Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Sayılar
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
a⋅b−4=8c+1a \cdot b - 4 = 8c + 1
eşitliği veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
  1. a+ba + b toplamı çift sayıdır.Cevap
  2. B
    a⋅ca \cdot c çarpımı tek sayıdır.
  3. C
    a+ca + c toplamı tek sayıdır.
  4. D
    b−cb - c farkı çift sayıdır.
  5. E
    a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımı tek sayıdır.

Cevap

İki tek sayının toplamı daima çift sayı olduğu için a+ba + b toplamı çift sayıdır.
Verilen denklem düzenlendiğinde a⋅b=8c+5a \cdot b = 8c + 5 elde edilir. 8c8c her zaman çift, 55 ise her zaman tek olduğu için bu toplamın sonucu olan a⋅ba \cdot b çarpımı tektir. İki tam sayının çarpımının tek olması için çarpanların her ikisinin de (aa ve bb) tek olması gerekir. İki tek sayının toplamı ise (a+ba+b) her zaman çift sonuç vereceğinden bu ifade daima doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 8c+18c + 1 ifadesinin tekliğini/çiftliğini inceleyelim.
8c8c ifadesi, cc bir tam sayı olduğu için daima çifttir. Bir çift sayı ile bir tek sayının (11) toplamı daima tektir. Yani 8c+1=Tek8c + 1 = \text{Tek} olur.
Çift bir katsayı ile çarpılan her tam sayı çift sonuç verir ve Çift + Tek = Tek kuralı geçerlidir.
2
Eşitliği a⋅ba \cdot b çarpımını yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim.
a⋅b=8c+1+4⇒a⋅b=8c+5a \cdot b = 8c + 1 + 4 \Rightarrow a \cdot b = 8c + 5.
Eşitliğin her iki tarafına 44 ekleyerek çarpımın sonucunu net bir şekilde görebiliriz.
3
Yeni eşitlik üzerinden a⋅ba \cdot b çarpımının sonucunu belirleyelim.
8c8c çifttir, 55 tektir. Çift + Tek = Tek olduğundan a⋅b=Teka \cdot b = \text{Tek} olur.
Toplamdaki terimlerin paritesine göre sonucun paritesi belirlenir.
4
aa ve bb sayılarının tekliğini/çiftliğini analiz edelim.
Çarpımları tek olan iki tam sayının her biri tek olmak zorundadır. Dolayısıyla aa tektir ve bb tektir.
Tek ⋅\cdot Tek = Tek kuralı gereği, çarpanlardan biri çift olsaydı sonuç da çift olurdu.
5
Seçenekleri değerlendirelim.
Tek + Tek = Çift kuralına göre a+ba + b toplamı daima çifttir. cc sayısı hakkında bir bilgi edinilemediği için cc içeren seçenekler elenir.
İki tek sayının toplamı her zaman çift bir tam sayı verir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların toplama ve çarpma özellikleri.

İpuçları

1
Eşitliğin bir tarafında sabit bir tek veya çift sayı elde etmeye çalışın.
2
8c8c ifadesinin cc tam sayısının değerinden bağımsız olarak her zaman çift olduğunu unutmayın.
3
a⋅b=Teka \cdot b = \text{Tek} sonucuna ulaştığınızda, aa ve bb hakkında ne söyleyebileceğinizi düşünün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda katsayıların rasyonel olması durumunda (örneğin a/2a/2) çözümün nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemde cc yerine hem 00 hem de 11 yazarak (özel değer verme yöntemi) aa ve bb üzerindeki kısıtlamaları kontrol edebilirsiniz. Her iki durumda da a⋅ba \cdot b çarpımının tek çıkması gerektiğini göreceksiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru