Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Tam sayılar kümesinde tanımlı AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A={x∈Z∣∣x−3∣≤4}A = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x - 3| \le 4\}
B={x∈Z∣∣2x−1∣<9}B = \{x \in \mathbb{Z} \mid |2x - 1| < 9\}

Buna göre, (A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    4
  2. 5Cevap
  3. C
    6
  4. D
    8
  5. E
    11

Cevap

İstenen kümenin eleman sayısı 5'tir.
A kümesi [-1, 7] aralığındaki tam sayılar (9 eleman), B kümesi (-4, 5) aralığındaki tam sayılar (8 eleman) olarak bulunur. Ortak elemanlar (kesişim) [-1, 4] aralığındadır. A fark B kümesi {5, 6, 7} olup 3 elemanlıdır. B fark A kümesi {-3, -2} olup 2 elemanlıdır. Bu iki kümenin birleşimi toplam 5 elemanlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını belirle.
A = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
|x - 3| ≤ 4 eşitsizliği -4 ≤ x - 3 ≤ 4 şeklinde açılır. Her tarafa 3 eklenirse -1 ≤ x ≤ 7 elde edilir.
2
B kümesinin elemanlarını belirle.
B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
|2x - 1| < 9 eşitsizliği -9 < 2x - 1 < 9 şeklinde açılır. Her tarafa 1 eklenirse -8 < 2x < 10, her taraf 2'ye bölünürse -4 < x < 5 elde edilir.
3
A ve B kümelerinin kesişimini (A ∩ B) bul.
A ∩ B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4}
Her iki kümede ortak olan elemanlar belirlenir.
4
A \ B ve B \ A kümelerini bul.
A \ B = {5, 6, 7} (3 eleman) ve B \ A = {-3, -2} (2 eleman)
A'da olup B'de olmayanlar ve B'de olup A'da olmayanlar ayrıştırılır.
5
İstenen birleşimin eleman sayısını hesapla.
s((A \ B) ∪ (B \ A)) = 3 + 2 = 5
Bulunan iki fark kümesinin eleman sayıları toplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kümeleri ile kümelerde fark ve birleşim işlemlerinin birlikte uygulanması.

İpuçları

1
Öncelikle A ve B kümelerini tanımlayan mutlak değerli eşitsizlikleri çözerek her bir kümenin hangi tam sayı aralığında olduğunu belirleyin.
2
B kümesindeki '<' işaretine dikkat edin; bu, sınır değerlerin kümeye dahil olmadığı anlamına gelir. A kümesinde ise '≤' olduğu için sınır değerler dahildir.
3
Kümelerin elemanlarını açıkça yazın. (A \ B) kümesi sadece A'da olup B'de olmayanlar, (B \ A) ise sadece B'de olup A'da olmayanlardır. Bu iki grubun eleman sayılarını toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, mutlak değer yerine üslü eşitsizlikler kullanarak (örn: 2x<502^x < 50) oluşturarak sayı kümeleri bilgisini pekiştirin.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru