Examkin

Kombinasyon

7 soru

Soru 1Soru →

Bir şirkette çalışan 4 yazılımcı ve 5 tasarımcı arasından 4 kişilik bir proje ekibi oluşturulacaktır. Ekipte en az bir yazılımcı ve en az bir tasarımcı bulunması zorunlu olduğuna göre, bu ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

En az bir yazılımcı ve en az bir tasarımcı içeren 4 kişilik ekiplerin sayısı 120 farklı şekilde oluşturulabilir.
Koşulları sağlayan ekip sayısını bulmak için tüm olası 4 kişilik grupların sayısından (126126), sadece yazılımcıların olduğu (11) ve sadece tasarımcıların olduğu (55) gruplar çıkarılır. Böylece geriye kalan 120120 grupta kesinlikle en az bir yazılımcı ve en az bir tasarımcı bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası 4 kişilik ekiplerin sayısını hesaplamak
C(9,4)=9×8×7×64×3×2×1=126C(9,4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126
Kısıtlamasız toplam seçim sayısını bulmak için 9 kişiden 4 kişi seçilir.
2
Kısıtlamaları ihlal eden istenmeyen durumların sayısını hesaplamak
Sadece yazılımcılardan oluşan durum sayısı: C(4,4)=1C(4,4) = 1. Sadece tasarımcılardan oluşan durum sayısı: C(5,4)=5C(5,4) = 5. İstenmeyen toplam durum sayısı: 1+5=61 + 5 = 6.
Ekipte en az bir yazılımcı ve en az bir tasarımcı olması gerektiğinden, tamamen yazılımcılardan veya tamamen tasarımcılardan oluşan ekipler istenmeyen durumlardır.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarmak
126−6=120126 - 6 = 120
İstenen koşulları sağlayan durum sayısını elde etmek için tüm olası seçimlerden kuralı ihlal edenleri çıkarırız.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçim) ve İstenmeyen Durumların Çıkarılması Yöntemi
Soru 2Soru →

Bir kütüphanede 55 farklı roman ve 44 farklı tarih kitabı bulunmaktadır. Bir öğrenci, bu kitaplar arasından en az 22 tanesi roman olmak üzere toplam 33 kitap seçecektir.

Buna göre, bu öğrenci kitap seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

En az iki romanın bulunduğu durumların toplam sayısı olan 50
En az 2 roman seçilmesi istendiği için iki farklı durum mevcuttur. İlk durum, 5 romandan 2'sinin ve 4 tarih kitabından 1'inin seçilmesidir ki bu (52)×(41)=40\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 40 farklı yol sunar. İkinci durum ise 5 romandan 3'ünün seçilmesidir ki bu da (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı yol sunar. Bu iki alternatif durumun toplamı 40+10=5040 + 10 = 50 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
En az 2 roman seçilmesi koşuluna uygun olası durumları belirlemek.
Seçim 2 farklı durumda gerçekleşebilir: (2 Roman ve 1 Tarih kitabı) veya (3 Roman).
Toplam 3 kitap seçilecektir ve bu kitaplardan en az 2'sinin roman olması istenmektedir.
2
2 roman ve 1 tarih kitabının seçilebileceği durum sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplamak.
(52)×(41)=10×4=40\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 10 \times 4 = 40 farklı şekilde seçilebilir.
5 roman arasından 2 roman ve 4 tarih kitabı arasından 1 tarih kitabı seçilir. Bu seçimler bağımsız ve eş zamanlı olduğundan çarpılır.
3
3 romanın seçilebileceği durum sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplamak.
(53)×(40)=10×1=10\binom{5}{3} \times \binom{4}{0} = 10 \times 1 = 10 farklı şekilde seçilebilir.
5 roman arasından 3 roman seçilir ve hiç tarih kitabı seçilmez.
4
Bulunan durum sayılarını toplayarak toplam farklı seçim sayısını elde etmek.
40+10=5040 + 10 = 50 farklı şekilde seçim yapılabilir.
Belirlenen iki durum birbirinin alternatifi (ayrık olaylar) olduğu için durum sayıları toplanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçim) ve Toplama-Çarpma Kuralları

İpuçları

1
En az 2 roman seçimi, ya tam olarak 2 roman ya da 3 roman seçilebileceği anlamına gelir.
2
Her iki durum için ayrı ayrı kombinasyon hesaplamalı ve bu durumları toplamalısınız.
3
5 romandan 2 ve 4 tarih kitabından 1 seçimi için (52)×(41)\binom{5}{2} \times \binom{4}{1}, 5 romandan 3 seçimi için ise (53)\binom{5}{3} kombinasyonunu kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, en az bir tarih kitabının seçilmesi koşuluyla oluşturulabilecek grupların sayısını hesaplayarak kombinasyon mantığınızı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm olası 3 kitap seçimlerinden, içinde hiç roman olmayan veya sadece 1 roman olan durumları çıkararak da sonuca ulaşabiliriz. Tüm durumlar: (93)=84\binom{9}{3} = 84. Hiç roman olmama durumu (3 tarih kitabı): (43)=4\binom{4}{3} = 4. Sadece 1 roman olma durumu (1 roman, 2 tarih kitabı): (51)×(42)=5×6=30\binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 5 \times 6 = 30. İstenmeyen durumlar toplamı: 4+30=344 + 30 = 34. Sonuç: 84−34=5084 - 34 = 50 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →

Bir spor kulübünde 55 koşucu ve 33 atlayıcı olmak üzere toplam 88 atlet bulunmaktadır. Bu atletler arasından bir yarışma için 44 kişilik bir grup oluşturulacaktır. Oluşturulacak grupta en az 22 koşucu bulunması gerektiğine göre, bu grup kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6565

Cevap

Grup 6565 farklı şekilde seçilebilir.
Grupta en az 22 koşucu bulunması koşulu; 22 koşucu ve 22 atlayıcı, 33 koşucu ve 11 atlayıcı ya da 44 koşucu ve 00 atlayıcı seçilmesi durumlarını gerektirir. Bu durumların kombinasyonları sırasıyla 3030, 3030 ve 55 olarak hesaplanır ve toplandığında 6565 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulları sağlayan grupları belirleme
Grupta en az 22 koşucu olması istendiğinden, 44 kişilik grupta 22 koşucu ve 22 atlayıcı, 33 koşucu ve 11 atlayıcı veya 44 koşucu ve 00 atlayıcı bulunabilir.
En az 22 koşucu koşulu, koşucu sayısının 22, 33 veya 44 olabileceği anlamına gelir.
2
Her durum için kombinasyon hesaplama
2 koşucu ve 2 atlayıcı seçimi: C(5,2)×C(3,2)=10×3=30C(5,2) \times C(3,2) = 10 \times 3 = 30, 3 koşucu ve 1 atlayıcı seçimi: C(5,3)×C(3,1)=10×3=30C(5,3) \times C(3,1) = 10 \times 3 = 30, 4 koşucu ve 0 atlayıcı seçimi: C(5,4)×C(3,0)=5×1=5C(5,4) \times C(3,0) = 5 \times 1 = 5
Sıralama önemsiz olup sadece seçim yapıldığı için kombinasyon formülü uygulanır.
3
Farklı durumların sonuçlarını toplama
30+30+5=6530 + 30 + 5 = 65 farklı seçim yapılabilir.
Farklı olasılıklar veya durumlar toplama kuralı ile birleştirilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon hesaplamalarında belirli kısıtlar altında seçim yapma ve toplama/çarpma kurallarını uygulama.
Soru 4Soru →

Bir üniversitede dönem başında açılan 99 seçmeli dersten 33'ü aynı gün ve aynı saatte verilmektedir.

Bu dersler arasından haftalık ders programında çakışma olmayacak şekilde 44 ders seçmek isteyen bir öğrenci, bu seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75

Cevap

Seçim çakışma olmayacak şekilde 75 farklı şekilde yapılabilir.
Öğrenci, haftalık programda çakışma olmaması için aynı saatte verilen 33 dersten en fazla 11 tanesini seçebilir. Bu durumda iki geçerli senaryo vardır: Çakışan derslerden hiçbirinin seçilmemesi (kalan 66 dersten 44'ü seçilir, (64)=15\binom{6}{4} = 15 durum) veya çakışan derslerden tam 11 tanesinin seçilmesi (çakışan 33 dersten 11'i ve çakışmayan 66 dersten 33'ü seçilir, (31)×(63)=60\binom{3}{1} \times \binom{6}{3} = 60 durum). Bu iki durumun toplamı olan 7575 sonucu doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1
Çakışan ve çakışmayan ders gruplarını belirleme
Toplam 99 dersin 33 tanesi aynı saatte verilmektedir (çakışan grup). Geriye kalan 9−3=69 - 3 = 6 ders ise çakışmamaktadır (çakışmayan grup).
Derslerin çakışma durumlarına göre gruplandırılması, seçim senaryolarını doğru analiz etmek için gereklidir.
2
Hiçbir çakışan dersin seçilmediği durumu hesaplama
Seçilecek 44 dersin tamamı çakışmayan 66 ders arasından seçilir: (64)=15\binom{6}{4} = 15 durum.
Aynı saatte çakışan derslerden hiçbirinin programa dahil edilmediği geçerli durumu bulmak için.
3
Çakışan derslerden tam olarak 1 tanesinin seçildiği durumu hesaplama
Çakışan 33 dersten 11 tane ve çakışmayan 66 dersten 33 tane seçilir: (31)×(63)=3×20=60\binom{3}{1} \times \binom{6}{3} = 3 \times 20 = 60 durum.
Aynı saatte çakışan derslerden en fazla 1 tane seçilebileceği için tam 1 ders seçilen durumu bulmak için.
4
Toplam geçerli durum sayısını bulma
Toplam seçim sayısı = 15+60=7515 + 60 = 75 durumdur.
Tüm olası geçerli senaryoların toplamını alarak nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kısıtlı Kombinasyon (Grup Seçimi ve Durum Analizi)

İpuçları

1
Aynı saatte verilen 33 dersten aynı anda en fazla kaç tanesini seçebileceğinizi düşünün.
2
Aynı saatte verilen derslerden ya hiç seçmemelisiniz ya da tam olarak 11 tane seçmelisiniz. Bu iki durumu ayrı ayrı hesaplayıp toplayabilirsiniz.
3
Hiç çakışan seçilmeyen durum: (64)\binom{6}{4}. Sadece 11 çakışan seçilen durum: (31)×(63)\binom{3}{1} \times \binom{6}{3}. Bu iki değeri toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çalışan ama bu kez en az bir tane çakışan dersin seçilmesinin zorunlu olduğu bir senaryo tasarlayarak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm olası seçimlerden, istenmeyen (çakışma yaratan) durumları çıkarabilirsiniz. Toplam durum (94)=126\binom{9}{4} = 126'dır. İstenmeyen durumlar, çakışan derslerden 22 tane seçilmesi ((32)×(62)=45\binom{3}{2} \times \binom{6}{2} = 45) ve çakışan derslerden 33 tane seçilmesidir ((33)×(61)=6\binom{3}{3} \times \binom{6}{1} = 6). Tüm durumlardan bu istenmeyenleri çıkardığımızda: 126−(45+6)=75126 - (45 + 6) = 75 sonucuna ulaşırız.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →

10 soruluk bir sınavda bir öğrencinin ilk 4 sorudan en az 3'ünü seçmek şartıyla toplam 6 soru cevaplaması gerekmektedir. Buna göre, bu öğrenci cevaplayacağı soruları kaç farklı şekilde seçebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 95

Cevap

Bu öğrenci cevaplayacağı soruları 95 farklı şekilde seçebilir.
Öğrencinin ilk 4 sorudan en az 3'ünü seçmesi gerektiği için iki farklı senaryo mevcuttur. İlk senaryoda ilk gruptan 3, ikinci gruptan 3 soru seçilir ve bu seçim (43)⋅(63)=4⋅20=80\binom{4}{3} \cdot \binom{6}{3} = 4 \cdot 20 = 80 farklı yolla gerçekleşir. İkinci senaryoda ilk gruptan 4, ikinci gruptan 2 soru seçilir ve bu seçim (44)⋅(62)=1⋅15=15\binom{4}{4} \cdot \binom{6}{2} = 1 \cdot 15 = 15 farklı yolla gerçekleşir. Bu iki bağımsız senaryonun toplamı olan 95 değeri doğru yanıtı verir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 4 sorudan tam olarak 3 sorunun seçildiği 1. durumu hesaplamak.
İlk 4 sorudan 3 soru (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı şekilde seçilir. Toplam 6 soruya tamamlamak için kalan 6 sorudan da 3 soru seçilmelidir. Bu seçim ise (63)=20\binom{6}{3} = 20 farklı şekilde yapılır. Çarpma kuralı gereği, bu durum için toplam seçim sayısı: 4⋅20=804 \cdot 20 = 80 olur.
Koşuldaki 'en az 3' ifadesi, tam olarak 3 sorunun ilk gruptan seçilme olasılığını içerir.
2
İlk 4 sorunun tamamının (4 sorunun da) seçildiği 2. durumu hesaplamak.
İlk 4 sorunun 4'ü de (44)=1\binom{4}{4} = 1 farklı şekilde seçilir. Toplam 6 soruya tamamlamak için kalan 6 sorudan 2 soru seçilmelidir. Bu seçim ise (62)=15\binom{6}{2} = 15 farklı şekilde yapılır. Çarpma kuralı gereği, bu durum için toplam seçim sayısı: 1⋅15=151 \cdot 15 = 15 olur.
'En az 3' koşulu, ilk gruptan 4 sorunun da seçilebileceğini belirtir.
3
Elde edilen bağımsız iki durumun sonuçlarını toplamak.
Toplam farklı seçim sayısı: 80+15=9580 + 15 = 95 bulunur.
Farklı durumlar birbirine alternatif (bağımsız) olduğu için toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon hesaplamalarında 'en az' koşulu içeren problemlerin alt durumlara ayrılarak çözülmesi ve saymanın toplama/çarpma kurallarının uygulanması.
Soru 6Soru →

A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} kümesinin 44 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde en az iki çift sayı bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 53

Cevap

En az iki çift sayı bulunduran alt kümelerin sayısı 53'tür.
Doğru cevaba ulaşmak için kümedeki tek ve çift sayılar ayrılır. 4 tek ve 4 çift sayı vardır. 4 elemanlı alt kümelerde en az iki çift sayı olması istendiğinden, kümede 2, 3 veya 4 çift sayı bulunabilir. Bu durumlar ayrı ayrı hesaplanır: 2 çift ve 2 tek sayı seçimi (42)×(42)=36\binom{4}{2} \times \binom{4}{2} = 36 farklı şekilde, 3 çift ve 1 tek sayı seçimi (43)×(41)=16\binom{4}{3} \times \binom{4}{1} = 16 farklı şekilde, 4 çift sayı seçimi ise (44)=1\binom{4}{4} = 1 farklı şekilde yapılır. Bu üç durum toplanarak 36+16+1=5336 + 16 + 1 = 53 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki tek ve çift sayıları belirleme
Tek sayılar: {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 adet), Çift sayılar: {2,4,6,8}\{2, 4, 6, 8\} (4 adet)
Kombinasyon hesaplamalarında kullanılacak grupların eleman sayılarını tespit etmek için.
2
En az iki çift sayı içeren 4 elemanlı alt kümelerin durumlarını belirleme
Durum 1: 2 çift ve 2 tek sayı. Durum 2: 3 çift ve 1 tek sayı. Durum 3: 4 çift ve 0 tek sayı.
'En az iki çift' koşulunu sağlayan tüm olası senaryoları ayrık durumlar olarak incelemek için.
3
Her bir durum için kombinasyon hesaplama
Durum 1: (42)×(42)=6×6=36\binom{4}{2} \times \binom{4}{2} = 6 \times 6 = 36. Durum 2: (43)×(41)=4×4=16\binom{4}{3} \times \binom{4}{1} = 4 \times 4 = 16. Durum 3: (44)×(40)=1×1=1\binom{4}{4} \times \binom{4}{0} = 1 \times 1 = 1.
Belirlenen senaryoların her biri için kaç farklı seçim yapılabileceğini bulmak için.
4
Durumların sonuçlarını toplayarak toplam sayıyı bulma
36+16+1=5336 + 16 + 1 = 53
Ayrık durumların toplamı, koşulu sağlayan tüm alt kümelerin sayısını verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçim) ve Ayrık Durumların Toplanması

İpuçları

1
Kümedeki elemanları tek ve çift sayılar olarak iki gruba ayırarak işe başlayın.
2
4 elemanlı bir alt kümede 'en az iki çift sayı' bulunması, kümede 2, 3 veya 4 çift sayı olabileceği anlamına gelir.
3
İkinci bir yol olarak tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısından, hiç çift sayı içermeyen veya sadece 1 çift sayı içeren alt kümelerin sayısını çıkarabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, aynı kümenin en çok iki çift sayı içeren 4 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlar yöntemini kullanabiliriz. Kümenin tüm 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı (84)=70\binom{8}{4} = 70'tir. İstenmeyen durumlar: 1) Hiç çift sayı olmaması (4 tek sayı): (44)×(40)=1\binom{4}{4} \times \binom{4}{0} = 1. 2) Sadece 1 çift sayı olması (1 çift, 3 tek sayı): (41)×(43)=16\binom{4}{1} \times \binom{4}{3} = 16. İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar = 70−(1+16)=5370 - (1 + 16) = 53 olarak bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 7Soru →

Bir hastanede kurulacak 4 kişilik bir araştırma ekibi için 3 kardiyolog ve 4 nörolog aday gösterilmiştir. Bu ekipte en az bir kardiyolog ve en az bir nörolog bulunması zorunludur. Ayrıca adaylar arasında yer alan Kardiyolog Dr. Ahmet ile Nörolog Dr. Mehmet aynı ekipte birlikte çalışmak istememektedir. Buna göre, bu araştırma ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Ekip 24 farklı şekilde oluşturulabilir.
Doğru cevap 24'tür. En az bir kardiyolog ve en az bir nörolog içeren tüm 4 kişilik grupların sayısı 34'tür. Bu gruplardan Dr. Ahmet ve Dr. Mehmet'in birlikte yer aldığı 10 grup çıkarıldığında geriye istenen şartları sağlayan 24 farklı grup kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm adaylar arasından en az bir kardiyolog ve en az bir nörolog bulunan 4 kişilik ekiplerin toplam sayısını bulmak.
Toplam ekip sayısı 3434 olur.
Hiçbir kısıtlama olmadan 7 kişiden 4 kişi C(7,4)=35C(7,4) = 35 farklı ��ekilde seçilir. Ancak en az bir kardiyolog ve en az bir nörolog olması gerektiğinden, sadece nörologlardan oluşan durum çıkarılmalıdır. Sadece nörologlardan oluşan durum sayısı C(4,4)=1C(4,4) = 1 olduğundan, 35−1=3435 - 1 = 34 durum elde edilir.
2
Dr. Ahmet ve Dr. Mehmet'in birlikte bulunduğu durumların sayısını hesaplamak.
Birlikte bulundukları durum sayısı 1010 olur.
Dr. Ahmet ve Dr. Mehmet ekibe seçildiğinde, ekipte zaten en az bir kardiyolog ve en az bir nörolog bulunma şartı sağlanmış olur. Kalan 2 kişi, bu iki doktor dışındaki 5 aday arasından C(5,2)=10C(5,2) = 10 farklı şekilde seçilir.
3
Tüm durumlardan Dr. Ahmet ve Dr. Mehmet'in birlikte bulunduğu durumları çıkarmak.
Geçerli ekip sayısı 2424 olarak bulunur.
İstenen koşul bu iki doktorun birlikte çalışmaması olduğundan, tüm uygun durumlardan birlikte bulundukları durumlar çıkarılır.

Anahtar Kavram

Kısıtlı kombinasyon hesaplamaları ve küme dışlama yöntemi.
Kombinasyon Alıştırma Soruları — ALES | Examkin