Examkin

Soru

Zorluk: ZorTekrarlı Permütasyon

Aşağıda verilen rakamların tamamı kullanılarak 7 basamaklı kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir?

{0,0,2,2,3,4,4} \{ 0, 0, 2, 2, 3, 4, 4 \}
  1. A
    360
  2. 390Cevap
  3. C
    450
  4. D
    540
  5. E
    630

Cevap

Toplamda 390 farklı çift sayı yazılabilir.
Verilen rakamlarla oluşturulabilecek çift sayılar için son basamağın 0, 2 veya 4 olması gerekir. Kümede 0 rakamı da bulunduğu için, 0'ın sonda kullanılması ile diğer çift rakamların sonda kullanılması durumları, 'başa 0 gelmeme' kuralını farklı etkiler. Bu yüzden inceleme 3 ayrı durumda yapılır:
1. Son basamak 0 ise: Kalan {0,2,2,3,4,4}\{0,2,2,3,4,4\} ile 150 sayı yazılır.
2. Son basamak 2 ise: Kalan {0,0,2,3,4,4}\{0,0,2,3,4,4\} ile 120 sayı yazılır.
3. Son basamak 4 ise: Kalan {0,0,2,2,3,4}\{0,0,2,2,3,4\} ile 120 sayı yazılır.
Toplam: 150+120+120=390150 + 120 + 120 = 390 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen kümeyi ve kısıtları analiz et.
Küme: {0,0,2,2,3,4,4}\{0, 0, 2, 2, 3, 4, 4\}. Toplam 7 eleman. Kısıtlar: 1) Sayı çift olmalı (son basamak 0, 2 veya 4). 2) Sayı 7 basamaklı olmalı (ilk basamak 0 olamaz).
Çift sayı olması için birler basamağına çift rakam gelmelidir. Basamak analizi gereği en soldaki basamak 0 olamaz.
2
Durum 1: Son basamağın 0 olduğu durumu hesapla.
Kalan rakamlar: {0,2,2,3,4,4}\{0, 2, 2, 3, 4, 4\}. Toplam dizilim: 6!1!2!1!2!=180\frac{6!}{1!2!1!2!} = 180. Geçerli (başa 0 gelmeyen) durumlar: 180×56=150180 \times \frac{5}{6} = 150.
Kalan 6 rakamdan sadece 1 tanesi sıfırdır. Başa sıfır gelme olasılığı 16\frac{1}{6} olduğundan, geçerli durum oranı 56\frac{5}{6}'dır.
3
Durum 2: Son basamağın 2 olduğu durumu hesapla.
Kalan rakamlar: {0,0,2,3,4,4}\{0, 0, 2, 3, 4, 4\}. Toplam dizilim: 6!2!1!1!2!=180\frac{6!}{2!1!1!2!} = 180. Geçerli durumlar: 180×46=120180 \times \frac{4}{6} = 120.
Kalan 6 rakamdan 2 tanesi sıfırdır. Başa sıfır gelme olasılığı 26\frac{2}{6} olduğundan, geçerli durum oranı 46\frac{4}{6}'dır.
4
Durum 3: Son basamağın 4 olduğu durumu hesapla.
Kalan rakamlar: {0,0,2,2,3,4}\{0, 0, 2, 2, 3, 4\}. Durum 2 ile simetriktir. Geçerli durumlar: 120.
2 ve 4 rakamlarının adetleri ve yapıları bu problemde özdeş rol oynadığından hesaplama Durum 2 ile aynıdır.
5
Tüm durumları topla.
150+120+120=390150 + 120 + 120 = 390.
Ayrık durumların toplamı nihai sonucu verir.

Anahtar Kavram

İçinde 0 bulunan kümelerde tekrarlı permütasyon hesaplanırken, 0'ın başa gelme durumu ve sona gelme durumu (çift sayı kısıtı varsa) birbirini etkilediği için durumlar ayrı ayrı incelenmelidir.

İpuçları

1
Sayıların çift olması istendiği için son basamak sadece 0, 2 veya 4 olabilir. Bu durumları ayrı ayrı incelemelisiniz.
2
Son basamağa 0 geldiğinde, elinizde kalan rakamlar ile son basamağa 2 geldiğinde elinizde kalan rakamların 'başa 0 gelme' riski farklıdır.
3
Sonu 0 olanlar için {0,2,2,3,4,4}\{0,2,2,3,4,4\} kümesini; sonu 2 olanlar için {0,0,2,3,4,4}\{0,0,2,3,4,4\} kümesini kullanın. Başa 0 gelmemesi için Tu¨m Durum×Sıfır Olmayan SayısıToplam Sayı\text{Tüm Durum} \times \frac{\text{Sıfır Olmayan Sayısı}}{\text{Toplam Sayı}} oranını kullanabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm durumdan çıkarma yöntemi: Tüm 7 basamaklı sayıları bulun (450). Tek sayı olanları (sonu 3 ile bitenleri) hesaplayıp çıkarın. Sonu 3 ile bitenler için kalan küme {0,0,2,2,3,4,4}\{0,0,2,2,3,4,4\}'tür. Bu küme ile yazılabilecek 7 basamaklı sayı miktarı: 6!2!2!1!2!×46=60\frac{6!}{2!2!1!2!} \times \frac{4}{6} = 60. Sonuç: 450−60=390450 - 60 = 390.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru