Examkin

Dairede Alan Uygulamaları

2 soru

Soru 1Soru →

Bir kenar uzunluğu 4 cm4\text{ cm} olan ABCDABCD karesinin içine, DD köşesi merkez kabul edilerek 4 cm4\text{ cm} yarıçaplı bir çeyrek daire çizilmiştir. Buna göre, karenin içinde olup çeyrek dairenin dışında kalan taralı bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16−4π16 - 4\pi

Cevap

Karenin alanından çeyrek dairenin alanının çıkarılmasıyla elde edilen 16−4π16 - 4\pi ifadesidir.
Taralı alan, bir kenarı 4 cm4\text{ cm} olan karenin alanından (16 cm216\text{ cm}^2), merkez açısı 90∘90^\circ (çeyrek daire) ve yarıçapı 4 cm4\text{ cm} olan daire diliminin alanının (4π cm24\pi\text{ cm}^2) çıkarılmasıyla bulunur. Bu işlem sonucunda 16−4π16 - 4\pi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Karenin alanını hesaplayın.
Skare=4×4=16 cm2S_{\text{kare}} = 4 \times 4 = 16\text{ cm}^2
Taralı bölgenin sınırlandığı dış şekil bir kenarı 4 cm4\text{ cm} olan bir karedir.
2
Yarıçapı 4 cm4\text{ cm} olan çeyrek dairenin alanını hesaplayın.
Sc¸eyrek daire=14×π×r2=14×π×42=4π cm2S_{\text{çeyrek daire}} = \frac{1}{4} \times \pi \times r^2 = \frac{1}{4} \times \pi \times 4^2 = 4\pi\text{ cm}^2
Çeyrek daire, tüm daire alanının dörtte birine eşittir.
3
Taralı bölgenin alanını bulmak için çeyrek dairenin alanını karenin alanından çıkarın.
Staralı=Skare−Sc¸eyrek daire=16−4π cm2S_{\text{taralı}} = S_{\text{kare}} - S_{\text{çeyrek daire}} = 16 - 4\pi\text{ cm}^2
İstenen alan, karenin alanından kesilen çeyrek dairelik kısmın çıkarılmasıyla geriye kalan bölgedir.

Anahtar Kavram

Bir geometrik şeklin alanından diğerinin alanını çıkararak taralı bölgenin alanını bulma uygulaması.

İpuçları

1
Taralı bölgenin alanını doğrudan formülle bulmak yerine, tüm karenin alanından beyaz renkli çeyrek dairenin alanını çıkarmayı düşünün.
2
Karenin kenarı 4 cm4\text{ cm} olduğuna göre alanı 42=16 cm24^2 = 16\text{ cm}^2'dir. Beyaz bölge ise yarıçapı 4 cm4\text{ cm} olan bir çeyrek dairedir.
Tahmini Süre:45s
Soru 2Soru →

Bir kenar uzunluğu 6 cm6\text{ cm} olan bir eşkenar üçgenin her bir köşesi merkez kabul edilerek 3 cm3\text{ cm} yarıçaplı üç daire dilimi çizilmiştir. Bu daire dilimleri üçgenin iç bölgesinde kalmaktadır. Buna göre, üçgenin içinde olup bu daire dilimlerinin dışında kalan bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 93−9π29\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}

Cevap

93−9π29\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}
Doğru cevap olan 93−9π29\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2} seçeneği, bir kenarı 6 cm6\text{ cm} olan eşkenar üçgenin alanından (93 cm29\sqrt{3}\text{ cm}^2), köşelerde yer alan ve toplamları 180∘180^\circ (yarım daire) eden 3 cm3\text{ cm} yarıçaplı üç daire diliminin alanının (9π2 cm2\frac{9\pi}{2}\text{ cm}^2) çıkarılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşkenar üçgenin alanını hesaplayalım.
A(U¨c¸gen)=a234=6234=93 cm2A(\text{Üçgen}) = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2
İstenen bölgenin alanını bulmak için öncelikle tüm üçgenin alanını bilmemiz gerekir.
2
Köşelerdeki daire dilimlerinin alanları toplamını bulalım.
Eşkenar üçgenin iç açıları 60∘60^\circ olduğundan, her bir köşedeki dilim 60∘60^\circ'liktir. 3 adet dilim olduğu için toplam merkez açı 3×60∘=180∘3 \times 60^\circ = 180^\circ olur. Bu da yarıçapı 3 cm3\text{ cm} olan bir yarım daireye karşılık gelir. Yarım dairenin alanı: 12×π×r2=12×π×32=9π2 cm2\frac{1}{2} \times \pi \times r^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times 3^2 = \frac{9\pi}{2}\text{ cm}^2 bulunur.
Üçgenin köşelerinden çıkarılacak dairesel bölgelerin toplam alanını hesaplamak için daire dilimi alanı veya yarım daire alanı formülü uygulanır.
3
Üçgenin alanından daire dilimlerinin alanları toplamını çıkararak taralı bölgenin alanını bulalım.
Taralı Alan = 93−9π2 cm29\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}\text{ cm}^2
Aranan bölgenin alanı, tüm üçgen alanından köşelerdeki daire dilimlerinin toplam alanının çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Eşkenar üçgen alanı ve daire dilimlerinin alanları toplamının dairede alan uygulamalarında kullanılması
Dairede Alan Uygulamaları Alıştırma Soruları — ALES | Examkin