implies |BH| = 2\sqrt{3}\text{ cm}

elde edilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 13Soru →

Merkez açısının ölçüsü $120^\circ$ olan bir daire diliminin alanı $12\pi\text{ cm}^2$ olduğuna göre, bu daire diliminin yay uzunluğu kaç $\pi\text{ cm}$ 'dir?

2

4

6

8

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Daire diliminin yay uzunluğu

4\pi\text{ cm}

'dir (seçeneklerde 4 olarak verilmiştir)

Doğru cevap olan 4 değeri, daire diliminin alan formülünden elde edilen

r = 6\text{ cm}

yarıçap değeri kullanılarak yay uzunluğu formülüyle (

2\pi \cdot 6 \cdot \frac{120}{360} = 4\pi

) hesaplanır. Dolayısıyla yay uzunluğu

4\pi\text{ cm}

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Daire diliminin alan formülünü yazıp yarıçapı bulunuz.

12\pi = \pi r^2 \cdot \frac{120^\circ}{360^\circ} \implies 12 = r^2 \cdot \frac{1}{3} \implies r^2 = 36 \implies r = 6\text{ cm}

Daire diliminin yay uzunluğunu bulabilmek için öncelikle dairenin yarıçapına ulaşılması gerekmektedir.

2

Bulunan yarıçap değerini kullanarak daire diliminin yay uzunluğunu hesaplayınız.

\text{Yay Uzunluğu} = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} = 2\pi \cdot 6 \cdot \frac{120^\circ}{360^\circ} = 12\pi \cdot \frac{1}{3} = 4\pi\text{ cm}

Bulunan

6\text{ cm}

yarıçapı ve

120^\circ

merkez açısı yardımıyla yay uzunluğu elde edilir.

Anahtar Kavram

Daire Diliminin Alanı ve Yay Uzunluğu İlişkisi

İpuçları

1

Daire diliminin alan formülü

\text{Alan} = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}

şeklindedir. Öncelikle bu formülü kullanarak yarıçapı (

r

) bulmayı deneyin.

2

12\pi = \pi r^2 \cdot \frac{120}{360}

eşitliğinden

r^2 = 36

ve buradan yarıçapı

r = 6\text{ cm}

olarak bulursunuz.

3

Yarıçapı

r = 6\text{ cm}

bulduktan sonra, daire diliminin yay uzunluğu formülü olan

\text{Yay Uzunluğu} = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}

ifadesinde değerleri yerine koyarak sonuca ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, yay uzunluğu verilen bir daire diliminin alanını bulmaya yönelik sorular çözerek formüller arasındaki geçişleri pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Orantı kurma yöntemi:

120^\circ

merkez açılı daire diliminin alanı

12\pi

ise, tamamının (

360^\circ

) alanı 3 katı yani

36\pi

olur. Buradan

\pi r^2 = 36\pi \implies r = 6

bulunur. Tamamının çevresi

2\pi r = 12\pi

ise,

120^\circ

merkez açılı yay uzunluğu daire çevresinin üçte biri olacağından

\frac{12\pi}{3} = 4\pi

olarak hesaplanır.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 14Soru →

Taban yarıçapı $8\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kabın içinde bir miktar su bulunmaktadır. Bu kabın içine yarıçapı $6\text{ cm}$ olan demir bir küre bırakıldığında, küre tamamen suya batmaktadır. Buna göre, kaptaki su seviyesindeki artış kaç santimetredir?

\frac{9}{4}

\frac{9}{8}

\frac{9}{2}

\frac{27}{2}

\frac{3}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{2}$

Cevap

Kaptaki su seviyesindeki artış

\frac{9}{2}

santimetredir.

Kürenin suya batması sonucu kaptaki su seviyesinde meydana gelen yükselme, tamamen kürenin hacminden kaynaklanır. Yarıçapı

6\text{ cm}

olan kürenin hacmi

288\pi\text{ cm}^3

olarak bulunur. Taban yarıçapı

8\text{ cm}

olan silindirik kapta yükselen suyun hacmi ise

\pi \cdot 8^2 \cdot h = 64\pi h

olur. Bu iki hacim eşitlendiğinde

h = \frac{9}{2}\text{ cm}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kürenin hacmini hesaplayın.

V_{\text{küre}} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (6)^3 = 288\pi\text{ cm}^3

Suya tamamen batan kürenin hacmi, kaptaki suyun hacimsel artışına eşit olacakt��r.

2

Silindirde yükselen suyun hacmini artış yüksekliği olan

h

cinsinden yazın.

V_{\text{su}} = \pi r^2 h = \pi (8)^2 h = 64\pi h\text{ cm}^3

Yükselen su dilimi, taban yarıçapı silindirin yarıçapıyla aynı ve yüksekliği

h

olan bir silindir oluşturur.

3

Kürenin hacmi ile yükselen suyun hacmini birbirine eşitleyerek yükselme miktarını bulun.

64\pi h = 288\pi \implies h = \frac{288}{64} = \frac{9}{2}\text{ cm}

Batan cismin hacmi yer değiştiren sıvının hacmine eşit olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Batan katı cisimlerin sıvı seviyesini kendi hacimleri kadar yükseltmesi ilkesi ve silindir ile küre hacim formüllerinin uygulanması.

Soru 15Soru →

Bir dışbükey çokgenin üç iç açısının ölçüleri sırasıyla $140^\circ$ , $150^\circ$ ve $160^\circ$ dir. Bu çokgenin diğer tüm iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve $170^\circ$ olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

12

24

27

30

29

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 30'dur.

Doğru cevap 30'dur. Bir dışbükey çokgenin dış açılar toplamı

360^\circ

dir. Soruda verilen

140^\circ

,

150^\circ

ve

160^\circ

lik üç iç açının dış açıları sırasıyla

40^\circ

,

30^\circ

ve

20^\circ

dir. Diğer tüm iç açılar

170^\circ

olduğundan, bu köşelerin dış açıları

10^\circ

dir. Toplam

n

kenarlı çokgende bu eşit açılardan

n - 3

tane bulunur. Dış açılar toplamı denkleminden:

40^\circ + 30^\circ + 20^\circ + (n - 3) \times 10^\circ = 360^\circ \Rightarrow 90^\circ + 10^\circ(n - 3) = 360^\circ \Rightarrow n = 30

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Çokgenin kenar sayısını

n

olarak belirleyip, dış açılar toplamı kuralını hatırlayalım.

Bir dışbükey çokgenin kenar sayısı ne olursa olsun dış açılarının toplamı her zaman

360^\circ

dir.

Dış açılar üzerinden işlem yapmak, iç açılar toplamı formülüne göre daha hızlı ve pratik bir çözüm sağlar.

2

Ölçüleri verilen üç iç açının her birine karşılık gelen dış açıları hesaplayalım.

180^\circ - 140^\circ = 40^\circ

,

180^\circ - 150^\circ = 30^\circ

ve

180^\circ - 160^\circ = 20^\circ

dış açıları elde edilir.

Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı

180^\circ

dir.

3

Geriye kalan açıların dış açısını ve bu açılardan kaç tane olduğunu belirleyelim.

Kalan iç açılar

170^\circ

olduğundan her birinin dış açısı

180^\circ - 170^\circ = 10^\circ

olur. Toplam

n

köşeden 3 tanesini kullandığımız için geriye

n - 3

tane köşe kalır.

Çokgenin toplam köşe sayısı kenar sayısına (

n

) eşittir.

4

Tüm dış açıların toplamını

360^\circ

ye eşitleyen denklemi kuralım ve

n

değerini çözelim.

40^\circ + 30^\circ + 20^\circ + (n - 3) \times 10^\circ = 360^\circ

ise

90^\circ + 10^\circ(n - 3) = 360^\circ

olur. Buradan

10^\circ(n - 3) = 270^\circ

,

n - 3 = 27

ve

n = 30

bulunur.

Kurulan doğrusal denklem çözülerek çokgenin kenar sayısı belirlenir.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerin dış açılar toplamının

360^\circ

olması ve bir köşedeki iç açıyla dış açının bütünler (

180^\circ

) olması kuralı.

İpuçları

1

Çokgen sorularında iç açılar yerine dış açılar toplamının daima

360^\circ

olduğu bilgisini kullanmak işlemleri oldukça kolaylaştırır.

2

Her bir iç açıyı

180^\circ

ye tamamlayarak dış açıları bulun. Üç açının dış açıları

40^\circ

,

30^\circ

ve

20^\circ

iken diğer köşelerin her birinin dış açısı

10^\circ

dir.

3

Kenar sayısı

n

ise,

10^\circ

lik dış açılardan

n-3

tane vardır. Bu dış açıların hepsinin toplamını

360^\circ

ye eşitleyen denklemi kurarak

n

değerini çekebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, bir düzgün çokgenin bir iç açısı ile bir dış açısı arasındaki bağıntıyı kurarak kenar sayısını bulmaya yönelik soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Soru iç açılar toplamı formülü olan

(n-2) \times 180^\circ

kullanılarak da çözülebilir. Çokgenin iç açılar toplamı:

140^\circ + 150^\circ + 160^\circ + (n-3) \times 170^\circ = (n-2) \times 180^\circ

şeklinde yazılır. Buradan

450 + 170n - 510 = 180n - 360 \Rightarrow 170n - 60 = 180n - 360 \Rightarrow 10n = 300 \Rightarrow n = 30

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 16Soru →

Dik koordinat düzleminde,

y = 2x - 4

y = -x + 5

doğruları ile

y

-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

\frac{27}{2}

\frac{3}{2}

3

27

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{27}{2}$

Cevap

Doğrular ile y-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı \frac{27}{2} birimkaredir.

Verilen doğruların ortak çözümü yapılarak kesişim noktasının koordinatları

(3, 2)

olarak bulunur. Bu noktanın apsisi (

3

), y-eksenini taban kabul eden üçgenin yüksekliğidir. Doğruların y-eksenini kestiği noktalar olan

(0, -4)

ve

(0, 5)

arasındaki uzaklık ise taban uzunluğu olan

9

birimi verir. Buradan üçgenin alanı

\frac{9 \times 3}{2} = \frac{27}{2}

birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğruların kesişim noktasını bulmak üzere ortak çözüm yapın.

2x - 4 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3

bulunur. Bu değer kesişim noktasının apsisidir ve y-eksenine olan dik uzaklığı (yüksekliği) temsil eder. Herhangi bir denklemde yerine yazıldığında

y = 2(3) - 4 = 2

elde edilir. Kesişim noktası

(3, 2)

'dir.

Bölgeyi sınırlayan köşelerden birini ve bu köşeden y-eksenine indirilen yüksekliğin uzunluğunu bulmak için ortak çözüm gereklidir.

2

Doğruların y-eksenini kestiği noktaları belirlemek için denklemlerde

x = 0

yazın.

y = 2x - 4

doğrusu için

x = 0 \Rightarrow y = -4

olur. Nokta:

(0, -4)

.

y = -x + 5

doğrusu için

x = 0 \Rightarrow y = 5

olur. Nokta:

(0, 5)

.

Üçgenin y-ekseni üzerinde kalan tabanının uç noktalarını belirlemek için eksen kesim noktaları bulunmalıdır.

3

y-ekseni üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplayarak taban uzunluğunu bulun.

Taban uzunluğu (

b

) =

|5 - (-4)| = 9

birimdir.

Üçgenin alanını hesaplayabilmek için y-ekseni üzerindeki taban kenarının uzunluğuna ihtiyaç duyulur.

4

Taban ve yükseklik değerlerini üçgenin alan formülünde yerine yazın.

Alan = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} = \frac{9 \times 3}{2} = \frac{27}{2}

birimkare bulunur.

Yüksekliği ve taban uzunluğu bilinen üçgenin alan formülü uygulanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde doğruların kesim noktalarının bulunması ve eksenlerle sınırladığı kapalı bölgenin alan hesabı.

İpuçları

1

Bölgeyi sınırlayan üçgenin köşelerinden birini bulmak için öncelikle iki doğrunun kesişim noktasını ortak çözüm yaparak bulun.

2

Kesişim noktasının y-eksenine olan dik uzaklığı (yani apsis değeri) oluşturacağınız üçgenin yüksekliğini temsil eder.

3

Doğruların y-eksenini kestiği noktaları bulmak için denklemlerde

x=0

yazın. Bu noktaların arasındaki mesafe üçgenin y-ekseni üzerindeki taban uzunluğunu verir.

Daha Fazla Pratik

Bu soruyu pekiştirmek için aynı doğruların x-ekseni ile sınırladığı bölgenin alanını hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Köşe koordinatları bilinen üçgenin alan formülü kullanılabilir. Üçgenin köşeleri

(0, 5)

,

(0, -4)

ve

(3, 2)

noktalarıdır. Bu noktalar matris/determinant biçiminde yazılarak alan formülü uygulandığında:

Alan = \frac{1}{2} |0(-4 - 2) + 0(2 - 5) + 3(5 - (-4))| = \frac{1}{2} |27| = \frac{27}{2}

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 17Soru →

$O$ merkezli çeyrek dairenin içine; $[OA]$ yarıçapına, $[OB]$ yarıçapına ve çeyrek çemberin yayına teğet olan $M$ merkezli bir daire yerleştirilmiştir. Çeyrek dairenin yarıçapı $6 + 6\sqrt{2}\text{ cm}$ olduğuna göre, çeyrek dairenin içinde olup $M$ merkezli dairenin dışında kalan boyalı bölgenin alanı kaç $\pi\text{ cm}^2$ 'dir?

18\sqrt{2} + 15

18\sqrt{2} + 27

18\sqrt{2} - 9

9\sqrt{2} + 18

18\sqrt{2} + 9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $18\sqrt{2} - 9$

Cevap

Boyalı bölgenin alanı

18\sqrt{2} - 9

\pi\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Çeyrek dairenin yarıçapı

R = 6(\sqrt{2} + 1)

olarak yazıldığında, iç teğet dairenin yarıçapı ile ilişkisi

R = r(\sqrt{2} + 1)

olduğundan içteki dairenin yarıçapı

r = 6\text{ cm}

bulunur. Çeyrek dairenin alanı

A_{\text{çeyrek}} = \frac{1}{4}\pi R^2 = \frac{1}{4}\pi (6 + 6\sqrt{2})^2 = (27 + 18\sqrt{2})\pi

ve içteki dairenin alanı

A_{\text{daire}} = \pi r^2 = 36\pi

olur. Aradaki fark alındığında

(18\sqrt{2} - 9)\pi

alanına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Merkezler arası ilişkiyi kurma

OM = r\sqrt{2}

İçteki daire dik kesişen yarıçaplara teğet olduğundan, merkezinin başlangıç noktasına uzaklığı bir kenarı

r

olan karenin köşegenidir.

2

Çeyrek dairenin yarıçapı ile içteki dairenin yarıçapı arasındaki bağıntıyı yazma

R = r(\sqrt{2} + 1)

Merkezden teğet noktasına kadar olan toplam mesafe çeyrek dairenin yarıçapı

R

'ye eşittir.

3

İçteki dairenin yarıçapını bulma

r = 6\text{ cm}

6(\sqrt{2} + 1) = r(\sqrt{2} + 1)

eşitliğinden

r

çekilir.

4

Çeyrek dairenin alanını hesaplama

A_{\text{çeyrek}} = (27 + 18\sqrt{2})\pi\text{ cm}^2

Çeyrek daire alanı

A = \frac{1}{4}\pi R^2

formülü ile bulunur.

5

İçteki dairenin alanını hesaplama

A_{\text{daire}} = 36\pi\text{ cm}^2

Daire alanı

A = \pi r^2

formülü ile bulunur.

6

Boyalı bölgenin alanını hesaplama

A_{\text{boyalı}} = (18\sqrt{2} - 9)\pi\text{ cm}^2

Çeyrek dairenin alanından içteki dairenin alanı çıkarılır.

Anahtar Kavram

Çeyrek daire ve içine çizilen teğet dairenin alan ilişkisi

Soru 18Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ ve $m(\widehat{ABC}) = 30^\circ$ ’dir. $BC$ hipotenüsü üzerinde alınan bir $D$ noktasından $[AB]$ kenarına çizilen dikme ayağı $E$ , $[AC]$ kenarına çizilen dikme ayağı ise $F$ ’dir.

$|BE| = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ ve $|CF| = 2\text{ cm}$ olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

5

\sqrt{13}

\sqrt{15}

\sqrt{21}

\sqrt{93}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sqrt{21}$

Cevap

Doğru cevap

\sqrt{21}\text{ cm}

'dir.

Dikdörtgen ve

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

üçgenlerinin kenar özelliklerini uygulayarak

|AF| = 3\text{ cm}

ve

|DF| = 2\sqrt{3}\text{ cm}

uzunluklarına ulaşılır. Ardından

\triangle AFD

dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulandığında

|AD|^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 = 21

denkleminden

|AD| = \sqrt{21}\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

AEDF

dörtgeninin köşe açılarından yararlanarak geometrik türünün belirlenmesi.

AEDF

dörtgeni bir dikdörtgendir. Buradan

|AE| = |DF|

ve

|AF| = |ED|

eşitlikleri elde edilir.

[AB] \perp [AC]

olduğundan

\angle A = 90^\circ

’dir.

[DE] \perp [AB]

ve

[DF] \perp [AC]

olduğundan

\angle E = 90^\circ

ve

\angle F = 90^\circ

’dir. Üç iç açısı dik açı olan dörtgen bir dikdörtgendir.

2

BDE

dik üçgeninde

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

özel üçgeni kurallarının uygulanması.

|DE| = 3\text{ cm}

(dolayısıyla

|AF| = 3\text{ cm}

) ve

|BD| = 6\text{ cm}

olarak bulunur.

ABC

dik üçgeninde

\angle A = 90^\circ

ve

\angle B = 30^\circ

olduğundan

\angle C = 60^\circ

’dir.

\triangle BDE

dik üçgeninde

\angle B = 30^\circ

ise

\angle BDE = 60^\circ

olur.

60^\circ

'nin karşısındaki kenar

|BE| = 3\sqrt{3}\text{ cm}

olduğundan,

30^\circ

'nin karşısındaki kenar

|DE| = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3\text{ cm}

olarak elde edilir.

3

CDF

dik üçgeninde

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

özel üçgeni kurallarının uygulanması.

|DF| = 2\sqrt{3}\text{ cm}

(dolayısıyla

|AE| = 2\sqrt{3}\text{ cm}

) ve

|CD| = 4\text{ cm}

olarak bulunur.

\triangle CDF

dik üçgeninde

\angle C = 60^\circ

olduğundan

\angle CDF = 30^\circ

olur.

30^\circ

'nin karşısındaki kenar

|CF| = 2\text{ cm}

olduğundan,

60^\circ

'nin karşısındaki kenar

|DF| = 2\sqrt{3}\text{ cm}

olarak elde edilir.

4

AFD

dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanarak

|AD|

uzunluğunun hesaplanması.

|AD| = \sqrt{21}\text{ cm}

olarak bulunur.

AFD

dik üçgeninde hipotenüs

AD

uzunluğudur. Pisagor bağıntısı uygulandığında

|AD|^2 = |AF|^2 + |DF|^2 \implies |AD|^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 = 9 + 12 = 21 \implies |AD| = \sqrt{21}\text{ cm}

sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Dik üçgende özel açılı üçgenlerin (

30^\circ - 60^\circ - 90^\circ

) kenar uzunlukları arasındaki oranlar ve Pisagor bağıntısının uygulanması.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 19Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 45^\circ$ ve $|AB| = 3\sqrt{2}\text{ cm}$ 'dir. $[BD] \perp [AC]$ olacak şekilde $AC$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınıyor. $|DC| = 4\text{ cm}$ olduğuna göre, $BC$ kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

5

\sqrt{7}

\sqrt{34}

7

2\sqrt{13}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $5$

Cevap

BC kenarının uzunluğu 5 cm'dir.

Doğru cevap 5 cm'dir.

ABD

dik üçgeninin

45^\circ-45^\circ-90^\circ

üçgeni olmasından faydalanılarak

|BD| = 3\text{ cm}

bulunur. Ardından

BDC

dik üçgeninde kenarları

3\text{ cm}

ve

4\text{ cm}

olan dik üçgenin hipotenüsü

3-4-5

özel üçgeninden 5 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

ABD

dik üçgeninde özel üçgen kurallarını uygulayarak

|BD|

uzunluğunu bulunuz.

|BD| = 3\text{ cm}

ve

|AD| = 3\text{ cm}

m(\widehat{BAC}) = 45^\circ

ve

[BD] \perp [AC]

olduğundan,

ABD

üçgeni bir

45^\circ-45^\circ-90^\circ

ikizkenar dik üçgenidir. Hipotenüs uzunluğu

3\sqrt{2}\text{ cm}

olduğundan dik kenarlar bunun

\frac{1}{\sqrt{2}}

katı, yani

3\text{ cm}

olur.

2

BDC

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak

|BC|

uzunluğunu bulunuz.

|BC| = 5\text{ cm}

BDC

üçgeninde

[BD] \perp [AC]

olduğundan bu bir dik üçgendir. Dik kenarları

|BD| = 3\text{ cm}

ve

|DC| = 4\text{ cm}

'dir.

3-4-5

özel dik üçgeni kuralından veya Pisagor bağıntısından (

|BC|^2 = 3^2 + 4^2 = 25

) hipotenüs

|BC| = 5\text{ cm}

olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Özel dik üçgenler (

45^\circ-45^\circ-90^\circ

ve

3-4-5

üçgenleri) ve Pisagor bağıntısı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 20Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $D$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir.

$|AB| = |AD| = |CD|$ ve $m(\widehat{BAC}) = 75^\circ$ olduğuna göre, $m(\widehat{ABC})$ kaç derecedir?

35

50

60

70

80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

İstenen açının ölçüsü

70^\circ

dir.

İstenen açının ölçüsü

70^\circ

olarak bulunur.

|AD| = |CD|

eşitliğinden

m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{DAC}) = x

yazılır.

ADC

üçgeninde iki iç açının toplamı kendilerine komşu olmayan bir dış açıya eşit olduğundan

m(\widehat{ADB}) = 2x

elde edilir.

|AB| = |AD|

eşitliğinden dolayı

ABD

üçgeni ikizkenar olup

m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ADB}) = 2x

olur.

ABC

üçgeninin iç açılarının ölçüleri toplamı

180^\circ

olduğundan

75^\circ + 2x + x = 180^\circ \implies 3x = 105^\circ \implies x = 35^\circ

bulunur. Buradan istenen

m(\widehat{ABC})

açısının ölçüsü

2x = 70^\circ

olur.

Adım Adım Çözüm

1

İkizkenar üçgenlerin taban açılarını harflendirin.

m(\widehat{ACB}) = x

ve

m(\widehat{DAC}) = x

olur.

|AD| = |CD|

olduğundan

ADC

üçgeni taban açıları eşit olan bir ikizkenar ��çgendir.

2

Üçgende dış açı özelliğini kullanarak

m(\widehat{ADB})

açısını bulun.

m(\widehat{ADB}) = x + x = 2x

olur.

ADC

üçgeninde komşu olmayan iki iç açının toplamı, bu açılara komşu olmayan dış açının ölçüsüne eşittir.

3

Di��er ikizkenar üçgenin özelliğinden yararlanarak

m(\widehat{ABC})

açısını yazın.

m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ABD}) = 2x

olur.

|AB| = |AD|

oldu��undan

ABD

üçgeni ikizkenardır ve taban açıları eşittir.

4

ABC

üçgeninin iç açılarının ölçüleri toplamını

180^\circ

ye eşitleyin.

75^\circ + 2x + x = 180^\circ \implies 3x = 105^\circ \implies x = 35^\circ

bulunur.

Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman

180^\circ

dir.

5

İstenen

m(\widehat{ABC})

açısının değerini hesaplayın.

m(\widehat{ABC}) = 2x = 2 \times 35^\circ = 70^\circ

olur.

İstenen açı

2x

olarak ifade edilmiştir.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende taban açılarının eşitliği ve bir dış açının komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olması kuralı.

Geometri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram