Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri
E={x∈Z∣−4≤x<6}E = \{x \in \mathbb{Z} \mid -4 \le x < 6\} evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB şu şekilde tanımlanmıştır:
A={x∈E∣x<0}A = \{x \in E \mid x < 0\}
B={x∈E∣x asal sayıdır}B = \{x \in E \mid x \text{ asal sayıdır}\}

EE kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi, AA kümesi ile tam olarak 2 elemanlı, BB kümesi ile en az 1 elemanlı bir kesişime sahiptir?

  1. A
    288
  2. 336Cevap
  3. C
    360
  4. D
    384
  5. E
    448

Cevap

İstenen şartları sağlayan 336 farklı alt küme vardır.
İstenen alt küme KK olsun. KK kümesi üç ayrık bölümden oluşur: K∩AK \cap A, K∩BK \cap B ve K∩(E∖(A∪B))K \cap (E \setminus (A \cup B)). A grubundan 2 eleman (6 yol), B grubundan en az 1 eleman (7 yol) ve kalan gruptan herhangi bir sayıda eleman (8 yol) seçilerek toplam 6×7×8=3366 \times 7 \times 8 = 336 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
E, A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle yazın.
E={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5}E = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} (10 eleman)
A={−4,−3,−2,−1}A = \{-4, -3, -2, -1\} (Negatifler, 4 eleman)
B={2,3,5}B = \{2, 3, 5\} (Asallar, 3 eleman)
Kümelerin elemanlarını açıkça görmek işlem yapmayı kolaylaştırır.
2
E kümesini A, B ve bu kümelerin dışında kalan elemanlar (R) olarak parçalara ayırın.
A={−4,−3,−2,−1}A = \{-4, -3, -2, -1\}
B={2,3,5}B = \{2, 3, 5\}
R=E∖(A∪B)={0,1,4}R = E \setminus (A \cup B) = \{0, 1, 4\}
Not: AA ve BB ayrık kümelerdir (A∩B=∅A \cap B = \emptyset).
Seçim işlemlerini birbirinden bağımsız gruplar üzerinde yapmak için kümelerin ayrık olduğunu teyit etmek gerekir.
3
A kümesinden seçilecek eleman sayısını hesaplayın (Kesişim tam 2 elemanlı).
(42)=4⋅32=6\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 farklı seçim.
A kümesinin 4 elemanından tam olarak 2 tanesi seçilmelidir.
4
B kümesinden seçilecek eleman sayısını hesaplayın (Kesişim en az 1 elemanlı).
Tüm alt kümeler - Boş küme = 23−1=8−1=72^{3} - 1 = 8 - 1 = 7 farklı seçim.
B kümesinin 3 elemanı vardır. Hiç eleman seçilmeyen durum (boş küme) çıkarılarak en az bir elemanlı durumlar bulunur.
5
Kalan (R) kümesinden yapılabilecek seçimleri hesaplayın.
23=82^{3} = 8 farklı seçim.
R kümesinin 3 elemanı (0,1,40, 1, 4) için herhangi bir kısıtlama yoktur, tüm alt kümeleri seçilebilir.
6
Tüm bağımsız seçim sayılarını çarpın.
6⋅7⋅8=3366 \cdot 7 \cdot 8 = 336.
Çarpma kuralı gereği bağımsız olayların gerçekleşme sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Bu soru, kümelerin ayrık parçalara ayrılmasını ve her parça üzerinde kombinasyon hesapları ile alt küme özelliklerinin (kesişim sayısı) birleştirilmesini test eder.

İpuçları

1
Kümelerin elemanlarını açıkça yazın ve A ile B kümelerinin ortak elemanı olup olmadığını (ayrık olup olmadıklarını) kontrol edin.
2
Evrensel kümeyi üç parçaya ayırın: Sadece A'da olanlar, sadece B'de olanlar ve her ikisinde de olmayanlar. Seçimlerinizi bu gruplar üzerinden bağımsız yapın.
3
A grubundan (42)\binom{4}{2} seçim, B grubundan (23−1)(2^3 - 1) seçim ve kalan gruptan 232^3 seçim yapılmalıdır.

Alternatif Yöntem

Tüm durumları hesaplayıp istenmeyen durumları çıkarmak yerine, doğrudan bağımsız olayların çarpımı kuralını uygulamak bu soruda daha pratiktir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru