Examkin

Paralel Doğrular Arası Uzaklık

4 soru

Soru 1Soru →

Analitik düzlemde 3x−4y+7=03x - 4y + 7 = 0 ve 3x−4y−8=03x - 4y - 8 = 0 paralel doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Paralel doğrular arasındaki uzaklık 3 birimdir.
Verilen iki doğrunun katsayıları eşit olduğundan (A=3A=3, B=−4B=-4), doğrular arasındaki uzaklık formülü olan d=∣C1−C2∣A2+B2d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} doğrudan uygulanır. Formülde değerler yerine yazıldığında d=∣7−(−8)∣32+(−4)2=155=3d = \frac{|7 - (-8)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{15}{5} = 3 birim bulunur. Bu nedenle doğru cevap 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Paralel doğruların denklemlerindeki katsayıları belirleme.
A=3A = 3, B=−4B = -4, C1=7C_1 = 7 ve C2=−8C_2 = -8
Paralel doğrular arası uzaklık formülünü uygulayabilmek için katsayıların doğru tespit edilmesi gerekir.
2
Paralel doğrular arası uzaklık formülünü yazma.
d=∣C1−C2∣A2+B2d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
Paralel iki doğrunun birbirine olan dik uzaklığını veren genel formül budur.
3
Belirlenen katsayıları formülde yerine yazarak hesaplama yapma.
d=∣7−(−8)∣32+(−4)2=159+16=1525=155=3d = \frac{|7 - (-8)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{15}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3
Formülün sonucunda elde edilen değer iki doğru arasındaki en kısa (dik) uzaklığı verir.

Anahtar Kavram

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık, doğruların sabit terimlerinin farkının mutlak değerinin, değişkenlerin katsayılarının kareleri toplamının kareköküne bölünmesiyle bulunur.

İpuçları

1
Paralel iki doğru arasındaki uzaklığı bulmak için öncelikle iki doğrunun xx ve yy katsayılarının eşit olduğundan emin olun.
2
Denklemlerde A=3A=3 ve B=−4B=-4'tür. Sabit terimler ise C1=7C_1 = 7 ve C2=−8C_2 = -8'dir. Uzaklık formülü d=∣C1−C2∣A2+B2d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} şeklindedir.
Tahmini Süre:45s
Soru 2Soru →
Analitik düzlemde, denklemleri
5x+12y+15=05x + 12y + 15 = 0
10x+24y−48=010x + 24y - 48 = 0
olan iki paralel doğru arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İki paralel doğru arasındaki uzaklık 3 birimdir.
Verilen doğruların katsayılarını eşitlemek amacıyla ikinci doğrunun denklemi 2 ile sadeleştirildiğinde 5x+12y−24=05x + 12y - 24 = 0 denklemi elde edilir. Bu durumda a=5a=5, b=12b=12, c1=15c_1=15 ve c2=−24c_2=-24 olur. Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülü kullanılarak d=∣15−(−24)∣52+122=3913=3d = \frac{|15 - (-24)|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{39}{13} = 3 birim olarak hesaplanır. Bu nedenle doğru yanıt 3 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğru denklemlerinin katsayılarını eşitlemek için ikinci denklemi düzenleyin.
10x+24y−48=010x + 24y - 48 = 0 denkleminin her terimi 2'ye bölünerek 5x+12y−24=05x + 12y - 24 = 0 denklemi elde edilir.
Paralel doğrular arası uzaklık formülünü uygulayabilmek için xx ve yy değişkenlerinin katsayılarının (aa ve bb) her iki denklemde de aynı olması gerekir.
2
Elde edilen denklemlerden katsayıları ve sabit terimleri belirleyin.
a=5a = 5, b=12b = 12, c1=15c_1 = 15 ve c2=−24c_2 = -24 olarak belirlenir.
Uzaklık formülündeki değişkenlerin yerine konulması için bu değerlere ihtiyaç vardır.
3
Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünü uygulayarak uzaklığı hesaplayın.
d=∣c1−c2∣a2+b2=∣15−(−24)∣52+122=∣39∣25+144=3913=3d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|15 - (-24)|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|39|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{39}{13} = 3 olarak bulunur.
İki paralel doğru arasındaki en kısa uzaklık, sabitlerin farkının mutlak değerinin, katsayıların karelerinin toplamının kareköküne bölünmesiyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Paralel doğrular arasındaki uzaklık hesaplanırken öncelikle değişkenlerin katsayıları eşitlenmeli, ardından sabit terimlerin farkının mutlak değeri katsayıların kareleri toplamının kareköküne bölünmelidir.
Tahmini Süre:45s
Soru 3Soru →
Analitik düzlemde, iki paralel caddenin kenarları sırasıyla
3x−4y+12=03x - 4y + 12 = 0
6x−8y−16=06x - 8y - 16 = 0
doğruları ile modellenmiştir.

Bu iki cadde arasına, her iki caddeye de teğet olacak şekilde inşa edilebilecek en büyük dairesel kavşağın yarıçapı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dairesel kavşağın yarıçapı 2 birimdir.
İki paralel cadde kenarı arasındaki en kısa uzaklık, bu caddelere teğet olacak dairesel kavşağın çapını verir. Doğruların xx ve yy katsayıları eşitlendiğinde denklemler 6x−8y+24=06x - 8y + 24 = 0 ve 6x−8y−16=06x - 8y - 16 = 0 olur. Bu iki paralel doğru arasındaki uzaklık d=∣24−(−16)∣62+(−8)2=4d = \frac{|24 - (-16)|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = 4 birimdir. Dairenin çapı 4 birim olduğundan yarıçapı 2 birim bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci doğrunun denklemini 2 ile genişletmek
6x−8y+24=06x - 8y + 24 = 0
Paralel doğrular arası uzaklık formülünü uygulayabilmek için her iki denklemdeki xx ve yy katsayılarının aynı olması gerekir.
2
İki paralel doğru arasındaki uzaklık formülün�� uygulamak
d=∣24−(−16)∣62+(−8)2=4010=4d = \frac{|24 - (-16)|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{40}{10} = 4 birim
Bu iki doğruya teğet olan en büy��k dairenin çapı, doğrular arasındaki en kısa uzaklığa (dd) eşittir.
3
Çapı ikiye bölerek yarıçapı bulmak
r=d2=42=2r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2 birim
Dairenin yarıçapı, çapının yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünün geometrik modellemelerde kullanılması

İpuçları

1
İki paralel doğru arasındaki uzaklığı bulmak için öncelikle iki doğrunun denklemindeki xx ve yy katsayılarını eşitlemelisiniz.
2
Katsayıları eşitledikten sonra d=∣C1−C2∣A2+B2d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} formülüyle doğrular arasındaki mesafeyi (kavşağın çapını) bulun.
3
Kavşağın çapını 4 birim bulduktan sonra, soruda sizden çap değil yarıçap (rr) istendiğini unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, iki paralel doğru arasına çizilebilecek en büyük karenin alanını bulmaya yönelik soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Birinci doğru üzerinde keyfi bir nokta seçilebilir. Örneğin 3x−4y+12=03x - 4y + 12 = 0 doğrusu üzerinde x=0x = 0 için y=3y = 3 noktası ((0,3)(0, 3)) bulunur. Bu noktanın 6x−8y−16=06x - 8y - 16 = 0 doğrusuna olan uzaklığı noktanın doğruya uzaklığı formülüyle hesaplanarak caddeler arası mesafe (çap) yine 4 birim olarak elde edilir. Buradan yarıçap 2 birim bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 4Soru →
Analitik düzlemde, karşılıklı iki kenarı
12x−5y+39=012x - 5y + 39 = 0
24x−10y−52=024x - 10y - 52 = 0
doğruları üzerinde bulunan bir karenin alanı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Alan değeri 25 birimkaredir.
Karenin karşılıklı iki kenarı paralel doğrular üzerinde yer aldığından, bu doğrular arasındaki dik uzaklık karenin bir kenar uzunluğuna eşit olur. İkinci denklemi 2 ile sadeleştirdiğimizde doğrular 12x−5y+39=012x - 5y + 39 = 0 ve 12x−5y−26=012x - 5y - 26 = 0 halini alır. Bu doğrular arasındaki uzaklık formülü uygulandığında kenar uzunluğu 55 birim olarak hesaplanır. Kenarı 55 birim olan karenin alanı ise 2525 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci doğrunun denklemini 2 ile sadeleştirerek katsayılarını birinci doğrunun katsayıları ile eşitleyin.
12x−5y−26=012x - 5y - 26 = 0 denklemi elde edilir.
Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünü uygulayabilmek için doğruların xx ve yy katsayılarının (AA ve BB değerlerinin) eşitlenmesi gerekir.
2
Katsayıları eşitlenen doğrular arasındaki uzaklık formülünü uygulayın.
Uzaklık d=∣39−(−26)∣122+(−5)2=6513=5d = \frac{|39 - (-26)|}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}} = \frac{65}{13} = 5 birim olarak bulunur.
Karşılıklı kenarları paralel doğrular üzerinde olan karenin doğrular arasındaki dik uzaklığı, karenin bir kenar uzunluğunu (a=5a=5) verir.
3
Karenin bir kenar uzunluğunu kullanarak alanını hesaplayın.
Alan=a2=52=25Alan = a^2 = 5^2 = 25 birimkare olarak bulunur.
Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılmasıyla (karesiyle) elde edilir.

Anahtar Kavram

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü d=∣C1−C2∣A2+B2d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} şeklindedir. Formülü uygulamadan önce doğruların AA ve BB katsayıları mutlaka eşitlenmelidir.
Tahmini Süre:1m 30s
Paralel Doğrular Arası Uzaklık Alıştırma Soruları — ALES | Examkin