Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

A={x∣40<x<190,  x=4k,  k∈Z}A = \{x \mid 40 < x < 190, \; x = 4k, \; k \in \mathbb{Z}\}
B={y∣30<y≤160,  y=6m,  m∈Z}B = \{y \mid 30 < y \le 160, \; y = 6m, \; m \in \mathbb{Z}\}

kümeleri veriliyor. Buna göre, A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    46
  2. 48Cevap
  3. C
    50
  4. D
    53
  5. E
    58

Cevap

48
İstenen s(A∪B)s(A \cup B) değeri için s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülü kullanılır. Öncelikle her kümenin eleman sayısı terim sayısı formülü (Son−I˙lkArtıs¸+1)\left(\frac{\text{Son} - \text{İlk}}{\text{Artış}} + 1\right) ile bulunur. s(A)=37s(A)=37 ve s(B)=21s(B)=21 olarak hesaplanır. Kesişim kümesi için 44 ve 66'nın en küçük ortak katı (1212) alınır ve aralıkların dar olanı ((40,160](40, 160]) seçilir. Buradan s(A∩B)=10s(A \cap B)=10 bulunur. İşlem yapıldığında 37+21−10=4837 + 21 - 10 = 48 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin eleman sayısını hesapla. Aralık: (40,190)(40, 190), 44'ün katları.
44,48,…,18844, 48, \dots, 188. Terim Sayısı = 188−444+1=37\frac{188-44}{4} + 1 = 37. s(A)=37s(A) = 37.
Belirli bir aralıktaki ardışık sayıların adedini bulmak için terim sayısı formülü kullanılır.
2
B kümesinin eleman sayısını hesapla. Aralık: (30,160](30, 160], 66'nın katları.
36,42,…,15636, 42, \dots, 156. (160160 sayısı 66'ya bölünmez, en büyük 156156). Terim Sayısı = 156−366+1=21\frac{156-36}{6} + 1 = 21. s(B)=21s(B) = 21.
Üst sınırın dahil olup olmadığını ve bölünebilme durumunu kontrol etmek gerekir.
3
A∩BA \cap B kümesini belirle. Hem 44'ün hem 66'nın katı olan sayılar OKEK(4,6) = 1212'nin katıdır. Aralık ise iki aralığın kesişimidir.
Kesişim Aralığı: (40,160](40, 160]. (Alt sınırların büyüğü, üst sınırların küçüğü).
Ortak elemanlar her iki kümenin de aralık şartını sağlamalıdır.
4
Kesişim kümesinin eleman sayısını hesapla.
1212'nin katları: 48,60,…,15648, 60, \dots, 156. Terim Sayısı = 156−4812+1=10\frac{156-48}{12} + 1 = 10. s(A∩B)=10s(A \cap B) = 10.
Birleşim formülünde ortak elemanları iki kez saymamak için bu değer gereklidir.
5
Birleşim formülünü uygula: s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B).
37+21−10=4837 + 21 - 10 = 48.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim İşlemi ve Dahiliyet-Hariçliyet Prensibi

İpuçları

1
Birleşim kümesinin eleman sayısını bulmak için s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülünü kullanmalısınız.
2
Kesişim kümesi (A∩BA \cap B), hem 4'ün hem de 6'nın katı olan sayıları içerir. Yani 12'nin katlarını aramalısınız. Ayrıca bu sayılar her iki aralığın da içinde kalmalıdır.
3
Kesişim kümesinin aralığı alt sınırların büyüğü (40) ile üst sınırların küçüğü (160) arasındadır. (40,160](40, 160] aralığındaki 12'nin katlarını sayıp toplamdan çıkarmayı unutmayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru