Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasit Eşitsizlikler
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
−3<x≤4-3 < x \leq 4
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, x2−4x−5x^2 - 4x - 5 ifadesinin alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    (−5,16)(-5, 16)
  2. B
    [−5,16)[-5, 16)
  3. [−9,16)[-9, 16)Cevap
  4. D
    [−9,16][-9, 16]
  5. E
    [−9,−5][-9, -5]

Cevap

[−9,16)[-9, 16) aralığıdır.
İkinci dereceden x2−4x−5x^2 - 4x - 5 ifadesi bir parabol belirtir. Bu ifadenin en küçük değeri, tepe noktası olan x=2x=2'de −9-9 olarak bulunur. x=2x=2 değeri verilen (−3,4](-3, 4] aralığında olduğundan, alt sınır −9-9 olur. Üst sınır için uç noktalar kontrol edilir; x=−3x=-3 için değer 1616 çıkar ancak xx −3-3'e eşit olamadığı için 1616 dahil edilmez. x=4x=4 için değer −5-5 çıkar. Dolayısıyla ifade [−9,16)[-9, 16) aralığında değer alır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi analiz et ve tam kareye tamamla.
f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 ifadesi, f(x)=(x−2)2−9f(x) = (x-2)^2 - 9 şeklinde yazılabilir.
İkinci dereceden bir ifadenin alabileceği en küçük veya en büyük değeri bulmak için tepe noktasını görmek gerekir.
2
Tepe noktasının verilen aralıkta olup olmadığını kontrol et.
Tepe noktası apsisi x=2x=2'dir. Verilen aralık −3<x≤4-3 < x \leq 4 olduğu için, 22 bu aralığın içindedir.
Eğer tepe noktası aralıktaysa, fonksiyonun alabileceği minimum veya maksimum değer tepe noktasında oluşur.
3
Tepe noktasındaki ve sınır noktalardaki değerleri hesapla.
x=2x=2 için f(2)=−9f(2) = -9 (Minimum, dahil).
Sınırlar:
x=−3x=-3 için f(−3)=(−3)2−4(−3)−5=9+12−5=16f(-3) = (-3)^2 - 4(-3) - 5 = 9 + 12 - 5 = 16 (Dahil değil).
x=4x=4 için f(4)=42−4(4)−5=16−16−5=−5f(4) = 4^2 - 4(4) - 5 = 16 - 16 - 5 = -5 (Dahil).
Aralığın uç noktalarını ve tepe noktasını kıyaslayarak en geniş aralığı belirlemek için.
4
Bulunan değerlere göre en geniş aralığı yaz.
Minimum değer −9-9 (dahil), maksimum değer 1616'ya yaklaşır (dahil değil). Aralık [−9,16)[-9, 16) olur.
Sonuç kümesini matematiksel aralık gösterimiyle ifade etmek için.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Eşitsizliklerde Değer Aralığı ve Tepe Noktası Analizi

İpuçları

1
İfadeyi (x−a)2+b(x-a)^2 + b şeklinde tam kareye tamamlamayı deneyin veya parabolün tepe noktasını düşünün.
2
Tepe noktası r=−b/2ar = -b/2a formülüyle bulunur. Bu noktanın verilen aralığın içinde olup olmadığını kontrol ettiniz mi?

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu xx tam sayı kısıtlaması altında çözerek farkı inceleyin.

Alternatif Yöntem

Türev kullanarak ekstremum noktayı bulmak: f′(x)=2x−4=0⇒x=2f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x=2. 2∈(−3,4]2 \in (-3, 4] olduğu için minimum değer burada alınır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru