Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBasit Eşitsizlikler
a,ba, b ve cc sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
ab<−1 \frac{a}{b} < -1
b⋅c>0 b \cdot c > 0
a+c<0 a + c < 0
eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
  1. A
    a<0a < 0
  2. B
    ∣a∣>∣c∣|a| > |c|
  3. a⋅c<0a \cdot c < 0Cevap
  4. D
    a+b<0a + b < 0
  5. E
    b>cb > c

Cevap

aa ve cc sayılarının çarpımının negatif olduğu (a⋅c<0a \cdot c < 0) seçeneği daima doğrudur.
Verilen sistemde bb sayısının işareti belirsizdir, bu yüzden iki durum incelenmelidir. bb pozitifse cc pozitif ve aa negatif olur. bb negatifse cc negatif ve aa pozitif olur. Her iki durumda da aa ve cc sayıları zıt işaretlidir. Zıt işaretli iki sayının çarpımı daima negatiftir (a⋅c<0a \cdot c < 0).

Adım Adım Çözüm

1
bb ve cc işaretlerini analiz et
b⋅c>0b \cdot c > 0 olduğu için bb ve cc aynı işaretlidir (+,++,+ veya −,−-,-).
İki sayının çarpımı pozitifse, sayılar aynı işaretli olmalıdır.
2
1. Durumu (b>0b > 0) incele
b>0b > 0 ise c>0c > 0 olur. ab<−1\frac{a}{b} < -1 eşitsizliğinde her iki tarafı bb (pozitif) ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirmez: a<−ba < -b. Bu durumda aa negatiftir. a(−),b(+),c(+)a(-), b(+), c(+).
Eşitsizliklerde pozitif sayıyla çarpma yönü korur.
3
2. Durumu (b<0b < 0) incele
b<0b < 0 ise c<0c < 0 olur. ab<−1\frac{a}{b} < -1 eşitsizliğinde her iki tarafı bb (negatif) ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir: a>−ba > -b. bb negatif olduğu için −b-b pozitiftir, yani aa pozitiftir. a(+),b(−),c(−)a(+), b(-), c(-).
Eşitsizliklerde negatif sayıyla çarpma yönü değiştirir. Bu kritik bir ayrımdır.
4
Seçenekleri her iki durum için test et
1. Durumda: a(−),c(+)a(-), c(+) çarpımı negatiftir. 2. Durumda: a(+),c(−)a(+), c(-) çarpımı negatiftir. Her iki durumda da a⋅c<0a \cdot c < 0 kesindir.
Daima doğru olması için tüm olası senaryolarda sağlanması gerekir.

Anahtar Kavram

Eşitsizliklerde işaret analizi ve durum (vaka) incelemesi
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru