Examkin

Soru

Zorluk: ZorTekrarlı Permütasyon

0, 0, 2, 2, 3, 3 rakamlarının yerleri değiştirilerek 6 basamaklı kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir?

  1. A
    36
  2. 42Cevap
  3. C
    48
  4. D
    54
  5. E
    60

Cevap

42
Verilen rakamlar {0, 0, 2, 2, 3, 3}. Çift sayı olması için son basamak 0 veya 2 olmalıdır. Sıfırın başa gelememe durumu, kalan sıfır sayısına göre değiştiği için iki durum ayrı incelenir.

1. Durum (Sonu 0):
Sona 0 sabitlenir. Kalanlar {0, 2, 2, 3, 3}.
Tüm sıralamalar: 5!1!2!2!=30\frac{5!}{1!2!2!} = 30.
Başa 0 gelenler (İstenmeyen): Başa 0, sona 0 koyarsak kalanlar {2, 2, 3, 3} →4!2!2!=6\rightarrow \frac{4!}{2!2!} = 6.
Geçerli sayı: 30−6=2430 - 6 = 24.

2. Durum (Sonu 2):
Sona 2 sabitlenir. Kalanlar {0, 0, 2, 3, 3}.
Tüm sıralamalar: 5!2!1!2!=30\frac{5!}{2!1!2!} = 30.
Başa 0 gelenler (İstenmeyen): Başa 0, sona 2 koyarsak kalanlar {0, 2, 3, 3} →4!1!1!2!=12\rightarrow \frac{4!}{1!1!2!} = 12.
Geçerli sayı: 30−12=1830 - 12 = 18.

Toplam: 24+18=4224 + 18 = 42.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi Durumlara Ayırma
Sayı çift olmalı, yani birler basamağı 0 veya 2 olmalıdır. Bu iki durum ayrı ayrı incelenmelidir.
Sıfırın hem başa gelememe kuralı hem de çift sayı olma kuralını etkilemesi nedeniyle, sıfırın sonda olduğu ve olmadığı durumlar farklı hesaplanmalıdır.
2
1. Durum: Sayının sonunun 0 ile bitmesi
Tüm durumlar (30) - Başa 0 gelenler (6) = 24 sayı
Birler basamağına bir adet 0 sabitlenir. Kalan rakamlar {0, 2, 2, 3, 3}. Bu rakamların sıralanışı: 5!1!2!2!=30\frac{5!}{1!2!2!} = 30. Bunlardan başa 0 gelenler (yani 0 ile başlayıp 0 ile bitenler) çıkarılır: Kalan {2, 2, 3, 3} sıralaması 4!2!2!=6\frac{4!}{2!2!} = 6.
3
2. Durum: Sayının sonunun 2 ile bitmesi
Tüm durumlar (30) - Başa 0 gelenler (12) = 18 sayı
Birler basamağına bir adet 2 sabitlenir. Kalan rakamlar {0, 0, 2, 3, 3}. Bu rakamların sıralanışı: 5!2!1!2!=30\frac{5!}{2!1!2!} = 30. Bunlardan başa 0 gelenler (yani 0 ile başlayıp 2 ile bitenler) çıkarılır: Başta 0, sonda 2 sabitken kalan {0, 2, 3, 3} sıralaması 4!1!1!2!=12\frac{4!}{1!1!2!} = 12.
4
Toplam Sonuç
24 + 18 = 42
İki ayrı durumun sonuçları toplanır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon problemlerinde, '0' rakamı hem başa gelememe kısıtlamasında hem de çiftlik kuralında rol oynuyorsa, durumlar 'sonu 0 olan' ve 'sonu 0 olmayan çift sayı' olarak ayrı ayrı incelenmelidir.

İpuçları

1
Sayı çift olacağı için birler basamağına hangi rakamlar gelebilir, belirleyiniz.
2
Birler basamağına 0 geldiği durum ile 2 geldiği durumu ayrı ayrı incelemelisiniz. Çünkü elimizde kalan 0 sayısı başa gelme durumunu etkileyecektir.
3
Sonu 0 ise: Kalan {0,2,2,3,3} ile kaç sayı yazılır? Sonu 2 ise: Kalan {0,0,2,3,3} ile kaç sayı yazılır? Her iki durumda da başa 0 gelenleri çıkarmayı unutmayın.

Alternatif Yöntem

Tüm geçerli 6 basamaklı sayıları bulup (60 tane), bunlardan tek olanları (sonu 3 ile bitenleri) çıkarabilirsiniz. Sonu 3 ile biten geçerli sayı adedi 18'dir. 60 - 18 = 42.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru