Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değer
xx ve yy gerçel sayıları için,
∣x−2∣<3|x - 2| < 3
∣y+1∣≤2|y + 1| \leq 2
eșitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, 3x−2y3x - 2y ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. A
    19
  2. B
    21
  3. C
    23
  4. 25Cevap
  5. E
    27

Cevap

İfadenin alabileceği 25 farklı tam sayı değeri vardır.
Mutlak değerli ifadeler açılarak xx ve yy'nin gerçel sayı aralıkları bulunur (−1<x<5 -1 < x < 5 ve −3≤y≤1 -3 \leq y \leq 1 ). İstenen 3x−2y3x - 2y ifadesi için bu aralıklar uygun katsayılarla genişletilip toplanır (−5<3x−2y<21 -5 < 3x - 2y < 21 ). Bu açık aralıktaki tam sayılar -4'ten 20'ye kadardır ve toplam 25 adettir.

Adım Adım Çözüm

1
∣x−2∣<3|x - 2| < 3 eşitsizliğini çözerek xx'in aralığını bulun.
−3<x−2<3⇒−1<x<5-3 < x - 2 < 3 \Rightarrow -1 < x < 5
Mutlak değerli eşitsizlik açılırken sayı, negatif ve pozitif değerleri arasına yazılır.
2
∣y+1∣≤2|y + 1| \leq 2 eşitsizliğini çözerek yy'nin aralığını bulun.
−2≤y+1≤2⇒−3≤y≤1-2 \leq y + 1 \leq 2 \Rightarrow -3 \leq y \leq 1
Benzer şekilde mutlak değer dışına çıkarma işlemi uygulanır.
3
Sorulan 3x−2y3x - 2y ifadesini elde etmek için aralıkları genişletin.
xx aralığını 3 ile çarpın: −3<3x<15-3 < 3x < 15
yy aralığını -2 ile çarpın (eşitsizlik yön değiştirir): 2×(−3)≥−2y≥(−2)×1⇒−2≤−2y≤62 \times (-3) \geq -2y \geq (-2) \times 1 \Rightarrow -2 \leq -2y \leq 6
Negatif bir sayıyla çarpma işlemi eşitsizliğin yönünü değiştirir.
4
Elde edilen iki eşitsizliği taraf tarafa toplayarak sonuç aralığını bulun.
(−3)+(−2)<3x−2y<15+6⇒−5<3x−2y<21(-3) + (-2) < 3x - 2y < 15 + 6 \Rightarrow -5 < 3x - 2y < 21
Biri dahil (≤\leq), biri hariç (<<) olan eşitsizliklerin toplamı hariç (<<) olur.
5
Bu aralıktaki tam sayıların adedini hesaplayın.
Aralık (−5,21)(-5, 21) şeklindedir. Tam sayılar: −4,−3,…,20-4, -3, \dots, 20. Terim sayısı: 20−(−4)+1=2520 - (-4) + 1 = 25.
Sonuç kümesindeki eleman sayısı (Son Terim - İlk Terim) + 1 formülüyle bulunur.

Anahtar Kavram

Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Aralığı

İpuçları

1
Önce mutlak değerleri kaldırarak xx ve yy'nin hangi aralıklarda olduğunu belirleyin.
2
3x−2y3x - 2y ifadesini oluşturmak için yy eşitsizliğini −2-2 ile çarpın. Negatif sayıyla çarparken eşitsizlik yönünün değişeceğini unutmayın.
3
Aralıkları toplarken, biri dahil (≤\leq) diğeri hariç (<<) ise, toplamın işareti hariç (<<) olur. Sonuç aralığınız (−5,21)(-5, 21) olmalıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer

Bu konudan daha fazla soru