Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümeler

AA ve BB kümeleri için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* s(A∪B)=35s(A \cup B) = 35
* s(A∖B)=2⋅s(B∖A)s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)
* s(A∩B)s(A \cap B) bir asal sayıdır.

Buna göre, s(B)s(B) değeri en çok kaçtır?

  1. A
    23
  2. B
    27
  3. C
    29
  4. 31Cevap
  5. E
    33

Cevap

B kümesinin eleman sayısının alabileceği en büyük değer 31'dir.
Verilen 3k+p=353k + p = 35 eşitliğinde, s(B)=35−2ks(B) = 35 - 2k fonksiyonunu maksimum yapmak için kk en küçük seçilmelidir. k=1k=1 denenir ancak p=32p=32 asal değildir. k=2k=2 için p=29p=29 asaldır ve bu değer s(B)s(B)'yi maksimum (31) yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin eleman sayılarını değişkenler cinsinden ifade etme
s(B∖A)=ks(B \setminus A) = k denirse, verilen eşitlikten s(A∖B)=2ks(A \setminus B) = 2k olur. Kesişim kümesine s(A∩B)=ps(A \cap B) = p (asal sayı) diyelim.
Bilinmeyenleri azaltarak denklem kurmak için.
2
Birleşim kümesi formülünü kullanarak denklem kurma
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)⇒35=2k+k+p⇒35=3k+ps(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) \Rightarrow 35 = 2k + k + p \Rightarrow 35 = 3k + p
k ve p arasındaki ilişkiyi belirlemek için.
3
s(B) ifadesini k cinsinden yazma ve maksimizasyon analizi
s(B)=s(B∖A)+s(A∩B)=k+ps(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B) = k + p. Denklemden p=35−3kp = 35 - 3k yazarsak; s(B)=k+(35−3k)=35−2ks(B) = k + (35 - 3k) = 35 - 2k.
s(B)'nin en büyük olması için k'nın en küçük pozitif tam sayı olması gerektiğini görmek için.
4
k değerlerini deneyerek p'nin asal olma şartını sağlama
k=1k=1 için p=35−3(1)=32p = 35 - 3(1) = 32 (Asal değil).
k=2k=2 için p=35−3(2)=29p = 35 - 3(2) = 29 (Asal).
En küçük k=2k=2 değeri şartı sağlar.
Asal sayı şartını sağlayan en küçük k değerini bulmak için.
5
s(B) değerini hesaplama
s(B)=35−2k=35−2(2)=31s(B) = 35 - 2k = 35 - 2(2) = 31.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Denklem Kurma

İpuçları

1
Kümelerin eleman sayılarını birer bilinmeyen (x,yx, y gibi) ile isimlendirip birleşim formülünü yazmayı deneyin.
2
s(B∖A)=ks(B \setminus A) = k dersek, s(A∖B)=2ks(A \setminus B) = 2k olur. Birleşim kümesi denklemini 3k+p=353k + p = 35 şeklinde kurabilirsiniz.
3
s(B)s(B)'nin en büyük olması için kk'nın mümkün olan en küçük değeri alması gerekir. pp'nin asal sayı olduğu en küçük kk değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Kesişim kümesinin boş olmadığı ve birleşim kümesinin sabit olduğu durumlarda s(A)'nın minimum değerini soran sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

s(B)s(B)'yi doğrudan pp cinsinden de yazabiliriz: k=(35−p)/3k = (35-p)/3. s(B)=k+p=(35−p)/3+p=(35+2p)/3s(B) = k+p = (35-p)/3 + p = (35+2p)/3. s(B)s(B)'nin tam sayı olması için 35+2p35+2p 3'e bölünmeli ve s(B)s(B)'nin büyük olması için pp büyük olmalı. En büyük asal pp adaylarını deneyerek (29, 23, 17...) de sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümeler

Bu konudan daha fazla soru