Examkin

Sayı Basamakları ve Çözümleme

3 soru

Soru 1Soru →

ABAB, BCBC ve CACA iki basamaklı doğal sayılardır.

AB+BC+CA=132AB + BC + CA = 132

olduğuna göre, rakamları birbirinden farklı üç basamaklı ABCABC doğal sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 792

Cevap

En büyük ve en küçük değerler arasındaki fark 792 olarak bulunur.
Doğru cevap olan 792 değeri, denklem çözümlemesinden elde edilen A+B+C=12A+B+C=12 eşitliğinden yola çıkılarak, basamak kısıtları dahilinde oluşturulabilecek en büyük üç basamaklı sayı olan 921 ile en küçük üç basamaklı sayı olan 129'un farkıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı sayıların çözümlemesini yapın.
10A+B+10B+C+10C+A=13210A + B + 10B + C + 10C + A = 132 ifadesinden 11(A+B+C)=13211(A + B + C) = 132 ve buradan A+B+C=12A + B + C = 12 elde edilir.
Rakamların toplamını belirlemek amacıyla basamak çözümlemesi yapılır.
2
ABAB, BCBC ve CACA sayılarının iki basamaklı olma şartını ve rakam kısıtlarını belirleyin.
A,B,CA, B, C rakamları iki basamaklı sayıların onlar basamağında yer aldığından sıfır olamaz (A≠0A \neq 0, B≠0B \neq 0, C≠0C \neq 0). Ayrıca ABCABC sayısının rakamları birbirinden farklı olmalıdır.
Tanım kümesine uygun basamak koşullarını ve rakamların benzersizliği şartını uygulamak.
3
Koşullara uygun en büyük ABCABC sayısını oluşturun.
En büyük değer için yüzler basamağı A=9A = 9 seçilir. Buradan B+C=3B + C = 3 kalır. Rakamlar sıfırdan ve birbirinden farklı olması gerektiği için B=2B = 2 ve C=1C = 1 seçilir. En büyük sayı 921921 olur.
Yüzler basamağını en yüksek tutarak sayının değerini maksimize etmek.
4
Koşullara uygun en küçük ABCABC sayısını oluşturun.
En küçük değer için yüzler basamağı A=1A = 1 seçilir. Buradan B+C=11B + C = 11 kalır. Onlar basamağındaki BB değerini en küçük yapmak için birler basamağındaki CC rakamı maksimum (C=9C = 9) seçilir. Böylece B=2B = 2 olur. En küçük sayı 129129 olur.
Yüzler basamağını en düşük tutarak ve basamak kısıtlarına uyarak sayının değerini minimize etmek.
5
Bulunan en büyük ve en küçük değerlerin farkını hesaplayın.
921−129=792921 - 129 = 792 elde edilir.
Soruda talep edilen fark değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayı basamakları çözümlemesi ve basamak kısıtları (onlar basamağının sıfır olamaması kuralı)
Soru 2Soru →
Üç basamaklı ABCABC ve CBACBA doğal sayıları için
ABC−CBA=495ABC - CBA = 495
olduğuna göre, rakamları birbirinden farklı kaç farklı ABCABC sayısı yazılabilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Rakamları birbirinden farklı 32 farklı ABC sayısı yazılabilir.
Verilen çıkarma işlemi çözümlendiğinde 99(A−C)=49599(A - C) = 495 elde edilir ve buradan A−C=5A - C = 5 bağıntısına ulaşılır. CBACBA sayısı üç basamaklı olduğundan CC sıfır olamaz. Bu koşula uyan (A,C)(A, C) rakam çiftleri (6,1),(7,2),(8,3),(9,4)(6,1), (7,2), (8,3), (9,4) olmak üzere 4 tanedir. Rakamları farklı koşulu gereği BB rakamı AA ve CC değerlerini alamayacağı için geriye kalan 8 rakamdan biri olabilir. Böylece 4×8=324 \times 8 = 32 farklı sayı yazılabilir. Bu nedenle 32 değerini veren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
ABC ve CBA üç basamaklı sayılarını çözümleyerek aralarındaki fark ifadesini sadeleştirin.
ABC−CBA=(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=99(A−C)ABC - CBA = (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99(A - C) elde edilir.
Sayı basamaklarının çözümleme kuralı uygulanarak B bilinmeyeninin sadeleşmesi sağlanır.
2
Verilen fark değerini kullanarak A ile C arasındaki farkı bulun.
99(A−C)=495⇒A−C=599(A - C) = 495 \Rightarrow A - C = 5 bulunur.
Soruda verilen sayısal fark değerinden basamaklar arası sayısal ilişkiye geçilir.
3
CBA sayısının da üç basamaklı olduğunu göz önünde bulundurarak A ve C rakamlarının alabileceği değerleri belirleyin.
C≠0C \neq 0 olmalıdır. Bu durumda A−C=5A - C = 5 koşulunu sağlayan (A,C)(A, C) ikilileri (6,1),(7,2),(8,3),(9,4)(6,1), (7,2), (8,3), (9,4) olmak üzere 4 tanedir.
Sayının basamak sayısı kuralı gereği en büyük basamağın s��fır olamayacağı kısıtlaması uygulanır.
4
Rakamları birbirinden farklı olma koşuluna göre B rakamının alabileceği değer sayısını bulun.
BB rakamı toplam 10 rakam arasından seçilebilir ancak B≠AB \neq A ve B≠CB \neq C olmalıdır. Dolayısıyla her ikili için BB'nin alabileceği 10−2=810 - 2 = 8 farklı değer vardır.
Soruda belirtilen 'rakamları birbirinden farklı' koşulu her bir basamak için ayrı ayrı sağlanmalıdır.
5
Bulunan durum sayılarını çarparak yazılap bilecek toplam ABC sayısını hesaplayın.
4 farklı (A,C)(A, C) ikilisi ve her biri için 8 farklı BB değeri olduğundan toplam 4×8=324 \times 8 = 32 sayı yazılabilir.
Çarpma yoluyla sayma yöntemi kullanılarak tüm olası durumlar hesaplanır.

Anahtar Kavram

Sayı basamaklarının çözümlenmesi ve basamak sayısı kısıtlamaları

İpuçları

1
ABCABC ve CBACBA sayılarını basamak değerlerine göre çözümleyerek fark ifadesini AA ve CC cinsinden yazın.
2
Elde ettiğiniz 99(A−C)=49599(A-C) = 495 eşitliğinden A−C=5A - C = 5 bağıntısını bulun. CBACBA üç basamaklı olduğu için CC'nin sıfır olamayacağına dikkat edin.
3
A−C=5A - C = 5 koşulunu sağlayan 4 adet (A,C)(A, C) ikilisi vardır. Rakamları farklı dendiği için her durum için BB rakamı AA ve CC'den farklı olmalıdır. BB için kaç seçenek kalacağını hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde dört basamaklı sayılar içeren veya basamaklarının yerleri değiştiğinde değeri belirli bir oranda artan/azalan sayı basamakları problemlerini çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Çözümleme yaptıktan sonra A−C=5A - C = 5 farkını doğrudan sağlayan değerleri deneyerek de bulabilirsiniz. Örneğin C=1C=1 için A=6A=6 olur. Sayımız 6B16B1 biçimindedir. Rakamları farklı olacağından BB yerine 66 ve 11 dışındaki tüm rakamlar yazılabilir. Bu mantıkla her durum tek tek doğrulanabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →
İki basamaklı ABAB ve BABA doğal sayıları için,
AB+BA=5⋅(A+B+12)AB + BA = 5 \cdot (A + B + 12)
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, A⋅BA \cdot B çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Çarpımın alabileceği en b��yük değer 25'tir.
Doğru cevap olan 25 değeri, iki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi doğru yapılıp denklem çözüldüğünde elde edilen A+B=10A+B=10 eşitliğinden gelir. Toplamları sabit olan iki rakamın çarpımının en büyük olması için bu rakamlar birbirine en yakın (bu durumda eşit) seçilmelidir. A=5A=5 ve B=5B=5 rakamları için çarpım 5⋅5=255 \cdot 5 = 25 olur.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB ve BABA iki basamaklı sayılarını basamak değerlerine göre çözümleyip toplayalım.
AB+BA=(10A+B)+(10B+A)=11(A+B)AB + BA = (10A + B) + (10B + A) = 11(A+B) elde edilir.
Denklemde iki basamaklı sayıları tek bir bilinmeyenli terim cinsinden ifade etmek için çözümleme yapılır.
2
Bulduğumuz çözümleme sonucunu verilen denklemde yerine yazıp dağılma özelliğini uygulayalım.
11(A+B)=5(A+B)+6011(A+B) = 5(A+B) + 60 elde edilir.
Parantezi açarak benzer terimleri bir araya getirmek amaçlanır.
3
A+BA+B toplamını yalnız bırakalım.
6(A+B)=60  ⟹  A+B=106(A+B) = 60 \implies A+B = 10 bulunur.
Rakamların toplamını bularak çarpım için olası değerleri belirlemek amaçlanır.
4
AA ve BB birer rakam ve AB,BAAB, BA iki basamaklı sayılar olduğu için A≠0A \neq 0 ve B≠0B \neq 0 koşulunu göz önünde bulundurarak toplamları 10 olan rakam ikililerini yazıp en büyük çarpım değerini belirleyelim.
Olası rakam ikilileri (1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5)(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5) olup en büyük çarpım değeri 5⋅5=255 \cdot 5 = 25 olur.
Toplamı sabit olan iki sayının çarpımının en büyük olması için sayıların birbirine en yakın seçilmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Sayı Basamakları ve Çözümleme
Sayı Basamakları ve Çözümleme Alıştırma Soruları — ALES | Examkin