Examkin

Soru

Zorluk: ZorTekrarlı Permütasyon

0,2,2,4,4,50, 2, 2, 4, 4, 5 rakamlarının tamamı kullanılarak 66 basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?

  1. A
    96
  2. B
    120
  3. 126Cevap
  4. D
    132
  5. E
    150

Cevap

Sayıların çift olması ve 0'ın başa gelememesi kuralı dikkate alınarak toplam 126 farklı sayı yazılabilir.
Verilen rakamlar arasında 0 bulunduğu ve çift sayı istendiği için çözüm üç ayrı durumda incelenmelidir: son basamağın 0, 2 veya 4 olması. Son basamak 0 olduğunda 30 durum, 2 olduğunda 48 durum ve 4 olduğunda 48 durum oluşur. Bu durumların toplamı 126'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Sorudaki kısıtlamaları belirle.
Sayı 6 basamaklı olmalı (ilk basamak 0 olamaz) ve çift olmalı (son basamak 0, 2 veya 4 olmalı). Verilen rakamlar: {0, 2, 2, 4, 4, 5}.
Çift sayı şartı son basamağı, 6 basamaklı olma şartı ilk basamağı etkiler. Bu yüzden durumları son basamağa göre ayırmalıyız.
2
1. Durum: Son basamağın 0 olduğu sayıları hesapla.
Son basamak 0 ise geriye {2, 2, 4, 4, 5} kalır. Tekrarlı permütasyon: 5!2!⋅2!=1204=30\frac{5!}{2! \cdot 2!} = \frac{120}{4} = 30.
0 sonda kullanıldığı için başa gelme riski yoktur. 2 ve 4 rakamları ikişer kez tekrar etmektedir.
3
2. Durum: Son basamağın 2 olduğu sayıları hesapla (Sıfır başa gelmemeli).
Tüm dizilimler (başa 0 gelebilir): 5!1!⋅2!=60\frac{5!}{1! \cdot 2!} = 60. Başa 0 gelenler (istenmeyen): 4!1!⋅2!=12\frac{4!}{1! \cdot 2!} = 12. Sonuç: 60−12=4860 - 12 = 48.
Son basamak 2 ise geriye {0, 2, 4, 4, 5} kalır. 0'ın başa geldiği durumları tüm durumlardan çıkarmalıyız.
4
3. Durum: Son basamağın 4 olduğu sayıları hesapla (Sıfır başa gelmemeli).
Tüm dizilimler: 5!2!⋅1!=60\frac{5!}{2! \cdot 1!} = 60. Başa 0 gelenler: 4!2!⋅1!=12\frac{4!}{2! \cdot 1!} = 12. Sonuç: 60−12=4860 - 12 = 48.
Son basamak 4 ise geriye {0, 2, 2, 4, 5} kalır. İşlem mantığı 2. durumla aynıdır.
5
Tüm durumları topla.
30+48+48=12630 + 48 + 48 = 126.
Bu üç durum birbirinden ayrıdır (ayrık olaylar), bu yüzden toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon ve Kısıtlı Sayma

İpuçları

1
Çift sayı olması için son basamağa hangi rakamların gelebileceğini belirleyin: 0, 2 veya 4.
2
Sıfırın hem sonda hem de başta olma durumu kafa karıştırabilir. Bu yüzden 'son basamağı 0 olanlar' ile 'son basamağı 0 olmayanlar' (2 veya 4) durumlarını ayrı ayrı hesaplayın.
3
Son basamak 0 ise geriye kalan 5 rakamı (tekrarlıları bölerek) sıralayın. Son basamak 2 veya 4 ise, tüm durumlardan 0'ın başa geldiği durumları çıkarın.

Daha Fazla Pratik

İçinde 0 bulunan tekrarlı permütasyon sorularında 'kaç tane tek sayı vardır' versiyonunu çözün.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlar - (Tek sayı olanlar + 0 ile başlayanlar) yöntemiyle de gidilebilir ancak bu soruda 0 ile başlayanları ve tek sayıları ayrıştırmak daha karmaşık olabilir. En güvenli yöntem son basamağa göre durum incelemesidir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru