Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDairede Alan Uygulamaları

Bir kenar uzunluğu 6 cm6\text{ cm} olan bir eşkenar üçgenin her bir köşesi merkez kabul edilerek 3 cm3\text{ cm} yarıçaplı üç daire dilimi çizilmiştir. Bu daire dilimleri üçgenin iç bölgesinde kalmaktadır. Buna göre, üçgenin içinde olup bu daire dilimlerinin dışında kalan bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. A
    93−9π9\sqrt{3} - 9\pi
  2. B
    93−3π9\sqrt{3} - 3\pi
  3. 93−9π29\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}Cevap
  4. D
    183−9π218\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}
  5. E
    93−3π29\sqrt{3} - \frac{3\pi}{2}

Cevap

93−9π29\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}
Doğru cevap olan 93−9π29\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2} seçeneği, bir kenarı 6 cm6\text{ cm} olan eşkenar üçgenin alanından (93 cm29\sqrt{3}\text{ cm}^2), köşelerde yer alan ve toplamları 180∘180^\circ (yarım daire) eden 3 cm3\text{ cm} yarıçaplı üç daire diliminin alanının (9π2 cm2\frac{9\pi}{2}\text{ cm}^2) çıkarılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşkenar üçgenin alanını hesaplayalım.
A(U¨c¸gen)=a234=6234=93 cm2A(\text{Üçgen}) = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2
İstenen bölgenin alanını bulmak için öncelikle tüm üçgenin alanını bilmemiz gerekir.
2
Köşelerdeki daire dilimlerinin alanları toplamını bulalım.
Eşkenar üçgenin iç açıları 60∘60^\circ olduğundan, her bir köşedeki dilim 60∘60^\circ'liktir. 3 adet dilim olduğu için toplam merkez açı 3×60∘=180∘3 \times 60^\circ = 180^\circ olur. Bu da yarıçapı 3 cm3\text{ cm} olan bir yarım daireye karşılık gelir. Yarım dairenin alanı: 12×π×r2=12×π×32=9π2 cm2\frac{1}{2} \times \pi \times r^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times 3^2 = \frac{9\pi}{2}\text{ cm}^2 bulunur.
Üçgenin köşelerinden çıkarılacak dairesel bölgelerin toplam alanını hesaplamak için daire dilimi alanı veya yarım daire alanı formülü uygulanır.
3
Üçgenin alanından daire dilimlerinin alanları toplamını çıkararak taralı bölgenin alanını bulalım.
Taralı Alan = 93−9π2 cm29\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}\text{ cm}^2
Aranan bölgenin alanı, tüm üçgen alanından köşelerdeki daire dilimlerinin toplam alanının çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Eşkenar üçgen alanı ve daire dilimlerinin alanları toplamının dairede alan uygulamalarında kullanılması
Bu soruyu puanla

Konular

Dairede Alan Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru