Basit Eşitsizlikler Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Soru 1Soru →

x

bir tam sayı ve

y

bir gerçel sayı olmak üzere,

-4 < x \leq 3

-2 \leq y < 3

eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, $3y - 2x$ ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

12

13

14

15

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 14'tür.

Soruda

x

'in tam sayı,

y

'nin ise gerçel sayı olduğu belirtilmiştir. Bu ayrım çözüm yöntemini belirler.

x

tam sayı olduğu için, ifadeyi maksimize edecek en uygun tam sayı değeri (

x=-3

) doğrudan seçilerek yerine konulur.

y

ise gerçel sayı olduğu için basit eşitsizlik kurallarıyla aralık genişletilir (

3y < 9

). Sonuçta

3y - 2x < 15

elde edilir ve 15'ten küçük en büyük tam sayı olan 14 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İfadeyi analiz et

3y - 2x

ifadesini en büyük yapmak için,

3y

ifadesini maksimize (en büyük),

2x

ifadesini minimize (en küçük) yapmalıyız. Çünkü çıkarma işleminde çıkan sayı ne kadar küçük olursa sonuç o kadar büyük olur.

Maksimum değer için pozitif terim en büyük, negatif terim en küçük seçilmelidir.

2

x

değişkenini değerlendir (Tam sayı)

x

bir tam sayı olduğu için,

-4 < x \leq 3

aralığındaki en küçük

x

tam sayı değeri

-3

'tür. Bunu doğrudan yerine yazarız:

-2x = -2(-3) = 6

.

Tam sayı kısıtlaması olan değişkenlerde aralık genişletilmez, doğrudan değer seçilir.

3

y

değişkenini değerlendir (Gerçel sayı)

y

bir gerçel sayı olduğu için değer seçemeyiz, aralığı genişletmeliyiz.

-2 \leq y < 3

eşitsizliğini 3 ile çarparız:

-6 \leq 3y < 9

.

Gerçel sayı kısıtlamasında işlem aralık üzerinde yapılır.

4

Sonuçları birleştir

3y < 9

ve

-2x = 6

(sabit değer). Eşitsizliğin her iki tarafına 6 eklersek:

3y + 6 < 9 + 6 \Rightarrow 3y - 2x < 15

.

Elde edilen sabit değer ile aralığı toplarız.

5

En büyük tam sayıyı bul

İfade 15'ten kesinlikle küçük olmalıdır (

< 15

). Bu şartı sağlayan en büyük tam sayı 14'tür.

Üst sınır dahil olmadığı için (küçüktür sembolü), sınır değerinin bir eksiği en büyük tam sayıdır.

Anahtar Kavram

Tam sayı ve gerçel sayı değişkenleri arasındaki işlem farkı

İpuçları

1

Sorudaki 'tam sayı' ve 'gerçel sayı' ifadelerine dikkat edin. Tam sayı denildiğinde değer seçmeli, gerçel sayı denildiğinde aralık işlemi yapmalısınız.

2

3y - 2x

ifadesinin en büyük olması için pozitif olan

3y

'nin en büyük, başında eksi olan

x

'in ise en küçük seçilmesi gerekir.

3

x

için en küçük tam sayıyı (

-3

) yerine yazın.

y

için ise

-2 \leq y < 3

eşitsizliğini 3 ile genişleterek aralık bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla,

x

gerçel sayı ve

y

tam sayı olduğunda en küçük değeri soran bir soru çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

\frac{1}{11} < \frac{1}{2x + 1} \leq \frac{1}{3}

eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, $x$ 'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

9

10

12

14

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Eşitsizliğin çözüm kümesindeki tam sayıların toplamı 10'dur.

Verilen eşitsizlikte pay ve paydalar yer değiştirildiğinde eşitsizlik yön değiştirir:

3 \leq 2x+1 < 11

elde edilir. Gerekli işlemler yapıldığında

x

değerinin

1 \leq x < 5

aralığında olduğu bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar 1, 2, 3 ve 4'tür; toplamları 10 eder.

Adım Adım Çözüm

1

Pay ve payda yer değiştirilerek eşitsizlik düzenlenir.

3 \leq 2x + 1 < 11

Pozitif terimli basit eşitsizliklerde pay ve payda yer değiştirdiğinde eşitsizlik yön değiştirir (

\frac{1}{a} < \frac{1}{b} \implies a > b

).

2

Eşitsizliğin her tarafından 1 çıkarılır.

2 \leq 2x < 10

x

'i yalnız bırakmak için toplama işleminin tersi uygulanır.

3

Eşitsizliğin her tarafı 2'ye bölünür.

1 \leq x < 5

x

'in katsayısından kurtulmak için bölme işlemi yapılır. Pozitif sayıya bölündüğü için yön değişmez.

4

Aralıktaki tam sayı değerleri belirlenir ve toplanır.

Tam sayılar:

\{1, 2, 3, 4\}

. Toplam:

1 + 2 + 3 + 4 = 10

.

Alt sınır (1) dahil, üst sınır (5) dahil değildir.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerde ters çevirme kuralı ve aralık analizi.

İpuçları

1

Eşitsizlikteki kesirleri ters çevirerek (

\frac{1}{a} \to a

)

x

'i pay kısmına taşıyabilirsiniz. Bunu yaparken eşitsizlik yönünün değişeceğini unutmayın.

2

İfadeleri ters çevirdiğinizde eşitsizlik

3 \leq 2x + 1 < 11

halini alır. Şimdi

x

'i yalnız bırakmaya çalışın.

3

Her taraftan 1 çıkarıp 2'ye böldüğünüzde

1 \leq x < 5

aralığını bulursunuz. Bu aralıktaki tam sayıları toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, negatif sayıların olduğu bir aralıkta karesi alınan ifadelerin değer aralığını bulmayı deneyin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

$x, y$ ve $z$ sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

x \cdot z > 0

x \cdot y \cdot z < 0

x + y > 0

y + z < 0

Buna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

z < x < y

y < x < z

y < z < x

x < y < z

z < y < x

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $y < z < x$

Cevap

y < z < x

sıralaması doğrudur.

Verilen eşitsizlikler incelendiğinde;

y

'nin negatif,

x

ve

z

'nin pozitif olduğu görülür. Toplam eşitsizliklerinden

x > |y|

ve

z < |y|

sonuçları çıkarılır. Bu durum pozitif sayılar arasında

z < x

sıralamasını, negatif sayı

y

'nin ise en küçük olduğunu gösterir (

y < z < x

).

Adım Adım Çözüm

1

Çarpım eşitsizliklerinden sayıların işaretlerini belirle.

x

ve

z

aynı işaretlidir (

x \cdot z > 0

).

x \cdot y \cdot z < 0

olduğundan ve

xz

pozitif olduğundan,

y

kesinlikle negatiftir (

y < 0

).

Üç sayının çarpımı negatif, ikisinin çarpımı pozitifse, kalan sayı negatif olmalıdır.

2

Toplam eşitsizliklerini kullanarak

x

ve

z

'nin işaretini kesinleştir.

x

ve

z

negatiftir varsayımı yapılırsa

x+y

(iki negatifin toplamı) negatif olurdu. Ancak

x+y > 0

verildiği için

x

pozitif olmak zorundadır.

x

ile

z

aynı işaretli olduğundan

z

de pozitiftir.

İşaret tablosu:

x(+), z(+), y(-)

.

3

y

'nin mutlak değerine göre büyüklük sıralaması yap.

x + y > 0 \Rightarrow x > -y

. (Burada

-y

,

y

'nin mutlak değeridir, pozitiftir). Yani

x > |y|

.

y + z < 0 \Rightarrow z < -y

. Yani

z < |y|

.

Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının toplamının işareti, mutlak değeri büyük olanın işaretini alır.

4

Elde edilen tüm bulguları sırala.

z < |y|

ve

|y| < x

olduğundan

z < x

elde edilir.

y

negatif olduğu için en küçüktür.

Sıralama:

y < 0 < z < |y| < x

. Sonuç:

y < z < x

.

Anahtar Kavram

Eşitsizliklerde İşaret ve Büyüklük Analizi

İpuçları

1

Önce çarpım durumundaki eşitsizlikleri kullanarak

x, y

ve

z

'nin işaretlerini (+ veya -) belirleyin.

2

x

ve

z

aynı işaretlidir ve pozitiftirler.

y

negatiftir. Toplama işlemlerinde (

x+y

ve

y+z

), sayıların mutlak değerleri hakkında ipucu arayın.

3

x+y > 0

olması

x > -y

(yani

x > |y|

) demektir.

y+z < 0

olması

z < -y

(yani

z < |y|

) demektir. Bu iki bilgiyi birleştirin.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde

0

noktasını, negatif bölgedeki

y

noktasını ve pozitif bölgedeki

-y

(yani

|y|

) noktasını işaretleyin.

x

ve

z

'yi bu referans noktalarına göre yerleştirerek görsel çözüm yapın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 4Soru →

Aşağıdaki sayı doğrusunda bir $x$ gerçek sayısının alabileceği değerlerin aralığı renkli olarak gösterilmiştir.

Buna göre, sayı doğrusundaki bu aralığı ifade eden eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

-2 < x < 3

-2 < x \leq 3

-2 \leq x < 3

-2 \leq x \leq 3

-3 < x \leq 2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-2 \leq x < 3$

Cevap

Sayı doğrusunda

-2

noktasının içi dolu,

3

noktasının içi boş olduğu için doğru eşitsizlik

-2 \leq x < 3

şeklindedir.

Sayı doğrusu üzerinde bir aralık gösterilirken, sınır değerindeki noktanın içi dolu ise o sayı aralığa dahildir (küçük-eşit veya büyük-eşit sembolü kullanılır). Eğer içi boş ise o sayı aralığa dahil değildir (küçüktür veya büyüktür sembolü kullanılır). Verilen görselde

-2

noktasının içi dolu olduğundan

x \geq -2

ve

3

noktasının içi boş olduğundan

x < 3

şartları sağlanmalıdır. Bu iki durum birleştirildiğinde

-2 \leq x < 3

eşitsizliğine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Sayı doğrusundaki sınır değerlerini belirlemek.

Renkli bölgenin

-2

noktasından başlayıp

3

noktasında bittiği görülür.

Eşitsizliğin hangi sayılar arasında olduğunu anlamak için uç noktalar incelenmelidir.

2

Noktaların içlerinin dolu veya boş olma durumuna göre dahil olma sembollerini seçmek.

-2

noktası dolu olduğundan

\leq

(küçük-eşit) sembolü,

3

noktası boş olduğundan

<

(küçüktür) sembolü kullanılmalıdır.

Sayı doğrusunda içi dolu nokta o sayının aralığa dahil olduğunu, içi boş nokta ise dahil olmadığını ifade eder.

3

Sınırları ve sembolleri bir araya getirerek eşitsizliği yazmak.

-2 \leq x < 3

ifadesi elde edilir.

Sol sınır dahil ve sağ sınır hariç olduğu için bu matematiksel gösterim uygundur.

Anahtar Kavram

Basit Eşitsizliklerin Sayı Doğrusunda Gösterimi

İpuçları

1

Sayı doğrusunda işaretli olan uç noktaların (-2 ve 3) içlerinin dolu mu yoksa boş mu olduğuna dikkat edin.

2

İçi dolu nokta o sayının çözüme dahil olduğunu (

\leq

), içi boş nokta ise dahil olmadığını (

<

) temsil eder.

3

-2

noktasının içi dolu olduğuna göre eşitsizliğin bu tarafında 'küçük-eşit' sembolü,

3

noktasının içi boş olduğuna göre bu tarafta 'küçüktür' sembolü olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Bir eşitsizlik çözüldüğünde bulduğunuz aralığı benzer şekilde sayı doğrusunda çizerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 5Soru →

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

-3 < x \leq 4

eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, $x^2 - 4x - 5$ ifadesinin alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(-5, 16)

[-5, 16)

[-9, 16)

[-9, 16]

[-9, -5]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[-9, 16)$

Cevap

[-9, 16)

aralığıdır.

İkinci dereceden

x^2 - 4x - 5

ifadesi bir parabol belirtir. Bu ifadenin en küçük değeri, tepe noktası olan

x=2

'de

-9

olarak bulunur.

x=2

değeri verilen

(-3, 4]

aralığında olduğundan, alt sınır

-9

olur. Üst sınır için uç noktalar kontrol edilir;

x=-3

için değer

16

çıkar ancak

x

-3

'e eşit olamadığı için

16

dahil edilmez.

x=4

için değer

-5

çıkar. Dolayısıyla ifade

[-9, 16)

aralığında değer alır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ifadeyi analiz et ve tam kareye tamamla.

f(x) = x^2 - 4x - 5

ifadesi,

f(x) = (x-2)^2 - 9

şeklinde yazılabilir.

İkinci dereceden bir ifadenin alabileceği en küçük veya en büyük değeri bulmak için tepe noktasını görmek gerekir.

2

Tepe noktasının verilen aralıkta olup olmadığını kontrol et.

Tepe noktası apsisi

x=2

'dir. Verilen aralık

-3 < x \leq 4

olduğu için,

2

bu aralığın içindedir.

Eğer tepe noktası aralıktaysa, fonksiyonun alabileceği minimum veya maksimum değer tepe noktasında oluşur.

3

Tepe noktasındaki ve sınır noktalardaki değerleri hesapla.

x=2

için

f(2) = -9

(Minimum, dahil).
Sınırlar:

x=-3

için

f(-3) = (-3)^2 - 4(-3) - 5 = 9 + 12 - 5 = 16

(Dahil değil).

x=4

için

f(4) = 4^2 - 4(4) - 5 = 16 - 16 - 5 = -5

(Dahil).

Aralığın uç noktalarını ve tepe noktasını kıyaslayarak en geniş aralığı belirlemek için.

4

Bulunan değerlere göre en geniş aralığı yaz.

Minimum değer

-9

(dahil), maksimum değer

16

'ya yaklaşır (dahil değil). Aralık

[-9, 16)

olur.

Sonuç kümesini matematiksel aralık gösterimiyle ifade etmek için.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Eşitsizliklerde Değer Aralığı ve Tepe Noktası Analizi

İpuçları

1

İfadeyi

(x-a)^2 + b

şeklinde tam kareye tamamlamayı deneyin veya parabolün tepe noktasını düşünün.

2

Tepe noktası

r = -b/2a

formülüyle bulunur. Bu noktanın verilen aralığın içinde olup olmadığını kontrol ettiniz mi?

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu

x

tam sayı kısıtlaması altında çözerek farkı inceleyin.

Alternatif Yöntem

Türev kullanarak ekstremum noktayı bulmak:

f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x=2

.

2 \in (-3, 4]

olduğu için minimum değer burada alınır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 6Soru →

Bir kamu kurumu, personel servis hizmeti için iki farklı firmadan fiyat teklifi almıştır. Firmaların belirlediği fiyatlandırma koşulları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Firma	Aylık Sabit Ücret (TL)	Personel Başına Ücret (TL)
A Firması	$12.000$	$400$
B Firması	Yok	$650$

Kurumda servis hizmetinden yararlanacak personel sayısı $x$ olmak üzere, A firmasının teklifinin B firmasının teklifinden daha ekonomik olduğu hesaplanmıştır.

Buna göre, bu kurumdaki personel sayısı en az kaçtır?

47

48

49

50

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 49

Cevap

Personel sayısı en az 49 olmalıdır.

A firmasının B firmasından daha avantajlı olması için A'nın toplam maliyetinin B'den küçük olması gerekir.

12.000 + 400x < 650x

eşitsizliği çözüldüğünde

x > 48

bulunur. Bu koşulu sağlayan en küçük personel sayısı (tam sayı) 49'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Her iki firmanın maliyet fonksiyonlarını personel sayısı

x

'e bağlı olarak oluştur.

A Firması Maliyeti:

12.000 + 400x

, B Firması Maliyeti:

650x

Sabit ücret ve birim maliyetleri kullanarak toplam maliyet denklemlerini yazmak gerekir.

2

A firmasının daha ekonomik (ucuz) olması koşulunu eşitsizlik olarak ifade et.

12.000 + 400x < 650x

'Daha ekonomik' demek, maliyetin sayısal olarak daha küçük olması demektir.

3

Eşitsizliği çözmek için

x

'li terimleri bir araya topla.

12.000 < 650x - 400x \implies 12.000 < 250x

Benzer terimleri gruplayarak bilinmeyeni yalnız bırakmak gerekir.

4

Her iki tarafı

250

'ye bölerek

x

'in alt sınırını bul.

x > \frac{12.000}{250} \implies x > 48

Personel sayısının hangi değerden büyük olması gerektiğini belirlemek için.

5

x > 48

eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayıyı belirle.

En küçük tam sayı 49'dur.

Personel sayısı yarım olamayacağı ve eşitsizlik kesin büyüklük (

>

) içerdiği için 48 dahil edilemez.

Anahtar Kavram

Gerçek hayat problemlerinin birinci dereceden eşitsizlikler kullanılarak modellenmesi ve çözülmesi.

İpuçları

1

Her iki firma için toplam maliyet denklemini

x

değişkenine bağlı olarak yazın. A firmasında sabit ücret olduğunu, B firmasında olmadığını unutmayın.

2

A firmasının maliyeti

12.000 + 400x

, B firmasının maliyeti ise

650x

şeklindedir. A firmasının daha ekonomik olması, maliyetinin B'den küçük olması demektir.

3

12.000 + 400x < 650x

eşitsizliğini çözerek

x

'in alabileceği en küçük tam sayı değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, kar-zarar problemlerinde maliyet ve satış fiyatı eşitsizliklerini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Fark Analizi: A firması sabit olarak

12.000

TL fazla istemektedir, ancak personel başına

650 - 400 = 250

TL daha az almaktadır. Bu

250

TL'lik avantajın, baştaki

12.000

TL'lik farkı kapatıp kara geçmesi için kaç kişi gerektiğini

\frac{12.000}{250}

işlemiyle bulabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 7Soru →

$a, b$ ve $c$ gerçel sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler verilmiştir:

a^2 < a

a \cdot c > c

a \cdot b \cdot c > 0

b > c

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

(a - b) \cdot (b - c) > 0

b^2 > c^2

\frac{1}{b} > \frac{1}{c}

a - b < 0

a + c > 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (a - b) \cdot (b - c) > 0

Cevap

Verilen koşullar altında sayıların sıralaması

c < b < 0 < a < 1

şeklindedir; bu durumda

(a-b)(b-c) > 0

ifadesi daima doğrudur.

Yapılan analizler sonucunda sayıların sıralaması

c < b < 0 < a < 1

olarak bulunmuştur. Doğru seçenek

(a - b) \cdot (b - c) > 0

ifadesidir. Çünkü:
1.

a

pozitif,

b

negatiftir.

a - b = a + |b|

olacağından bu ifade pozitiftir.
2.

b > c

olduğu verilmiştir, dolayısıyla

b - c > 0

yani bu ifade de pozitiftir.
3. İki pozitif sayının çarpımı (

+\cdot+

) sıfırdan büyüktür.

Adım Adım Çözüm

1

İlk eşitsizliği analiz etme (

a^2 < a

)

0 < a < 1

Bir sayının karesi kendisinden küçükse, o sayı 0 ile 1 arasındadır.

2

İkinci eşitsizliği kullanarak

c

'nin işaretini bulma (

a \cdot c > c

)

c(a - 1) > 0 \Rightarrow c < 0

0 < a < 1

olduğu için

(a-1)

negatiftir. Çarpımın pozitif olması için

c

de negatif olmalıdır.

3

Üçüncü eşitsizliği kullanarak

b

'nin işaretini bulma (

a \cdot b \cdot c > 0

)

a(+) \cdot b(?) \cdot c(-) > 0 \Rightarrow -b > 0 \Rightarrow b < 0

Pozitif (

a

) ve negatif (

c

) sayıların çarpımı negatiftir. Sonucun pozitif olması için

b

negatif olmalıdır.

4

Sayılar arasındaki genel sıralamayı oluşturma (

b > c

)

c < b < 0 < a < 1

b

ve

c

negatif olup

b > c

verildiğinden sıralama bu şekilde oluşur.

5

Seçenekleri bu sıralamaya göre test etme

(a-b)

pozitiftir (pozitif - negatif).

(b-c)

pozitiftir (büyük - küçük). Çarpımları pozitiftir.

Doğru seçeneği belirlemek için işaret analizi yapılır.

Anahtar Kavram

Basit Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

İpuçları

1

a^2 < a

eşitsizliği,

a

sayısının 0 ile 1 arasında olduğunu gösterir.

2

a \cdot c > c

eşitsizliğini

c(a - 1) > 0

şeklinde düzenleyerek

c

'nin işaretini belirleyin.

3

İşaretleri belirledikten sonra sayıları

c < b < 0 < a < 1

şeklinde sayı doğrusuna yerleştirip seçenekleri test edin.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi:

a = 0.5

,

b = -2

,

c = -4

seçerek koşulların sağlandığını (

b > c

ve işaretler) doğrulayın ve seçeneklerde yerine koyun.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 8Soru →

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere, $-2 < x < 5$ eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, $x^2 - 6x + 5$ ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

8

16

21

24

29

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İfadenin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı 16'dır.

Verilen

x^2 - 6x + 5

ifadesi parabolik bir ifadedir ve tepe noktası

x=3

apsisindedir. Verilen

-2 < x < 5

aralığı bu tepe noktasını kapsadığı için, ifadenin alabileceği en küçük değer tepe noktasında oluşur. Tam kareye tamamlama yöntemiyle

(x-3)^2 - 4

elde edilir. Aralık

(-5, 2)

'ye dönüşür ve karesi alındığında

[0, 25)

aralığı bulunur. Sonuçta ifade

[-4, 21)

aralığındadır. Buradan en küçük tam sayı -4, en büyük tam sayı 20 bulunur ve toplamları 16 eder.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ifadeyi tam kareye tamamlama yöntemiyle düzenle.

x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4

İkinci dereceden ifadenin aralığını bulmak için tam kare formu, değişkenin tek bir yerde olmasını sağlar ve hata yapmayı engeller.

2

x

için verilen aralığı

(x-3)

ifadesine dönüştür.

-2 < x < 5

eşitsizliğinin her yanından 3 çıkarılırsa:

-5 < x-3 < 2

elde edilir.

Tam kare içindeki ifadenin aralığını belirlemek gereklidir.

3

(x-3)^2

ifadesinin aralığını bul.

-5 < x-3 < 2

aralığı 0'ı içerdiğinden, karenin en küçük değeri 0'dır. En büyük değer ise sınırların karelerinin büyüğü olan

(-5)^2 = 25

'tir (dahil değil). Yani:

0 \le (x-3)^2 < 25

.

Bir aralık negatiften pozitife geçiyorsa, karesinin alt sınırı daima 0 olur. Bu, sorunun en kritik noktasıdır.

4

Elde edilen eşitsizlikten 4 çıkararak sonuç aralığını bul.

0 - 4 \le (x-3)^2 - 4 < 25 - 4 \implies -4 \le x^2 - 6x + 5 < 21

.

İfadenin orijinal haline ulaşmak için son işlem yapılır.

5

Tam sayı değerlerini belirle ve topla.

En küçük tam sayı değeri:

-4

(eşitlik var). En büyük tam sayı değeri:

20

(21'den küçük). Toplam:

20 + (-4) = 16

.

Soruda istenen değerler tespit edilir.

Anahtar Kavram

Bir eşitsizlik aralığının karesi alınırken, eğer aralık negatif ve pozitif sayıları içeriyorsa (örneğin

-a < x < b

), karenin alt sınırı daima 0 olur (

0 \le x^2

).

İpuçları

1

İkinci dereceden bir ifadenin alabileceği değerleri bulurken, ifadeyi

(x-a)^2 + b

şeklinde tam kareye tamamlamak işinizi kolaylaştırır.

2

x^2 - 6x + 5

ifadesini

(x-3)^2 - 4

olarak yazın. Şimdi

-2 < x < 5

eşitsizliğini kullanarak

(x-3)

'ün aralığını bulun.

3

-5 < x-3 < 2

aralığının karesini alırken dikkat edin! Aralık negatiften pozitife geçtiği için (0'ı içerdiği için), karenin en küçük değeri daima 0 olur.

Alternatif Yöntem

Türev veya Parabol Bilgisi ile:

f(x) = x^2 - 6x + 5

fonksiyonunun tepe noktası

r = -b/2a = 6/2 = 3

'tür.

x=3

değeri verilen

(-2, 5)

aralığında olduğu için minimum değer

f(3) = 9 - 18 + 5 = -4

'tür. Maksimum değer için sınırlara bakılır:

f(-2) = 21

ve

f(5) = 0

. Değer kümesi

[-4, 21)

olur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 9Soru →

x

ve

y

birer gerçel sayı olmak üzere,

x < x^2 < |x|

y > y^2

eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

x + y > 0

x \cdot y > 0

\frac{x}{y} < x

x - y > 0

\frac{1}{x} > \frac{1}{y}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{x}{y} < x$

Cevap

Negatif bir sayının (0, 1) aralığındaki bir sayıya bölümü kendisinden daha küçüktür (x/y < x).

Verilen eşitsizliklerden

x

'in

(-1, 0)

ve

y

'nin

(0, 1)

aralığında olduğu sonucuna varılır.

0 < y < 1

durumu

\frac{1}{y} > 1

anlamına gelir. Bu eşitsizlik negatif bir sayı olan

x

ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirerek

\frac{x}{y} < x

halini alır. Bu ifade her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

x < x^2 < |x|

eşitsizliğini analiz et.

-1 < x < 0

x

pozitif olsaydı

x < x^2

durumu

x > 1

gerektirirdi ancak bu durumda

x^2 < x

olamazdı.

x

negatif olduğunda

x^2 < -x

ifadesi

x > -1

sonucunu verir.

2

y > y^2

eşitsizliğini analiz et.

0 < y < 1

Bir sayının karesi kendisinden küçükse, o sayı 0 ile 1 aralığındaki bir pozitif basit kesirdir.

3

\frac{x}{y}

ve

x

ifadelerini karşılaştır.

\frac{x}{y} < x

0 < y < 1

olduğundan

\frac{1}{y} > 1

olur. Eşitsizliğin her iki tarafını negatif olan

x

sayısı ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir:

x \cdot \frac{1}{y} < x \cdot 1

.

Anahtar Kavram

Basit eşitsizliklerde negatif sayıyla çarpma/bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi ve sayıların kuvvetlerine göre aralık tayini.

İpuçları

1

x

ve

y

sayıları için belirlenen aralıkların işaretlerini kontrol edin.

2

x < x^2 < |x|

olması

x

'in

-1

ile

0

arasında bir değer alması gerektiğini gösterir.

3

Negatif bir sayıyı

0

ile

1

arasındaki bir sayıya böldüğünüzde sayının mutlak değeri büyür, ancak işareti negatif olduğu için değeri küçülür.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değer ve eşitsizliklerin bir arada kullanıldığı karmaşık soru tiplerini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

x

ve

y

gerçel sayılar olmak üzere,

-5 < x \leq 3

-3 \leq y < 2

eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, $x^2 - 4y$ ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

28

29

33

38

45

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

En büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı 29'dur.

İfadeyi maksimize ve minimize etmek için aralık aritmetiği kullanılmalıdır.

x

aralığı negatifi de kapsadığı için karesinin minimum değeri 0'dır (

0 \leq x^2 < 25

).

-4y

için eşitsizlik yön değiştirir (

-8 < -4y \leq 12

). Taraf tarafa toplandığında

(-8, 37)

aralığı elde edilir. Buradan en büyük tam sayı 36, en küçük tam sayı -7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

x^2

ifadesinin aralığını bulma

0 \leq x^2 < 25

x

aralığı

(-5, 3]

şeklindedir. Bu aralık

0

noktasını içerdiği için,

x^2

ifadesinin alabileceği en küçük değer

0

'dır. Üst sınır ise mutlak değerce en büyük uç noktanın karesidir (

|-5|=5 \to 5^2=25

). 25 açık aralıktır çünkü -5 dahil değildir.

2

-4y

ifadesinin aralığını bulma

-8 < -4y \leq 12

y

aralığı

[-3, 2)

şeklindedir. Eşitsizlik

-4

(negatif sayı) ile çarpıldığında yön değiştirir:

(-4) \cdot 2 < -4y \leq (-4) \cdot (-3) \Rightarrow -8 < -4y \leq 12

.

3

İki aralığı taraf tarafa toplama

-8 < x^2 - 4y < 37

Alt sınırlar:

0 + (-8) = -8

(Biri dahil, biri hariç ise sonuç hariçtir:

<

).
Üst sınırlar:

25 + 12 = 37

(Biri dahil, biri hariç ise sonuç hariçtir:

<

).
Elde edilen aralık:

(-8, 37)

.

4

En büyük ve en küçük tam sayı değerlerini belirleyip toplama

36 + (-7) = 29

Bu aralıktaki en büyük tam sayı

36

, en küçük tam sayı ise

-7

'dir. Toplamları:

36 + (-7) = 29

.

Anahtar Kavram

Gerçel sayı aralıklarında işlem yapılırken, çift kuvvet alındığında aralığın 0'ı kapsayıp kapsamadığına dikkat edilmelidir. Negatif sayıyla çarpma işleminde eşitsizlik yön değiştirmelidir.

Soru 11Soru →

a

bir gerçel sayı olmak üzere,

-2 < a < 3

olduğuna göre,

a^2 - 2a

ifadesinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

[-1, 8)

(-1, 8)

(3, 8)

(-6, 13)

[0, 8)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[-1, 8)$

Cevap

[-1, 8)

aralığıdır.

Verilen

a^2 - 2a

ifadesi

(a-1)^2 - 1

şeklinde yazılabilir.

a

sayısı

(-2, 3)

aralığında olduğunda,

a-1

ifadesi

(-3, 2)

aralığında olur. Bu aralıktaki sayıların kareleri

[0, 9)

aralığındadır (çünkü

0

bu aralığa dahildir ve

(-3)^2 = 9

üst sınırdır). Bu aralıktan

1

çıkarıldığında ifadenin alabileceği değerler

[-1, 8)

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

a^2 - 2a

ifadesini tam kare yardımıyla düzenle.

a^2 - 2a = (a^2 - 2a + 1) - 1 = (a-1)^2 - 1

Değişkenin birden fazla yerde geçtiği eşitsizliklerde aralık bulmayı kolaylaştırmak.

2

a-1

ifadesinin sınırlarını belirle.

-2 < a < 3 \Rightarrow -2-1 < a-1 < 3-1 \Rightarrow -3 < a-1 < 2

Karesi alınacak olan temel ifadenin sınırlarını bulmak.

3

(a-1)^2

ifadesinin sınırlarını belirle.

0 \leq (a-1)^2 < 9

-3

ile

2

arasındaki sayıların karesi alınırken

0

değeri de dahil edilir ve üst sınır en büyük mutlak değerin karesi

(-3)^2 = 9

olur.

4

Eşitsizliğin her tarafından 1 çıkar.

0-1 \leq (a-1)^2 - 1 < 9-1 \Rightarrow -1 \leq a^2 - 2a < 8

İfadenin orijinal halinin alabileceği değer aralığını tamamlamak.

Anahtar Kavram

Değişkenlerin aralıkları kullanılarak karesel ifadelerin değer aralığının bulunması (Tam kareye tamamlama yöntemi).

İpuçları

1

İfadede

a

değişkeni iki farklı terimde yer aldığı için doğrudan aralık işlemleri yapmak yerine ifadeyi tek bir

a

terimine indirmeye çalışın.

2

a^2 - 2a

ifadesini bir tam kareye benzetmek için ne ekleyip çıkarmanız gerektiğini düşünün. İpucu:

(a-1)^2

açılımını hatırlayın.

3

a^2 - 2a = (a-1)^2 - 1

eşitliğini kullanın.

a-1

aralığının karesini alırken aralıkta

0

olup olmadığına dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin tam sayı olduğu durumlar ile gerçel sayı olduğu durumlar arasındaki farkı pekiştirmek için aynı soruyu 'a bir tam sayı olmak üzere' şeklinde çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Türev veya parabol bilgisiyle de çözülebilir.

f(a) = a^2 - 2a

fonksiyonunun tepe noktası

r = -b/2a = 1

'dir.

f(1) = -1

(Minimum). Uç değerler:

f(-2) = 8

ve

f(3) = 3

. Bu durumda değer kümesi

[-1, 8)

olur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 12Soru →

$2x - 4 \leq 2$

eşitsizliğini sağlayan $x$ gerçel sayılarının sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

3

noktasında dolu yuvarlak ve sol tarafın taranması

3

noktasında boş yuvarlak ve sol tarafın taranması

3

noktasında dolu yuvarlak ve sağ tarafın taranması

-1

noktasında dolu yuvarlak ve sol tarafın taranması

6

noktasında dolu yuvarlak ve sol tarafın taranması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3$ noktasında dolu yuvarlak ve sol tarafın taranması

Cevap

Sayı doğrusunda

3

noktasında dolu bir yuvarlak bulunmalı ve bu noktanın sol tarafı taranmalıdır.

Verilen eşitsizlik çözüldüğünde

2x \leq 6

ve buradan

x \leq 3

elde edilir. Bu ifade,

x

değerlerinin

3

sayısına eşit veya

3

ten küçük olması gerektiğini belirtir. Sayı doğrusunda eşitlik durumu dolu yuvarlak ile, küçük olma durumu ise sol tarafın taranmasıyla gösterildiği için doğru cevap budur.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizliğin sol tarafındaki

-4

sayısını sağ tarafa işaretini değiştirerek geçirin.

2x \leq 2 + 4

yani

2x \leq 6

Eşitsizliklerde bir terim karşıya geçerken işaret değiştirir.

2

Eşitsizliğin her iki tarafını

x

in katsayısı olan

2

ye bölün.

x \leq 3

Pozitif bir sayıya bölmek eşitsizliğin yönünü değiştirmez.

3

Elde edilen

x \leq 3

sonucunu sayı doğrusunda gösterin.

3

noktasında kapalı aralık (dolu yuvarlak) ve sol tarafın boyanması.

\leq

sembolü eşitlik durumunu içerdiği için sınır noktası dolu gösterilir ve küçük değerler sol tarafta yer alır.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Çözümü ve Sayı Doğrusunda Gösterimi

İpuçları

1

Eşitsizliği çözerken tıpkı bir denklem çözüyormuş gibi

x

değerini yalnız bırakmaya çalışın.

2

-4

sayısını karşı tarafa atın ve ardından her iki tarafı

2

ye bölün.

3

x \leq 3

sonucunda 'eşitlik' olduğu için

3

noktasının içi dolu olmalı, 'küçüktür' olduğu için sol taraf taranmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, katsayısı negatif olan

-2x + 4 < 2

gibi bir eşitsizliği çözerek eşitsizliğin ne zaman yön değiştirdiğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 13Soru →

x, y

ve

z

sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

x^2 \cdot z < 0

x \cdot y > 0

x + z > 0

y + z < 0

eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

z < y < x

z < x < y

y < z < x

x < y < z

y < x < z

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $z < y < x$

Cevap

Doğru sıralama

z < y < x

şeklindedir.

Verilen eşitsizliklerden

z

'nin negatif,

x

ve

y

'nin pozitif olduğu anlaşılır. Toplam eşitsizliklerinden

x > |z|

ve

y < |z|

bağıntıları elde edilir. Bu bilgiler birleştirildiğinde negatif sayı en küçük (

z

), pozitifler arasında ise mutlak değerce büyük olan

x

,

y

'den büyüktür. Doğru sıralama

z < y < x

olur.

Adım Adım Çözüm

1

x^2 \cdot z < 0

eşitsizliğini analiz et.

z < 0

x \neq 0

olduğu için

x^2

daima pozitiftir. Çarpımın negatif olması için

z

negatif olmalıdır.

2

x \cdot y > 0

ve diğer bilgileri kullanarak

x

ve

y

'nin işaretini belirle.

x > 0

ve

y > 0

x + z > 0

olduğundan

x > -z

olur.

z

negatif olduğu için

-z

pozitiftir, dolayısıyla

x

kesinlikle pozitiftir.

x \cdot y > 0

olduğundan

x

ve

y

aynı işaretlidir, yani

y

de pozitiftir.

3

x

ve

z

arasındaki büyüklük ilişkisini kesinleştir.

|x| > |z|

x + z > 0 \Rightarrow x > -z

ifadesinde her iki taraf pozitiftir. Bu,

x

'in mutlak değerce

z

'den büyük olduğunu gösterir.

4

y

ve

z

arasındaki ilişkiyi kullanarak

y

'nin büyüklüğünü belirle.

|y| < |z|

y + z < 0 \Rightarrow y < -z

. Burada

y

pozitif,

-z

de pozitiftir. Bu durum

y

'nin mutlak değerce

z

'den küçük olduğunu gösterir.

5

Tüm bulguları birleştirerek sıralamayı oluştur.

z < y < x

Negatif olan

z

en küçüktür. Pozitifler arasında

|x| > |z| > |y|

ilişkisinden dolayı

x > y

bulunur. Sonuç:

z < y < x

.

Anahtar Kavram

İşaret ve mutlak değer analizi

Soru 14Soru →

a, b

ve

c

birer gerçel sayı olmak üzere;

a^2 < a

a \cdot b < b

b < b^2

a \cdot c > b \cdot c

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

a \cdot b > 1

b + c < 0

c < a \cdot c

a \cdot b \cdot c > 0

a + b + c > 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $c < a \cdot c$

Cevap

Negatif bir sayının bir basit kesirle çarpılması sonucunda elde edilen değer, sayının kendisinden daha büyük olacağından 'c < a.c' ifadesi her zaman doğrudur.

Verilen eşitsizliklerden

a

'nın

(0, 1)

aralığında,

b

'nin

1

'den büyük ve

c

'nin negatif olduğu saptanır. Negatif bir sayının, 0 ile 1 arasındaki pozitif bir sayı ile çarpılması sonucu elde edilen değer, başlangıçtaki negatif sayıdan daha büyüktür. Bu matematiksel bir kuraldır.

Adım Adım Çözüm

1

a

sayısının aralığını belirleme

0 < a < 1

Bir gerçel sayının karesi kendisinden küçükse, o sayı 0 ile 1 arasındadır.

2

b

sayısının işaretini belirleme

b > 0

a \cdot b < b \Rightarrow b(a - 1) < 0

olur.

a < 1

olduğundan

(a - 1)

negatiftir. Çarpımın negatif olması için

b

pozitif olmalıdır.

3

b

sayısının aralığını belirleme

b > 1

b < b^2

ve

b

pozitif bir sayı ise

b

mutlaka 1'den büyük olmalıdır (

b > 0

olduğu için her iki tarafı

b

'ye böldüğümüzde

1 < b

elde edilir).

4

c

sayısının işaretini belirleme

c < 0

0 < a < 1

ve

b > 1

olduğundan

a < b

ilişkisi vardır.

a \cdot c > b \cdot c

eşitsizliğinde

a < b

olmasına rağmen yön değişmişse, her iki taraf negatif bir sayı olan

c

ile çarpılmış demektir.

5

Doğru seçeneği kontrol etme

c < a \cdot c

0 < a < 1

ve

c < 0

ise; bir negatif sayıyı 1'den küçük pozitif bir sayı ile çarpmak onu sıfıra yaklaştırır (değerini büyütür). Örneğin:

-10 \cdot 0,5 = -5

ve

-5 > -10

.

Anahtar Kavram

Eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma/bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi ve sayıların kuvvet/aralık özellikleri.

Soru 15Soru →

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

-5 \leq x + 3 < -1

eşitsizliğini sağlayan

x

değerlerinin sayı doğrusu üzerindeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

-8

noktasında dolu yuvarlak,

-4

noktasında boş yuvarlak olan ve bu iki nokta arasının boyandığı sayı doğrusu

-8

noktasında boş yuvarlak,

-4

noktasında dolu yuvarlak olan ve bu iki nokta arasının boyandığı sayı doğrusu

-8

ve

-4

noktalarının her ikisinde de dolu yuvarlak olan ve bu iki nokta arasının boyandığı sayı doğrusu

-8

ve

-4

noktalarının her ikisinde de boş yuvarlak olan ve bu iki nokta arasının boyandığı sayı doğrusu

-2

noktasında dolu yuvarlak,

2

noktasında boş yuvarlak olan ve bu iki nokta arasının boyandığı sayı doğrusu

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-8$ noktasında dolu yuvarlak, $-4$ noktasında boş yuvarlak olan ve bu iki nokta arasının boyandığı sayı doğrusu

Cevap

-8

noktasının kapalı (dolu),

-4

noktasının açık (boş) olduğu ve bu aralığın tarandığı sayı doğrusu gösterimi

Verilen eşitsizlikte

x

ifadesini yalnız bırakmak amacıyla her taraftan

3

çıkarıldığında

-8 \leq x < -4

aralığı elde edilir. Sayı doğrusu gösteriminde,

-8

değeri küçük-eşittir

(\leq)

sembolünden dolayı kapalı (dolu) nokta ile,

-4

değeri ise küçüktür

(<)

sembolünden dolayı açık (boş) nokta ile gösterilmeli ve bu iki nokta arasındaki bölge taranmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizliğin her tarafından

3

çıkarılır.

-5 - 3 \leq x + 3 - 3 < -1 - 3

x

değişkenini yalnız bırakmak için toplama durumundaki

+3

ifadesi ters işlemi olan çıkarma ile yok edilir.

2

Hesaplamalar tamamlanır.

-8 \leq x < -4

Negatif sayılarla yapılan çıkarma işlemi sonucunda

x

değişkeninin alt ve üst sınırları belirlenir.

3

Aralık sayı doğrusu üzerine işaretlenir.

-8

noktası dolu,

-4

noktası boş yuvarlak ve bu iki değerin arası taranmış bölge.

\leq

sembolü sınır değerin dahil olduğunu (dolu/kapalı yuvarlak),

<

sembolü ise dahil olmadığını (boş/açık yuvarlak) temsil eder.

Anahtar Kavram

Basit eşitsizliklerin çözümü ve sayı doğrusu üzerindeki gösterim kuralları

İpuçları

1

Eşitsizlikteki

x

değerine ulaşmak için

x+3

ifadesindeki

+3

'ü yok etmelisiniz.

2

Eşitsizliğin her üç kısmından da

3

sayısını çıkararak

x

için sınır değerleri bulun.

3

Sayı doğrusunda sınırı dahil olan noktalar (

\leq

veya

\geq

) dolu yuvarlakla, dahil olmayanlar (

<

veya

>

) ise boş yuvarlakla gösterilir.

Daha Fazla Pratik

Eşitsizlik çözümünde her tarafı negatif bir sayı ile çarptığınızda veya böldüğünüzde eşitsizliğin yön değiştireceğini her zaman hatırlayın.

Tahmini Süre:50s

Soru 16Soru →

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

-2 \le x < 3

eşitsizliği veriliyor.

y = 4x - 5

olduğuna göre,

y

'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

-70

-63

-57

-25

-13

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -70

Cevap

y'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı -70'tir.

Verilen eşitsizlik

y

değişkenine dönüştürüldüğünde

-13 \le y < 7

aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı, simetrik olanların (-6 ile 6 arası) birbirini götürmesiyle geriye kalan negatif sayıların toplanması sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizliği verilen y ifadesine benzetmek için her tarafı önce 4 ile çarpın.

-2 \le x < 3 \Rightarrow -8 \le 4x < 12

Eşitsizlik özelliklerine göre pozitif sayı ile çarpmak yönü değiştirmez.

2

Elde edilen eşitsizliğin her tarafından 5 çıkarın.

-8 - 5 \le 4x - 5 < 12 - 5 \Rightarrow -13 \le y < 7

y = 4x - 5 ifadesini oluşturmak için.

3

Bulunan aralıktaki tam sayıları listeleyin ve toplayın.

Tam sayılar:

\{-13, -12, \dots, 6\}

. Toplam: -70.

-6 ile +6 arasındaki sayıların toplamı 0'dır. Geriye kalan -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7 sayılarının toplamı -70 eder.

Anahtar Kavram

Basit Eşitsizliklerde Aralık Genişletme

İpuçları

1

Soruda x için 'gerçel sayı' denildiğine dikkat edin. x'e değer vermek yerine eşitsizliği genişletmelisiniz.

2

Verilen eşitsizliği

4x - 5

formatına getirmek için önce 4 ile çarpın, sonra 5 çıkarın.

3

Elde edeceğiniz

-13 \le y < 7

aralığındaki tam sayıları toplarken, pozitif ve negatiflerin birbirini götürdüğünü (örneğin -6 ve +6) kullanarak işlemi kısaltabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Aritmetik dizi toplam formülü kullanılabilir: Terim Sayısı x (İlk Terim + Son Terim) / 2

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 17Soru →

x

ve

y

sıfırdan küçük gerçel sayılar olmak üzere,

x < y < 0

eşitsizliği veriliyor. Buna göre,

z = \frac{x+y}{x}

ifadesinin alabileceği değerler için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

z < 0

0 < z < 1

1 < z < 2

z > 2

z < -1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1 < z < 2$

Cevap

1 < z < 2

aralığı daima doğrudur.

z = \frac{x+y}{x} = 1 + \frac{y}{x}

olarak parçalandığında,

x < y < 0

durumu incelenirse

|x| > |y|

olduğu ve her ikisi de negatif olduğu için

\frac{y}{x}

değerinin

0

ile

1

arasında pozitif bir basit kesir olduğu görülür. Bu değere

1

eklenmesi,

z

sayısının kesinlikle

1

ile

2

arasında olmasını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

z

ifadesini terimlerine ayırarak yazın.

z = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} = 1 + \frac{y}{x}

Değişkenlerin sınırlarını daha kolay inceleyebilmek için ifadeyi sadeleştirmek gerekir.

2

x < y < 0

eşitsizliğinden

\frac{y}{x}

oranının aralığını bulun.

x < y < 0

eşitsizliğinin her tarafı

x

(negatif bir sayı) ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir:

\frac{x}{x} > \frac{y}{x} > \frac{0}{x} \Rightarrow 1 > \frac{y}{x} > 0

Eşitsizliğin her tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde yön değiştirir kuralı uygulanmalıdır.

3

Elde edilen

\frac{y}{x}

aralığına

1

ekleyerek

z

değerine ulaşın.

0 < \frac{y}{x} < 1

olduğuna göre her tarafa

1

eklenirse:

1+0 < 1+\frac{y}{x} < 1+1 \Rightarrow 1 < z < 2

z = 1 + \frac{y}{x}

olduğu için bu adım sonucun tam aralığını verir.

Anahtar Kavram

Negatif sayılarla bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi ve rasyonel ifadelerin parçalanması.

İpuçları

1

İfadeyi

z = \frac{x}{x} + \frac{y}{x}

şeklinde iki parçaya ayırarak incelemeyi deneyin.

2

x < y < 0

ise her iki tarafı negatif olan

x

sayısına böldüğünüzde eşitsizlik yönünün ne olacağını hatırlayın.

3

1 > \frac{y}{x} > 0

olduğunu bulduktan sonra, bu eşitsizliğin her tarafına

1

ekleyerek

z

ifadesini oluşturun.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin işaretlerinin farklı olduğu veya mutlak değer içeren eşitsizlik sorularına göz atabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

x = -2

ve

y = -1

gibi sayısal değerler vererek

z = \frac{-2-1}{-2} = 1,5

olduğunu görebilir ve sonucun hangi aralığa düştüğünü kontrol edebilirsiniz. Ancak bu yöntem sadece bir örnek gösterir, kesin ispat için cebirsel çözüm tercih edilmelidir.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 18Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $x, y$ ve $z$ sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler sağlanmaktadır:

x^2 < x

x \cdot z > z

x + y < z

Buna göre $x, y$ ve $z$ sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

y < z < x

z < y < x

x < z < y

y < x < z

z < x < y

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $y < z < x$

Cevap

Sayıların doğru sıralanışı

y < z < x

şeklindedir.

Verilen koşullar adım adım incelendiğinde;

x^2 < x

koşulu

x

'in 0 ile 1 arasında (pozitif) olduğunu gösterir.

x \cdot z > z

ifadesi

z(x-1) > 0

olarak düzenlendiğinde,

x-1

negatif olduğu için

z

'nin de negatif olması gerektiği bulunur. Son olarak

x+y < z

ifadesinde

x

pozitif olduğu için,

y

'nin

z

'den daha küçük olması gerekir (

y < z-x

). Sonuç olarak sıralama

y < z < x

olur.

Adım Adım Çözüm

1

x^2 < x

eşitsizliğini analiz et.

0 < x < 1

Bir sayının karesi kendisinden küçükse, bu sayı 0 ile 1 arasındadır. Bu durumda

x

pozitif bir sayıdır.

2

x \cdot z > z

eşitsizliğinde

z

'nin işaretini belirle.

z < 0

Eşitsizliği

z(x - 1) > 0

şeklinde düzenleyelim. 1. adımdan

x < 1

olduğunu biliyoruz, bu yüzden

(x - 1)

negatiftir. Çarpımın pozitif olması için

z

de negatif olmalıdır.

3

x + y < z

eşitsizliğini kullanarak

y

ve

z

arasındaki ilişkiyi bul.

y < z

Eşitsizliği

y < z - x

şeklinde yazabiliriz.

z

negatiftir ve

x

pozitiftir. Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığında (

z-x

), sonuç

z

'den daha küçük (daha negatif) olur. Dolayısıyla

y

kesinlikle

z

'den küçüktür.

4

Tüm bulguları birleştirerek sıralamayı oluştur.

y < z < x

y < z

(ve her ikisi negatif),

x

ise pozitiftir (

0 < x < 1

). Bu nedenle en büyük sayı

x

, en küçük sayı

y

'dir.

Anahtar Kavram

Bir sayının karesi kendisinden küçükse sayı

(0,1)

aralığındadır. Eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma/bölme yön değiştirir.

İpuçları

1

Önce

x^2 < x

eşitsizliğini sağlayan

x

gerçel sayılarının hangi aralıkta olduğunu bulunuz.

2

x \cdot z > z

eşitsizliğinde

z

'yi sol tarafa alıp (

xz - z > 0

) çarpanlarına ayırarak

z

'nin işaretini belirleyiniz.

3

z

'nin negatif,

x

'in pozitif olduğunu bulduktan sonra,

x + y < z

eşitsizliğinde

y

'yi yalnız bırakarak

y

ile

z

arasındaki büyüklük ilişkisini inceleyiniz.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değer içeren eşitsizliklerde (

|x| > x

gibi) işaret incelemesi gerektiren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sayı vererek deneme yöntemi:

x^2 < x

için

x = 1/2

seçelim.

x \cdot z > z \Rightarrow z/2 > z \Rightarrow z/2 - z > 0 \Rightarrow -z/2 > 0 \Rightarrow z < 0

olmalı, örneğin

z = -2

.

x + y < z \Rightarrow 1/2 + y < -2 \Rightarrow y < -2.5

, örneğin

y = -3

. Sıralama:

-3 < -2 < 1/2

yani

y < z < x

.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 19Soru →

x

bir gerçel sayı ve

y

bir tam sayı olmak üzere,

-4 < x \leq 2

|2y + 1| \leq 9

eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, $x^2 - 3y$ ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

31

30

24

19

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 30'dur.

İfadenin en büyük değerini bulmak için

x^2

terimini maksimize,

y

terimini minimize etmeliyiz.

x

aralığı

-4 < x \leq 2

olduğundan ve aralık

0

'ı kapsadığından,

x^2

değeri

[0, 16)

aralığındadır (

-4

'ün karesi 16'dır ancak dahil değildir).

y

için

|2y+1| \leq 9

eşitsizliğinden

-5 \leq y \leq 4

elde edilir. İfadeyi en büyük yapmak için

y

'nin en küçük değeri olan

-5

seçilir. Bu durumda ifade

x^2 - 3(-5) = x^2 + 15

olur.

x^2 < 16

olduğundan,

x^2 + 15 < 31

sonucuna ulaşılır. 31'den küçük en büyük tam sayı 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1

x

değişkeninin karesinin aralığını belirleme

0 \leq x^2 < 16

x \in (-4, 2]

aralığında, karesi alınan sayıların en küçüğü

0

(aralıkta

0

bulunduğu için) ve en büyüğü sınır olan

-4

'ün karesine (

16

) yaklaşır ancak eşit olamaz.

2

y

tam sayısının çözüm kümesini bulma

-5 \leq y \leq 4

|2y + 1| \leq 9 \implies -9 \leq 2y + 1 \leq 9 \implies -10 \leq 2y \leq 8 \implies -5 \leq y \leq 4

.

3

İstenen

x^2 - 3y

ifadesini en büyük yapacak değerleri seçme

Maksimum değer için

x^2

maksimum,

y

minimum seçilmelidir.

Bir fark işleminin sonucunu büyütmek için eksilen (

x^2

) büyütülmeli, çıkan (

3y

) küçültülmelidir.

y

negatif olduğunda

-3y

pozitif katkı sağlar.

4

Değerleri yerine koyarak sonucu hesaplama

x^2 < 16

ve min

y = -5

için ifade

< 16 - 3(-5) = 31

. En büyük tam sayı 30.

x

gerçel sayı olduğu için

x^2

,

16

'ya sonsuz yaklaşabilir (örn: 15.99). Bu durumda

15.99 - (-15) = 30.99

olur. Bu değerden küçük en büyük tam sayı 30'dur.

Anahtar Kavram

Gerçel sayı aralıklarında kare alma işlemi ve tam sayı kısıtlamalarının birlikte analizi.

Soru 20Soru →

x

ve

y

gerçel sayıları için,

x^2 < |x|

x \cdot y < x

x + y < 0

y^2 > y

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

y^2 > x^2

x \cdot y > 0

y > -1

x - y < 1

\frac{1}{x} < 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $y^2 > x^2$

Cevap

y^2 > x^2

ifadesi daima doğrudur.

x

sayısı

0

ile

1

arasında pozitif bir sayıdır.

y

sayısı ise negatiftir ve

x+y < 0

olduğundan mutlak değerce

x

'ten büyüktür (

|y| > x

). Bu durumda

y

'nin karesi kesinlikle

x

'in karesinden büyük olur (

y^2 > x^2

).

Adım Adım Çözüm

1

x^2 < |x|

eşitsizliğini analiz et.

Bu eşitsizlik sadece

-1 < x < 1

aralığında (sıfır hariç) sağlanır. Yani

x \in (-1, 0) \cup (0, 1)

.

Bir sayının karesinin mutlak değerinden küçük olması için sayı basit kesir olmalıdır.

2

x \cdot y < x

eşitsizliğini incele (

x(y-1) < 0

).

İki durum vardır:
Durum 1:

x \in (0, 1)

(pozitif) ise,

y-1 < 0 \implies y < 1

.
Durum 2:

x \in (-1, 0)

(negatif) ise, eşitsizlik yön değiştirir,

y-1 > 0 \implies y > 1

.

Eşitsizliğin her iki tarafı değişkene bölündüğünde işaretine dikkat edilmelidir.

3

y^2 > y

ve

x + y < 0

koşullarını kullanarak doğru durumu belirle.

Durum 2 (

x

negatif,

y > 1

) için

x+y

toplamı pozitif olur (çünkü

y > 1, x > -1

), bu

x+y<0

ile çelişir. Bu nedenle sadece Durum 1 geçerlidir:

x \in (0, 1)

ve

y < 0

(ayrıca

y^2 > y

sağlandığından

y

negatiftir).

Çelişki analizi ile yanlış durum elenir.

4

x+y < 0

eşitsizliğinden mutlak değer ilişkisini çıkar.

x + y < 0 \implies y < -x

. Her iki tarafın mutlak değeri alınırsa (y negatif, x pozitif),

|y| > |x|

olur.

Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının toplamı negatif ise, negatif sayının mutlak değeri daha büyüktür.

5

Sonucu seçeneklerle karşılaştır.

|y| > |x|

olduğundan, kareleri alındığında

y^2 > x^2

elde edilir.

Mutlak değerce büyük olan sayının karesi de büyüktür.

Anahtar Kavram

Basit eşitsizliklerde işaret incelemesi ve mutlak değer ilişkileri

İpuçları

1

x^2 < |x|

eşitsizliği,

x

sayısının hangi aralıkta olduğunu gösterir? Basit kesirleri düşünün.

2

x

ve

y

işaretlerini bulmak için

x \cdot y < x

eşitsizliğinde durumları inceleyin.

x

pozitif ise

y

ne olur,

x

negatif ise

y

ne olur?

3

x

pozitif (

0,1

aralığında) ve

y

negatiftir.

x+y < 0

olması, negatif olan

y

'nin mutlak değerce

x

'ten daha büyük olduğunu gösterir.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değer ve eşitsizlik içeren karmaşık sorular çözmeye devam edin.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde deneme yanılma yöntemi:

x=0,5

verin.

x^2 < |x|

sağlanır.

0,5 \cdot y < 0,5 \implies y < 1

.

y^2 > y \implies y < 0

veya

y > 1

. Kesişim

y < 0

.

0,5 + y < 0 \implies y < -0,5

. Örnek

y=-2

. Şıkları deneyin:

y^2=4, x^2=0,25 \implies 4 > 0,25

.

Tahmini Süre:2m 0s

Basit Eşitsizlikler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm