Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değer

xx ve yy gerçel sayıları için,

∣x−4∣<3 |x - 4| < 3
∣y+1∣≤2 |y + 1| \leq 2

olduğuna göre, ∣x−y∣|x - y| ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

  1. A
    8
  2. 9Cevap
  3. C
    10
  4. D
    11
  5. E
    12

Cevap

Verilen eşitsizliklerden elde edilen aralıklara göre ∣x−y∣|x - y| ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri 9'dur.
Verilen eşitsizliklerden xx değişkeninin (1,7)(1, 7) aralığında, yy değişkeninin ise [−3,1][-3, 1] aralığında olduğu saptanır. x−yx - y farkının en büyük olması için xx en büyük (77'ye en yakın), yy ise en küçük (−3-3) seçilmelidir. Bu durumda x−yx - y değeri 1010'dan küçük fakat 1010'a çok yakın değerler alabilir. Bu aralıktaki (0<x−y<100 < x - y < 10) mutlak değerce en büyük tam sayı değeri 9 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
∣x−4∣<3|x - 4| < 3 eşitsizliğini mutlak değer özelliklerini kullanarak açın.
−3<x−4<3⇒1<x<7-3 < x - 4 < 3 \Rightarrow 1 < x < 7
Mutlak değerli bir ifade bir pozitif sayıdan küçükse, ifade o sayının negatifi ile pozitifi arasındadır.
2
∣y+1∣≤2|y + 1| \leq 2 eşitsizliğini mutlak değer özelliklerini kullanarak açın.
−2≤y+1≤2⇒−3≤y≤1-2 \leq y + 1 \leq 2 \Rightarrow -3 \leq y \leq 1
Aynı özellik küçük eşittir durumu için de geçerlidir, sadece sınır değerleri çözüme dahil edilir.
3
x−yx - y farkının en geniş değer aralığını belirlemek için eşitsizlikleri taraf tarafa işlem yapılabilecek hale getirin.
1<x<71 < x < 7 ve −1≤−y≤3-1 \leq -y \leq 3 (eşitsizliği −1-1 ile çarparak yön değiştirdik).
Eşitsizliklerde çıkarma işlemi yapılamaz, ancak negatifle çarpılıp toplama yapılabilir.
4
Elde edilen iki eşitsizliği taraf tarafa toplayın.
1+(−1)<x−y<7+3⇒0<x−y<101 + (-1) < x - y < 7 + 3 \Rightarrow 0 < x - y < 10
Biri açık diğeri kapalı aralık toplandığında sonuç açık aralık olur (<< işareti baskındır).
5
∣x−y∣|x - y| ifadesinin aralığını ve bu aralıktaki en büyük tam sayıyı bulun.
0<x−y<100 < x - y < 10 ise ∣x−y∣|x - y| değeri [0,10)[0, 10) aralığındadır. En büyük tam sayı 9'dur.
Aralık 10'u içermediği için 10'dan küçük olan en büyük tam sayı seçilir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve iki değişkenli ifadelerin değer aralıklarının belirlenmesi.

İpuçları

1
Öncelikle ∣x−4∣<3|x - 4| < 3 ve ∣y+1∣≤2|y + 1| \leq 2 eşitsizliklerini açarak xx ve yy için değer aralıklarını bulun.
2
x−yx - y farkının en büyük değerini bulmak için xx'i alabileceği en büyük, yy'yi ise en küçük değerine yakın seçmelisiniz.
3
x<7x < 7 ve y≥−3y \geq -3 olduğuna göre x−y<7−(−3)=10x - y < 7 - (-3) = 10 olur. Eşitsizlikteki küçüktür işaretine dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli eşitsizliklerde sınır değerlerinin dahil olup olmaması (açık/kapalı aralık) tam sayı sorularında sonucu doğrudan değiştirir. Bu tür sorularda uç değerlere dikkat ederek pratik yapınız.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer

Bu konudan daha fazla soru