Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değer
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
∣x2−25∣−2∣x−5∣=0 |x^2 - 25| - 2|x - 5| = 0
eşitliğini sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı kaçtır?
  1. A
    -10
  2. -5Cevap
  3. C
    0
  4. D
    2
  5. E
    5

Cevap

-5
Verilen denklemde ∣x2−25∣|x^2 - 25| ifadesi ∣x−5∣∣x+5∣|x-5||x+5| şeklinde çarpanlarına ayrılır. ∣x−5∣|x-5| ortak parantezine alındığında denklem iki ayrı duruma indirgenir: ya ∣x−5∣=0|x-5|=0 ya da ∣x+5∣=2|x+5|=2. Bu durumlardan elde edilen kökler 55, −3-3 ve −7-7'dir. Bu değerlerin toplamı −5-5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer içindeki ifadeyi çarpanlarına ayır.
∣(x−5)(x+5)∣−2∣x−5∣=0 |(x-5)(x+5)| - 2|x - 5| = 0
x2−25x^2 - 25 iki kare farkı özdeşliğidir.
2
Mutlak değer çarpım kuralını uygula (∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣|a \cdot b| = |a| \cdot |b|).
∣x−5∣⋅∣x+5∣−2∣x−5∣=0 |x-5| \cdot |x+5| - 2|x - 5| = 0
Ortak çarpan parantezine alabilmek için ifadeleri ayırmak gerekir.
3
İfadeyi ∣x−5∣|x-5| ortak çarpan parantezine al.
∣x−5∣⋅(∣x+5∣−2)=0 |x-5| \cdot ( |x+5| - 2 ) = 0
Çarpım durumundaki bir ifadenin sonucu 0 ise, çarpanlardan en az biri 0 olmalıdır.
4
Her iki çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitle ve kökleri bul.
Durum 1: ∣x−5∣=0⇒x=5|x-5| = 0 \Rightarrow x = 5
Durum 2: ∣x+5∣−2=0⇒∣x+5∣=2|x+5| - 2 = 0 \Rightarrow |x+5| = 2
Buradan x+5=2⇒x=−3x+5 = 2 \Rightarrow x = -3
veya x+5=−2⇒x=−7x+5 = -2 \Rightarrow x = -7
Mutlak değerli denklem ∣u∣=k|u|=k (k>0k>0) ise u=ku=k veya u=−ku=-k olur.
5
Bulunan farklı değerleri topla.
5+(−3)+(−7)=5−10=−5 5 + (-3) + (-7) = 5 - 10 = -5
Soruda farklı xx değerlerinin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Denklemler ve Çarpanlara Ayırma

İpuçları

1
∣x2−25∣|x^2 - 25| ifadesini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayırmayı dene.
2
∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣|a \cdot b| = |a| \cdot |b| kuralını kullanarak ifadeyi ∣x−5∣|x-5| ortak parantezine al.
3
Paranteze aldıktan sonra iki durum oluşacaktır: Birinci çarpan sıfıra eşit olabilir veya ikinci çarpan sıfıra eşit olabilir. ∣x+5∣=2|x+5|=2 durumunu hatırla.

Daha Fazla Pratik

∣x2−4∣=∣x−2∣|x^2 - 4| = |x-2| denkleminin çözüm kümesini inceleyiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer

Bu konudan daha fazla soru