Examkin

Soru

Zorluk: KolayTekrarlı Permütasyon

Aşağıdaki şekilde, bir şehrin birbirini dik kesen sokaklarının planı verilmiştir. A noktasında bulunan bir kişi, sadece sağa veya yukarı yönde hareket ederek en kısa yoldan B noktasına gidecektir.

Buna göre, bu kişi A noktasından B noktasına kaç farklı yoldan gidebilir?

  1. 35Cevap
  2. B
    21
  3. C
    70
  4. D
    120
  5. E
    5040

Cevap

A noktasından B noktasına giden toplam yol sayısı 35'tir.
En kısa yolu bulmak için toplamda 7 adım atılmalıdır. Bu adımların 4'ü sağa, 3'ü yukarı yöndedir. Bu durum, 4 tane 'S' ve 3 tane 'Y' harfinin yan yana kaç farklı şekilde dizilebileceği sorusuyla aynıdır. Tekrarlı permütasyon formülü olan 7!4!⋅3!\frac{7!}{4! \cdot 3!} işlemi yapıldığında 35 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Atılması gereken toplam adım sayısını ve yönleri belirleyin.
A'dan B'ye gitmek için 4 birim sağa (S) ve 3 birim yukarı (Y) olmak üzere toplam 4+3=74 + 3 = 7 adım atılmalıdır.
En kısa yoldan gitmek için sadece hedefe yaklaştıran sağ ve yukarı hamleler yapılmalıdır.
2
Tekrarlı permütasyon formülünü kurun.
7!4!×3! \frac{7!}{4! \times 3!}
Aynı yöndeki adımlar (4 tane S ve 3 tane Y) kendi aralarında özdeş oldukları için sıralama tekrarlı permütasyon ile hesaplanır.
3
İşlemi sonuçlandırın.
7×6×5×4!4!×(3×2×1)=7×6×56=35 \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5}{6} = 35
Pay ve paydadaki 4!4! ve 66 değerleri sadeleştiğinde sonuç 35 olur.

Anahtar Kavram

Özdeş nesnelerin (veya adımların) farklı dizilimlerinin sayısını bulmak için tekrarlı permütasyon kullanılır.

İpuçları

1
A noktasından B noktasına varmak için toplam kaç birim sağa ve kaç birim yukarı gitmeniz gerektiğini sayın.
2
Sağa adımları 'S', yukarı adımları 'Y' harfi gibi düşünürseniz, soru SSSSYYY diziliminin kaç farklı şekilde yapılabileceğine dönüşür.
3
Tekrarlı permütasyon formülünü hatırlayın: Toplam Adım!Sag˘a Adım!×Yukarı Adım!\frac{\text{Toplam Adım!}}{\text{Sağa Adım!} \times \text{Yukarı Adım!}}

Daha Fazla Pratik

Eğer yol üzerinde uğranması zorunlu bir C noktası olsaydı, A'dan C'ye ve C'den B'ye giden yolları ayrı ayrı hesaplayıp çarpmanız gerekirdi.

Alternatif Yöntem

Izgara üzerindeki her bir köşe noktasına ulaşım yollarını toplayarak ilerleyebilirsiniz. Sol alt köşeden (A) başlayarak her noktaya solundaki ve altındaki noktaların değerlerini toplayarak yazın (Pascal üçgeni mantığı).
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru