Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümeler
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı A={x∈Z∣−3≤x<4}A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 \le x < 4\} kümesi veriliyor.

Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir negatif tam sayı bulunur?

  1. A
    16
  2. B
    64
  3. C
    96
  4. 112Cevap
  5. E
    120

Cevap

112
Soruda 'en az bir negatif tam sayı bulunur' ifadesi geçtiğinde, doğrudan hesaplama yapmak yerine tümleyen mantığını kullanmak daha pratiktir. Öncelikle kümenin tüm elemanları A={−3,−2,−1,0,1,2,3}A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olarak belirlenir. Toplam 7 eleman vardır, dolayısıyla toplam alt küme sayısı 27=1282^7 = 128'dir. İstenmeyen durum, alt kümede hiç negatif sayı bulunmamasıdır. Bu da alt kümenin sadece {0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\} elemanlarından (4 eleman) oluşması demektir. Bu elemanlarla yazılabilecek alt küme sayısı 24=162^4 = 16'dır. Sonuç olarak, tüm durumlardan istenmeyen durum çıkarılır: 128−16=112128 - 16 = 112.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle yazma
A={−3,−2,−1,0,1,2,3}A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}
Aralıktaki tam sayıları belirleyerek kümenin toplam eleman sayısını bulmak gerekir.
2
Kümenin toplam eleman sayısını ve negatif olmayan elemanları belirleme
Toplam eleman sayısı s(A)=7s(A) = 7. Negatif olmayan elemanlar: {0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\} (4 eleman).
Tüm alt kümelerden istenmeyen durumu çıkarmak için bu gruplandırma gereklidir.
3
Tüm alt kümelerin sayısını hesaplama
27=1282^7 = 128
n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı 2n2^n formülü ile bulunur.
4
İçinde hiç negatif sayı bulunmayan (sadece negatif olmayanlardan oluşan) alt küme sayısını hesaplama
24=162^4 = 16
Negatif olmayan 4 elemanın oluşturabileceği alt kümeler, soruda istenmeyen durumlardır.
5
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarma
128−16=112128 - 16 = 112
Tüm alt kümelerden, hiç negatif sayı içermeyenleri çıkarırsak, geriye kalanların hepsinde en az bir negatif sayı bulunur.

Anahtar Kavram

Tümleyenden Gitme Yöntemi (Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar)

İpuçları

1
Önce A kümesinin elemanlarını açıkça yazarak kaç elemanlı olduğunu bulun.
2
'En az bir negatif sayı' bulunanları tek tek saymak zordur. Bunun yerine, 'hiç negatif sayı bulunmayan' durumları bulup tüm durumlardan çıkarmayı deneyin.
3
Kümedeki negatif olmayan elemanlar {0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\} tür. Sadece bu elemanlar kullanılarak oluşturulan alt kümelerin içinde negatif sayı olmaz. Toplam alt küme sayısından (272^7) bu sayıyı (242^4) çıkarın.

Alternatif Yöntem

Kombinasyon yöntemiyle: 3 negatif elemandan 1 tane seçilip yanına diğerlerinden seçilenler eklenebilir, ancak bu yöntem 'en az bir' sorularında çok daha uzun sürer. Tümleyen yöntemi en verimlisidir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümeler

Bu konudan daha fazla soru