Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArdışık Sayılar ve Terim Sayısı

Her bir terimi bir öncekinden 33 fazla olan bir sayı dizisinin ilk nn teriminin toplamı 122122, son nn teriminin toplamı ise 218218'dir.

Bu dizideki tüm terimlerin toplam�� 510510 olduğuna göre, bu dizinin toplam terim sayısı kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    8
  3. C
    10
  4. 12Cevap
  5. E
    16

Cevap

Bu dizinin toplam terim sayısı 12'dir.
Doğru yanıt, terim sayısı 12 olan seçenektir. İlk ve son n terim toplamlarının simetrisinden N = 3n oranı kurulur. İki toplamın farkından n = 4 hesaplanır. Buradan toplam terim sayısı N = 12 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk nn terim ile son nn terimin toplamını toplayarak ardışık sayı dizisinin simetri özelliğini kullanın.
İlk nn terim ve son nn terimin toplamı 122+218=340122 + 218 = 340 olarak bulunur. Bu toplam, n⋅(a1+aN)=340n \cdot (a_1 + a_N) = 340 eşitliğine karşılık gelir.
Dizinin başından ve sonundan eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı sabittir ve ilk terim ile son terimin toplamına (a1+aNa_1 + a_N) eşittir.
2
Tüm terimlerin toplamı formülü ile elde edilen eşitliği oranlayarak toplam terim sayısı NN ile nn arasındaki ilişkiyi belirleyin.
Tüm terimlerin toplamı Sall=N2(a1+aN)=510  ⟹  N(a1+aN)=1020S_{all} = \frac{N}{2}(a_1 + a_N) = 510 \implies N(a_1 + a_N) = 1020 olur. Bu eşitlik ile n(a1+aN)=340n(a_1 + a_N) = 340 eşitliği oranlandığında Nn=1020340=3  ⟹  N=3n\frac{N}{n} = \frac{1020}{340} = 3 \implies N = 3n bulunur.
İlk ve son terimin toplamı ortak olduğu için iki toplamı oranlayarak terim sayıları arasında doğrudan bir oran kurabiliriz.
3
İlk nn terimin toplamı ile son nn terimin toplamının farkından yararlanarak ortak fark yardımıyla nn değerini hesaplayın.
Son nn terimin toplamı ile ilk nn terimin toplamı arasındaki fark 218−122=96218 - 122 = 96'dır. Bu fark, terimlerin indis farklarından kaynaklanır ve 3⋅n(N−n)=96  ⟹  n(N−n)=323 \cdot n(N - n) = 96 \implies n(N - n) = 32 eşitliğini verir. N=3nN = 3n yazıldığında n(3n−n)=32  ⟹  2n2=32  ⟹  n2=16  ⟹  n=4n(3n - n) = 32 \implies 2n^2 = 32 \implies n^2 = 16 \implies n = 4 bulunur.
Terimlerin artış miktarı 33 olduğundan, son nn terim ile ilk nn terim arasındaki her bir eşleşen terim farkı (N−n)⋅3(N-n) \cdot 3 kadardır.
4
Bulunan nn değerini terim sayısı bağıntısında yerine yazarak toplam terim sayısını bulun.
N=3n  ⟹  N=3×4=12N = 3n \implies N = 3 \times 4 = 12 olarak elde edilir.
Toplam terim sayısı N=3nN = 3n olarak tanımlandığı için n=4n = 4 değeri doğrudan sonucu verir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terim toplamı, terim sayısı ve simetri özelliği kullanılarak bilinmeyen terim sayısının bulunması.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Terim Sayısı

Bu konudan daha fazla soru