Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasit Eşitsizlikler
xx bir gerçel sayı ve yy bir tam sayı olmak üzere,
−4<x≤2-4 < x \leq 2
∣2y+1∣≤9|2y + 1| \leq 9
eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, x2−3yx^2 - 3y ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

  1. A
    31
  2. 30Cevap
  3. C
    24
  4. D
    19
  5. E
    16

Cevap

İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 30'dur.
İfadenin en büyük değerini bulmak için x2x^2 terimini maksimize, yy terimini minimize etmeliyiz. xx aralığı −4<x≤2-4 < x \leq 2 olduğundan ve aralık 00'ı kapsadığından, x2x^2 değeri [0,16)[0, 16) aralığındadır (−4-4'ün karesi 16'dır ancak dahil değildir). yy için ∣2y+1∣≤9|2y+1| \leq 9 eşitsizliğinden −5≤y≤4-5 \leq y \leq 4 elde edilir. İfadeyi en büyük yapmak için yy'nin en küçük değeri olan −5-5 seçilir. Bu durumda ifade x2−3(−5)=x2+15x^2 - 3(-5) = x^2 + 15 olur. x2<16x^2 < 16 olduğundan, x2+15<31x^2 + 15 < 31 sonucuna ulaşılır. 31'den küçük en büyük tam sayı 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
xx değişkeninin karesinin aralığını belirleme
0≤x2<160 \leq x^2 < 16
x∈(−4,2]x \in (-4, 2] aralığında, karesi alınan sayıların en küçüğü 00 (aralıkta 00 bulunduğu için) ve en büyüğü sınır olan −4-4'ün karesine (1616) yaklaşır ancak eşit olamaz.
2
yy tam sayısının çözüm kümesini bulma
−5≤y≤4-5 \leq y \leq 4
∣2y+1∣≤9  ⟹  −9≤2y+1≤9  ⟹  −10≤2y≤8  ⟹  −5≤y≤4|2y + 1| \leq 9 \implies -9 \leq 2y + 1 \leq 9 \implies -10 \leq 2y \leq 8 \implies -5 \leq y \leq 4.
3
İstenen x2−3yx^2 - 3y ifadesini en büyük yapacak değerleri seçme
Maksimum değer için x2x^2 maksimum, yy minimum seçilmelidir.
Bir fark işleminin sonucunu büyütmek için eksilen (x2x^2) büyütülmeli, çıkan (3y3y) küçültülmelidir. yy negatif olduğunda −3y-3y pozitif katkı sağlar.
4
Değerleri yerine koyarak sonucu hesaplama
x2<16x^2 < 16 ve min y=−5y = -5 için ifade <16−3(−5)=31< 16 - 3(-5) = 31. En büyük tam sayı 30.
xx gerçel sayı olduğu için x2x^2, 1616'ya sonsuz yaklaşabilir (örn: 15.99). Bu durumda 15.99−(−15)=30.9915.99 - (-15) = 30.99 olur. Bu değerden küçük en büyük tam sayı 30'dur.

Anahtar Kavram

Gerçel sayı aralıklarında kare alma işlemi ve tam sayı kısıtlamalarının birlikte analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru