Examkin

Soru

Zorluk: ZorTekrarlı Permütasyon

Bir kırtasiyede satılan kalemlerden 3 tanesi kırmızı, 2 tanesi mavi ve 2 tanesi siyahtır. Aynı renkteki kalemler özdeştir.

Bu kalemlerin tamamı yan yana dizilecektir. Mavi kalemlerin yan yana olması, siyah kalemlerin ise yan yana gelmemesi koşuluyla kaç farklı dizilim yapılabilir?

  1. A
    20
  2. B
    30
  3. C
    36
  4. 40Cevap
  5. E
    60

Cevap

Kalemler belirtilen şartlara göre 40 farklı şekilde dizilebilir.
Soruda verilen iki koşulu adım adım uygulamak gerekir. Önce 'Mavi kalemler yan yana' dediği için Mavi kalemleri (MM) tek bir paket (X) yaparız. 'Siyah kalemler yan yana gelmesin' dediği için Siyah kalemleri kenara ayırıp önce kalanları (X, K, K, K) dizeriz. Bu 4 nesne (biri X, üçü K) tekrarlı permütasyonla 4!/3!=44!/3! = 4 farklı şekilde dizilir. Bu nesnelerin oluşturduğu 5 boşluğa (sağ, sol ve aralar) 2 özdeş Siyah kalemi (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde yerleştirebiliriz. Çarpım kuralı gereği 4×10=404 \times 10 = 40 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Nesneleri ve grupları tanımla.
3 Kırmızı (K, K, K), 2 Mavi (M, M), 2 Siyah (S, S). Toplam 7 kalem.
Sorudaki özdeş nesneleri ve sayılarını belirlemek çözümün temelidir.
2
'Yan yana olması' istenen Mavi kalemleri tek bir paket haline getir.
Mavi paketi (MM) = X olarak kabul edelim. Artık elimizde dizilecek nesneler: X, K, K, K ve (daha sonra yerleştireceğimiz) S, S.
Birlikte olması istenen nesneler bağlanarak tek bir nesne gibi işlem görür.
3
Yan yana gelmemesi gereken Siyah kalemler hariç diğer nesneleri (X ve K'leri) sırala.
Nesneler: X, K, K, K (Toplam 4 nesne, 3'ü özdeş K).
Permütasyon: 4!3!1!=4\frac{4!}{3!1!} = 4 farklı dizilim.
Tekrarlı permütasyon formülü kullanılarak iskelet dizilimi oluşturulur.
4
Oluşan boşluklara Siyah kalemleri yerleştir (Ayraç Yöntemi).
4 nesne (X, K, K, K) yan yana dizildiğinde baş, son ve aralar olmak üzere toplam 5 boşluk oluşur (_ N _ N _ N _ N _).
Bu 5 boşluktan 2 tanesini seçip Siyah kalemleri yerleştireceğiz:
(52)=5×42=10\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10
Yan yana gelmemesi istenen nesneler, diğer nesnelerin oluşturduğu boşluklara yerleştirilir.
5
Sonuçları çarpma kuralı ile birleştir.
4×10=404 \times 10 = 40
Birinci aşamadaki dizilim sayısı ile ikinci aşamadaki yerleştirme sayısı çarpılır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı nesnelerin diziliminde 'yan yana olma' durumu için paketleme (bloklama), 'yan yana olmama' durumu için ise boşluk (ayraç) yöntemi veya tüm durumdan çıkarma yöntemi kullanılır.

İpuçları

1
Önce yan yana olması istenen Mavi kalemleri birbirine bağlayarak tek bir nesne gibi düşünün.
2
Mavi paket ve Kırmızı kalemleri dizdikten sonra oluşan boşlukları sayın. Siyah kalemleri bu boşluklara yerleştirmelisiniz.
3
Mavi paket (X) ve 3 Kırmızı kalem (K,K,K) toplam 4 nesne olarak dizilir. Bu dizilim 5 boşluk yaratır. 2 Siyah kalemi bu 5 boşluktan ikisine yerleştirin.

Alternatif Yöntem

Tüm Durumdan Çıkarma Yöntemi: Mavi kalemlerin yan yana olduğu tüm durumlardan (Siyahların kısıtlanmadığı), hem Mavilerin hem de Siyahların yan yana olduğu durumları çıkarabilirsiniz.
1. Maviler birleşik, Siyahlar serbest: (MM), S, S, K, K, K →6!/(1!2!3!)=60\rightarrow 6! / (1! 2! 3!) = 60.
2. Maviler birleşik VE Siyahlar birleşik: (MM), (SS), K, K, K →5!/(1!1!3!)=20\rightarrow 5! / (1! 1! 3!) = 20.
3. Sonuç: 60−20=4060 - 20 = 40.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru