Examkin

Tek ve Çift Sayılar

46 soru

Soru 1Soru →
a,ba, b ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,
a⋅b−3a=4c+5 a \cdot b - 3a = 4c + 5
eşitliği veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ba+ab^a + a ifadesi tek sayıdır

Cevap

ba+ab^a + a ifadesi tek sayıdır seçeneği her zaman doğrudur.
Verilen eşitlikte sağ taraf (4c+54c+5) daima tek sayıdır. Bu durumda sol taraftaki çarpımın (a(b−3)a(b-3)) sonucu da tek olmalıdır. Çarpımın tek olması için çarpanların her ikisi de tek olmalıdır. Yani aa tek sayıdır ve b−3b-3 tek sayıdır. b−3b-3 tek ise bb çift sayıdır. Seçeneklerdeki ba+ab^a + a ifadesinde; çift sayının (bb) pozitif tam sayı kuvveti (aa) çifttir. Çift sayı ile tek sayının (aa) toplamı daima tek sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenle.
a(b−3)=4c+5a(b - 3) = 4c + 5
Çarpım durumundaki ifadelerin teklik-çiftlik durumunu analiz etmek daha kolaydır.
2
Eşitliğin sağ tarafının (4c+54c + 5) teklik-çiftlik durumunu belirle.
4c4c daima çifttir, 5 tektir. Çift + Tek = Tek olduğundan sonuç TEK sayıdır.
Bir tam sayının 4 ile çarpımı her zaman çifttir. Çift sayı ile tek sayının toplamı her zaman tektir.
3
Sol tarafın çarpanlarını analiz et.
a(b−3)=Teka(b - 3) = \text{Tek} olduğuna göre, her iki çarpan da (aa ve b−3b-3) TEK sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımı tek ise, sayıların ikisi de mutlaka tek sayıdır.
4
aa ve bb sayılarının durumunu kesinleştir.
aa = Tek sayıdır. b−3b - 3 = Tek ise, bb = Çift sayıdır.
Tek sayı ile tek sayının toplamı çifttir (T+T=C\cT + T = Ç), bu yüzden bb çift olmalıdır.
5
Doğru seçeneği (ba+ab^a + a) incele.
bb (Çift) sayısının aa. kuvveti Çifttir. aa (Tek) ile toplanınca sonuç Tek olur.
Çift + Tek = Tek kuralı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda dört işlem ve parite analizi.

İpuçları

1
İfadeyi aa parantezine alarak çarpanlarına ayırın ve eşitliğin sağ tarafının tek mi çift mi olduğunu inceleyin.
2
4c+54c + 5 ifadesi her zaman tek sayıdır. Bu durumda a⋅(b−3)a \cdot (b - 3) çarpımı da tek sayı olmalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
a⋅b−4=8c+1a \cdot b - 4 = 8c + 1
eşitliği veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+ba + b toplamı çift sayıdır.

Cevap

İki tek sayının toplamı daima çift sayı olduğu için a+ba + b toplamı çift sayıdır.
Verilen denklem düzenlendiğinde a⋅b=8c+5a \cdot b = 8c + 5 elde edilir. 8c8c her zaman çift, 55 ise her zaman tek olduğu için bu toplamın sonucu olan a⋅ba \cdot b çarpımı tektir. İki tam sayının çarpımının tek olması için çarpanların her ikisinin de (aa ve bb) tek olması gerekir. İki tek sayının toplamı ise (a+ba+b) her zaman çift sonuç vereceğinden bu ifade daima doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 8c+18c + 1 ifadesinin tekliğini/çiftliğini inceleyelim.
8c8c ifadesi, cc bir tam sayı olduğu için daima çifttir. Bir çift sayı ile bir tek sayının (11) toplamı daima tektir. Yani 8c+1=Tek8c + 1 = \text{Tek} olur.
Çift bir katsayı ile çarpılan her tam sayı çift sonuç verir ve Çift + Tek = Tek kuralı geçerlidir.
2
Eşitliği a⋅ba \cdot b çarpımını yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim.
a⋅b=8c+1+4⇒a⋅b=8c+5a \cdot b = 8c + 1 + 4 \Rightarrow a \cdot b = 8c + 5.
Eşitliğin her iki tarafına 44 ekleyerek çarpımın sonucunu net bir şekilde görebiliriz.
3
Yeni eşitlik üzerinden a⋅ba \cdot b çarpımının sonucunu belirleyelim.
8c8c çifttir, 55 tektir. Çift + Tek = Tek olduğundan a⋅b=Teka \cdot b = \text{Tek} olur.
Toplamdaki terimlerin paritesine göre sonucun paritesi belirlenir.
4
aa ve bb sayılarının tekliğini/çiftliğini analiz edelim.
Çarpımları tek olan iki tam sayının her biri tek olmak zorundadır. Dolayısıyla aa tektir ve bb tektir.
Tek ⋅\cdot Tek = Tek kuralı gereği, çarpanlardan biri çift olsaydı sonuç da çift olurdu.
5
Seçenekleri değerlendirelim.
Tek + Tek = Çift kuralına göre a+ba + b toplamı daima çifttir. cc sayısı hakkında bir bilgi edinilemediği için cc içeren seçenekler elenir.
İki tek sayının toplamı her zaman çift bir tam sayı verir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların toplama ve çarpma özellikleri.

İpuçları

1
Eşitliğin bir tarafında sabit bir tek veya çift sayı elde etmeye çalışın.
2
8c8c ifadesinin cc tam sayısının değerinden bağımsız olarak her zaman çift olduğunu unutmayın.
3
a⋅b=Teka \cdot b = \text{Tek} sonucuna ulaştığınızda, aa ve bb hakkında ne söyleyebileceğinizi düşünün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda katsayıların rasyonel olması durumunda (örneğin a/2a/2) çözümün nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemde cc yerine hem 00 hem de 11 yazarak (özel değer verme yöntemi) aa ve bb üzerindeki kısıtlamaları kontrol edebilirsiniz. Her iki durumda da a⋅ba \cdot b çarpımının tek çıkması gerektiğini göreceksiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →
xx ve yy birer tam sayı olmak üzere,
(x3−x+1)⋅(y+5)(x^3 - x + 1) \cdot (y + 5)
ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: y · (x² + 4)

Cevap

y · (x² + 4) ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen çarpımın tek sayı olması için çarpanların her ikisinin de tek sayı olması gerekir. İlk çarpan olan (x3−x+1)(x^3 - x + 1) ifadesinde x3−x=(x−1)x(x+1)x^3 - x = (x-1)x(x+1) ardışık üç sayının çarpımı olduğu için daima çifttir. Dolayısıyla (x3−x)+1(x^3 - x) + 1 daima tek sayıdır. Bu durumda sonucun tek olması için ikinci çarpan olan (y+5)(y + 5) ifadesinin de tek sayı olması gerekir. y+5y + 5 tek ise yy çift sayı olmalıdır. Seçenekler incelendiğinde, çift bir sayı olan yy ile çarpılan herhangi bir tam sayı ifadesi (y⋅(x2+4))(y \cdot (x^2 + 4)) daima çift sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk çarpanın yapısını analiz et.
x³ - x = x(x² - 1) = x(x - 1)(x + 1) ifadesi ardışık üç tam sayının çarpımıdır ve daima çifttir. Bu nedenle (x³ - x + 1) ifadesi (Çift + 1) = Tek sayıdır.
Çarpımın sonucunun tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
İkinci çarpanın durumunu belirle.
(y + 5) ifadesi tek sayı olmalıdır.
Bir toplamın tek olması için toplananlardan biri çift, diğeri tek olmalıdır. 5 tek sayı olduğuna göre, y çift sayı olmalıdır.
3
Bulunan bilgileri özetle.
x sayısı tek veya çift olabilir (belirsiz), ancak y sayısı kesinlikle çifttir.
Seçenekleri bu bilgiye göre değerlendirmek gerekir.
4
Seçenekleri y'nin çift olduğu bilgisiyle test et.
y · (x² + 4) seçeneğinde, y çift sayı olduğundan, yanındaki tam sayı çarpanı ne olursa olsun sonuç daima çift sayıdır.
Çift bir tam sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çifttir.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayıların Çarpımı ve Tek-Çift Sayı Özellikleri

İpuçları

1
Çarpma işleminin sonucunun tek sayı olabilmesi için çarpanların her birinin ne olması gerektiğini düşünün.
2
x3−xx^3 - x ifadesini çarpanlarına ayırarak ardışık sayıların çarpımı kuralını hatırlayın.
3
x(x−1)(x+1)x(x-1)(x+1) çarpımı daima çifttir. Bu, ilk parantezin xx'ten bağımsız olarak tek sayı olduğunu gösterir. Sadece yy'nin durumuna odaklanın.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözme: x = 2 verelim. (8-2+1)(y+5) = 7(y+5) olur. Sonucun tek olması için y+5 tek olmalı, yani y çift (örneğin 0) olmalıdır. x=2 ve y=0 değerlerini şıklarda deneyerek eleme yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 4Soru →

a,ba, b ve cc tam sayıları için

* a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin bir çift sayı,
* a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinin bir tek sayı

olduğu bilinmektedir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+b+ca + b + c

Cevap

a, b ve c sayılarının teklik-çiftlik durumları incelendiğinde a'nın tek, b ve c'nin çift olduğu bulunur. Bu durumda a + b + c toplamı daima tek sayıdır.
Verilen iki denklemi sağlayan tek durum a'nın tek, b'nin çift ve c'nin çift olmasıdır. b tek olduğunda iki denklem arasında bir çelişki (a+c ifadesinin hem tek hem çift olması gerektiği) oluşur. Dolayısıyla kesin olan durum a=T,b=C\c,c=C\ca = T, b = Ç, c = Ç şeklindedir. Bu değerlerin toplamı (T+C\c+C\cT+Ç+Ç) her zaman tek sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1
b sayısının çift olma durumunu inceleyin.
b çift ise; a⋅C¸+c=C¸⇒c=C¸a \cdot \text{Ç} + c = \text{Ç} \Rightarrow c = \text{Ç} ve a+C¸⋅C¸=T⇒a=Ta + \text{Ç} \cdot \text{Ç} = \text{T} \Rightarrow a = \text{T} bulunur.
Değişkenlerden birini varsayarak diğerlerinin durumunu tutarlılık açısından kontrol etmek gerekir.
2
b sayısının tek olma durumunu inceleyin.
b tek ise; a⋅T+c=C¸⇒a+c=C¸a \cdot \text{T} + c = \text{Ç} \Rightarrow a + c = \text{Ç} ve a+T⋅c=T⇒a+c=Ta + \text{T} \cdot c = \text{T} \Rightarrow a + c = \text{T} olur. a+ca+c aynı anda hem çift hem tek olamaz.
Bu durum bir çelişki yarattığı için b'nin tek olması imkansızdır.
3
Elde edilen sonuçlara göre seçenekleri kontrol edin.
a=Tek,b=C¸ift,c=C¸ifta = \text{Tek}, b = \text{Çift}, c = \text{Çift} olduğuna göre; a+b+c=T+C¸+C¸=Teka + b + c = \text{T} + \text{Ç} + \text{Ç} = \text{Tek} bulunur.
Bulunan pariteleri seçeneklerdeki ifadelere uygulayarak hangisinin tek olduğunu belirlemek gerekir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinde teklik-çiftlik (parite) analizi ve durum değerlendirmesi.

İpuçları

1
Değişkenlerden birine (örneğin b'ye) bir durum atayarak diğerlerinin ne olması gerektiğini bulmaya çalışın.
2
Eğer b tek olsaydı, her iki ifade de a+c toplamının karakterini belirlerdi. Bu durumun bir çelişki yaratıp yaratmadığına bakın.
3
b'nin çift olduğunu belirledikten sonra denklemleri tekrar çözdüğünüzde a'nın tek, c'nin çift çıkması gerektiğini göreceksiniz.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin kuvvetlerini içeren (örneğin ab+ca^b + c) durumları pozitif tam sayılar kümesinde inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →

x,yx, y ve zz pozitif tam sayıları için,

I. x2+x+yx^2 + x + y ifadesi tek sayıdır.
II. x+y⋅zx + y \cdot z ifadesi çift sayıdır.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çifttir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x+zx + z

Cevap

x+zx + z ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen I. öncülde x2+x=x(x+1)x^2+x = x(x+1) ifadesi ardışık iki sayının çarpımı olduğundan daima çifttir. Toplamın tek olması için yy'nin tek sayı olması gerekir. II. öncülde yy tek olduğu için, y⋅zy \cdot z ifadesi zz ile aynı karakterdedir (Tek ⋅\cdot Tek = Tek, Tek ⋅\cdot Çift = Çift). Toplamın (x+zx + z) çift olması için xx ve zz ya ikisi de tek ya da ikisi de çift olmalıdır. Bu durumda xx ve zz aynı türden olduğu için toplamları (x+zx+z) daima çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
I. ifadeyi analiz et: x2+x+yx^2 + x + y tek sayıdır.
x(x+1)x(x+1) daima çift olduğundan, sonucun tek olması için yy tek sayı olmalıdır.
Ardışık iki tam sayının çarpımı (x(x+1)x(x+1)) daima çifttir. Çift + Tek = Tek kuralı gereği y tektir.
2
II. ifadeyi analiz et: x+y⋅zx + y \cdot z çift sayıdır.
yy tek olduğu için ifade x+zx + z ile aynı karakterdedir. xx ve zz aynı tekliğe/çiftliğe sahip olmalıdır.
Tek sayı ile çarpma (y⋅zy \cdot z) z'nin tekliğini/çiftliğini değiştirmez. Toplamın çift olması için toplananların ikisi de tek veya ikisi de çift olmalıdır.
3
Olası durumları belirle.
Durum 1: xx Çift, yy Tek, zz Çift. Durum 2: xx Tek, yy Tek, zz Tek.
Her iki durumda da xx ve zz aynı türdendir (ikisi de tek veya ikisi de çift).
4
Seçenekleri bu durumlara göre test et.
x+zx + z toplamı; (Çift+Çift=Çift) veya (Tek+Tek=Çift) olduğundan daima çifttir.
Aynı türden iki tam sayının toplamı daima çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tam sayıların tek-çift özellikleri ve x(x+1)x(x+1) ifadesinin daima çift olması kuralı.

İpuçları

1
x2+xx^2 + x ifadesini x(x+1)x(x+1) parantezine alarak incelemeye başlayın.
2
Ardışık iki tam sayının çarpımı daima çifttir. Buna göre I. maddeden yy'nin tek mi çift mi olduğunu bulun.
3
yy bir tek sayıdır. II. maddede yerine koyduğunuzda xx ve zz'nin birbirine göre durumu (aynı veya zıt işaretli olmaları) ortaya çıkar.

Daha Fazla Pratik

Ardışık sayıların toplamı ve çarpımı ile ilgili sorular çözerek n(n+1)n(n+1) kuralını pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözme: y=1y=1 (tek) kabul edelim. II. denklem x+z=x+z= Çift olur. Bu durumda x=1,z=1x=1, z=1 veya x=2,z=2x=2, z=2 vererek seçenekleri deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 6Soru →

a,ba, b ve cc birer tam sayıdır.

a2+a⋅b+a=4c+11a^2 + a \cdot b + a = 4c + 11

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (a+b)⋅c(a + b) \cdot c çift sayıdır

Cevap

(a+b)⋅c(a + b) \cdot c ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen eşitlikte sağ taraf (4c+114c+11) daima tektir. Bu durumda sol taraf (a(a+b+1)a(a+b+1)) da tek olmalıdır. Bir çarpımın tek olması için çarpanların hepsi tek olmalıdır (aa tektir, a+b+1a+b+1 tektir). Bu koşullar sağlandığında aa ve bb sayılarının her ikisinin de tek sayı olduğu kesinleşir. İki tek sayının toplamı (a+ba+b) çift sayı olduğundan, bu toplamın herhangi bir cc tam sayısıyla çarpımı ((a+b)⋅c(a+b)\cdot c) daima çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafının tekliğini/çiftliğini analiz et.
4c4c daima çifttir (c tam sayı olduğu için). 4c+114c + 11 (Çift + Tek) = Tek sayıdır.
Eşitliğin bir tarafının paritesi (tek/çift durumu), diğer tarafını belirler.
2
Eşitliğin sol tarafını ortak çarpan parantezine al ve analiz et.
a2+a⋅b+a=a(a+b+1)a^2 + a \cdot b + a = a(a + b + 1) olarak yazılabilir. Bu çarpımın sonucu Tek olmalıdır.
Çarpımın sonucu tek ise, çarpanların her biri tek sayı olmalıdır.
3
Çarpanlardan yola çıkarak aa ve bb değişkenlerinin durumunu belirle.
1. Çarpan aa Tektir.
2. Çarpan (a+b+1)(a + b + 1) Tektir.
Tek x Tek = Tek kuralı gereği.
4
bb sayısının durumunu bulmak için ikinci çarpanı çöz.
aa Tek olduğuna göre, (Tek+b+1)(Tek + b + 1) ifadesi (C\cift+b)(Çift + b) olur. Sonucun Tek olması için bb Tek olmalıdır (Çift + Tek = Tek).
Elde edilen verileri yerine koyarak bilinmeyeni bulma.
5
Bulunan a=Tek,b=Teka=Tek, b=Tek ve c=Bilinmiyorc=Bilinmiyor durumlarına göre şıkları değerlendir.
a+ba + b (Tek + Tek) = Çift eder. (a+b)⋅c(a + b) \cdot c ifadesinde bir çarpan (a+b) çift olduğu için sonuç cc'ye bakılmaksızın daima Çifttir.
Çift sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çifttir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda işlemler ve parite analizi.

İpuçları

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 4c+114c + 11 ifadesinin tek mi yoksa çift mi olduğunu belirleyerek başlayın.
2
Sol taraftaki ifadeyi aa parantezine alarak çarpanlarına ayırın: a(a+b+1)a(a + b + 1).
3
Çarpım sonucu tek sayı ise, çarpanların her biri tek sayı olmalıdır. Bu bilgiyi kullanarak önce aa'nın, sonra bb'nin durumunu bulun.

Daha Fazla Pratik

İçinde üslü ifadelerin (örn. aba^b) olduğu tek-çift sayı sorularını inceleyin.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi (sadece kontrol amaçlı): Sağ tarafın tek olması gerektiğinden, örneğin a=1a=1 verelim. 1+b+1=Tek  ⟹  b+2=Tek  ⟹  b=Tek1 + b + 1 = Tek \implies b+2=Tek \implies b=Tek (örneğin 1). a=1,b=1a=1, b=1 için şıkları test edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 7Soru →
x,yx, y ve zz tam sayıları için
5xy+43=z\frac{5xy + 4}{3} = z
eşitliği sağlandığına göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x⋅y+zx \cdot y + z

Cevap

x⋅y+zx \cdot y + z ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen denklemde 5xy+4=3z5xy + 4 = 3z eşitliği kurulduğunda, 4 çift olduğu için 5xy5xy ile 3z3z aynı tekliğe/çiftliğe sahip olmalıdır. Çarpanlardaki 5 ve 3 tek sayı oldukları için xyxy ile zz ifadelerinin karakteristiğini değiştirmezler. Bu durumda xyxy tek ise zz de tek, xyxy çift ise zz de çift olur. İki aynı karakterdeki sayının (her ikisi de tek veya her ikisi de çift) toplamı olan x⋅y+zx \cdot y + z ifadesi her zaman çift sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadeyi içler dışlar çarpımı yaparak düzenleyelim.
5xy+4=3z5xy + 4 = 3z
Eşitliğin her iki tarafındaki terimlerin tekliğini ve çiftliğini analiz edebilmek için rasyonel ifadeden kurtulmak gerekir.
2
3z3z ifadesinin ve 5xy+45xy + 4 ifadesinin teklik-çiftlik durumlarını inceleyelim.
Eğer xyxy tek ise, 5xy+45xy + 4 tektir, dolayısıyla 3z3z de tektir (zz tek olur). Eğer xyxy çift ise, 5xy+45xy + 4 çifttir, dolayısıyla 3z3z de çifttir (zz çift olur).
4 sayısı çift bir sayı olduğu için, sonucun tekliğini 5xy5xy terimi belirler; benzer şekilde 3 tek bir sayı olduğu için 3z3z ifadesinin tekliğini zz belirler.
3
Seçenekleri elde edilen xy≡z(mod2)xy \equiv z \pmod 2 bağıntısına göre test edelim.
x⋅yx \cdot y ile zz aynı tekliğe veya çiftliğe sahipse (ikisi de tek veya ikisi de çift), toplamları (x⋅y+zx \cdot y + z) daima çift olur.
İki tek sayının toplamı çift, iki çift sayının toplamı da çifttir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda Temel İşlemler

İpuçları

1
Denklemi önce 5xy+4=3z5xy + 4 = 3z şeklinde yazarak rasyonel ifadeden kurtulmayı dene.
2
Eşitlikte 4 çift, 5 ve 3 ise tek sayılardır. Bu durum xyxy ile zz arasında nasıl bir ilişki kurmanı sağlar?
3
xyxy ve zz ifadelerinin her zaman aynı türden (ikisi de tek ya da ikisi de çift) olması gerektiğini fark ettiğinde, toplamlarının sonucunu düşün.

Daha Fazla Pratik

İçinde rasyonel ifade barındıran tek-çift sayı sorularında her zaman önce içler dışlar çarpımı yaparak tam sayı eşitliği elde etmeye odaklanmalısın.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemini kullanarak hızlıca eleme yapabilirsin: x=1,y=1x=1, y=1 için z=3z=3 olur. Bu değerleri şıklarda yerine koyup tek çıkanları eleyebilirsin. Ardından x=1,y=4x=1, y=4 için z=8z=8 değerlerini deneyerek kalan seçenekleri test edebilirsin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 8Soru →

a,ba, b ve cc tam sayıları için,
* a2+aba^2 + ab ifadesinin bir çift sayı,
* b2+bcb^2 + bc ifadesinin bir tek sayı
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek bir sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅c+ba \cdot c + b

Cevap

a⋅c+ba \cdot c + b ifadesi daima tektir.
b(b+c)b(b+c) çarpımının tek olması için bb tek ve cc çift olmalıdır. a(a+b)a(a+b) ifadesi ise bb tek olduğunda aa tek olsa da çift olsa da çift sonuç vereceği için aa hakkında kesin bilgi yoktur. Ancak cc çift olduğu için a⋅ca \cdot c çarpımı her zaman çifttir ve tek olan bb ile toplandığında sonuç daima tek olur.

Adım Adım Çözüm

1
b2+bcb^2 + bc ifadesinin çarpanlarına ayrılarak incelenmesi
bb sayısının tek, cc sayısının çift olduğunun belirlenmesi
b2+bc=b(b+c)b^2 + bc = b(b + c) şeklinde yazılır. Bir çarpımın tek olması için tüm çarpanların tek olması gerekir. Dolayısıyla bb tektir ve b+cb + c tektir. bb tek ise cc çift olmalıdır.
2
a2+aba^2 + ab ifadesinin bb değeri yerine yazılarak analiz edilmesi
aa sayısının hem tek hem de çift olabileceğinin fark edilmesi
a2+ab=a(a+b)a^2 + ab = a(a + b) şeklinde yazılır. bb tek iken; eğer aa tek ise T×(T+T)=T×C\c=C\ciftT \times (T + T) = T \times Ç = Çift olur. Eğer aa çift ise C\c×(C\c+T)=C\c×T=C\ciftÇ \times (Ç + T) = Ç \times T = Çift olur. Bu durumda aa her iki değerini de alabilir.
3
a⋅c+ba \cdot c + b ifadesinin kesinlik testine tabi tutulması
İfadenin daima tek sonuç verdiğinin kanıtlanması
cc çift bir sayı olduğundan, aa ne olursa olsun a⋅ca \cdot c çarpımı daima çifttir. bb sayısı tek olduğu için C\cift+Tek=TekÇift + Tek = Tek kuralı gereği sonuç daima tektir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda çarpma ve toplama işlemlerinde teklik-çiftlik analizi ve çarpanlara ayırma yöntemi.

İpuçları

1
Öncelikle çarpım durumuna getirilebilen ifadeleri çarpanlarına ayırarak başlayın.
2
b(b+c)b(b+c) çarpımı tek ise hem bb hem de b+cb+c ifadesinin tek olması gerektiğini unutmayın.
3
a(a+b)a(a+b) ifadesinde bb tek iken aa'nın hem tek hem de çift olma durumlarını ayrı ayrı test edin.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin pozitif tam sayı olduğu belirtilseydi, üslü ifadelerin tabanlarının parity üzerindeki etkisini inceleyen benzer bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi kullanılabilir: b=1b=1 ve c=2c=2 (bu durumda b2+bc=1+2=3b^2+bc = 1+2=3 tek olur) seçilirse, a(a+1)a(a+1) çift olmalıdır. a=1a=1 ve a=2a=2 değerlerini seçeneklerde deneyerek her iki durumda da tek çıkan seçeneği bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →
a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,
(a+2b)⋅(b+3c)=2023(a + 2b) \cdot (b + 3c) = 2023
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çifttir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a + b + c

Cevap

a+b+ca + b + c ifadesi daima çifttir.
Verilen eşitlikte çarpım tek sayı olduğundan her iki çarpan da tek olmalıdır. a+2ba+2b tek ise, 2b2b çift olduğundan aa kesinlikle tektir. b+3cb+3c tek ise, bb ve 3c3c (dolayısıyla cc) zıt karakterlidir (biri tek, biri çift). Bu durumda b+cb+c toplamı kesinlikle tektir. Sonuç olarak a+b+ca + b + c ifadesi, Tek+(Tek)Tek + (Tek) formundadır ve iki tek sayının toplamı daima çifttir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafını analiz et.
2023 tek sayıdır. Çarpım sonucu tek ise, çarpanların her biri tek sayı olmalıdır: (a+2b)=Tek(a + 2b) = \text{Tek} ve (b+3c)=Tek(b + 3c) = \text{Tek}.
Çarpma işleminde sonucun tek olabilmesi için tüm çarpanların tek olması gerekir (T⋅T=TT \cdot T = T).
2
Birinci çarpanı kullanarak aa'nın durumunu belirle.
a+2b=Teka + 2b = \text{Tek}. 2b2b her zaman çifttir. Bu durumda aa kesinlikle Tek sayıdır.
Çift bir sayı ile ancak tek bir sayı toplanırsa sonuç tek olur (C\c+T=TÇ + T = T).
3
İkinci çarpanı kullanarak bb ve cc arasındaki ilişkiyi belirle.
b+3c=Tekb + 3c = \text{Tek}. Katsayısı tek olan 3c3c, cc ile aynı karakterdedir. Yani b+c=Tekb + c = \text{Tek} demektir.
İki sayının toplamı tek ise, bu sayılardan biri tek, diğeri çifttir. Yani bb ve cc zıt karakterlidir.
4
Doğru seçeneği bulmak için verileri birleştir.
aa tektir, (b+c)(b+c) tektir. Bizden a+b+ca + b + c isteniyor. a+(b+c)=Tek+Tek=C¸ifta + (b+c) = \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}.
İki tek sayının toplamı daima çifttir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda İşlemler

İpuçları

1
Çarpım sonucu 2023 (tek sayı) olduğuna göre, parantez içlerinin tek mi yoksa çift mi olduğunu belirleyin.
2
a+2ba + 2b tek ise aa nedir? b+3cb + 3c tek ise bb ve cc arasındaki teklik-çiftlik ilişkisi nasıldır?
3
aa kesinlikle tektir. bb ve cc'den biri tek diğeri çifttir, yani (b+c)(b+c) toplamı tektir. a+(b+c)a + (b+c) toplamını düşünün.

Daha Fazla Pratik

İçinde faktöriyel bulunan tek-çift sayı sorularını çözerek pratiğinizi artırın.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: Eşitliği sağlayan örnek değerler bulun. a=1a=1 (tek) olsun. 1+2b1+2b tektir. b+3cb+3c de tek olmalı. b=1b=1 (tek) seçersek, 1+3c1+3c tek olmalı →3c\rightarrow 3c çift →c=2\rightarrow c=2 (çift). a=1,b=1,c=2a=1, b=1, c=2 için şıkları deneyin. Sadece a+b+ca+b+c (1+1+2=41+1+2=4) çift çıkar.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 10Soru →
k,mk, m ve nn pozitif tam sayılar olmak üzere,
7k+6m=8n+5 7k + 6m = 8n + 5
eşitliği verilmiştir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: k^m + k^n

Cevap

k^m + k^n ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen denklemde çift katsayılı terimler (6m ve 8n) elendiğinde geriye 7k'nın tek sayıya eşit olduğu kalır, bu da k'nın kesinlikle tek sayı olduğunu gösterir. m ve n değişkenlerinin katsayıları çift olduğu için bu değişkenlerin kendileri hakkında yorum yapılamaz (tek de olabilirler çift de). Doğru seçenek, k'nın tek sayı olması durumunda iki tek sayının toplamını (Tek^m + Tek^n = Tek + Tek = Çift) ifade ettiği için daima çift sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikteki terimlerin teklik-çiftlik durumlarını incele.
6m ve 8n ifadeleri, katsayıları çift olduğu için m ve n ne olursa olsun daima çift sayıdır.
Çift bir sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çifttir.
2
Eşitliği sadeleştirerek k sayısının durumunu belirle.
7k + Çift = Çift + 5 (Tek) eşitliğinden, 7k + Çift = Tek bulunur. Çift sayıyı karşıya atarsak 7k = Tek - Çift = Tek olur.
Eşitliğin korunması için sol ve sağ tarafın paritesi (teklik-çiftlik durumu) aynı olmalıdır.
3
k sayısının tek mi çift mi olduğuna karar ver.
7k tek sayı olduğuna göre ve 7 tek sayı olduğundan, k kesinlikle tek sayı olmalıdır.
İki sayının çarpımı tek ise, çarpanların her ikisi de tek sayı olmalıdır.
4
Doğru seçeneği bulmak için k'nın tek olduğu bilgisini şıklarda dene.
k tek sayı olduğundan k^m ve k^n ifadeleri de tektir (pozitif tam sayı üsleri tekliği bozmaz). İki tek sayının toplamı (Tek + Tek) daima çift sayıdır.
Tek sayıların tüm pozitif tam sayı kuvvetleri tektir; iki tek sayının toplamı ise çifttir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda işlemlerin teklik-çiftlik özellikleri (Parite analizi)

İpuçları

1
Eşitlikteki terimlerin katsayılarına dikkat edin; çift katsayı ile çarpılan bir tam sayının sonucu daima çifttir.
2
6m ve 8n ifadeleri kesinlikle çifttir. Bu bilgiyi kullanarak 7k'nın teklik-çiftlik durumunu belirleyin.
3
7k ifadesinin tek sayı olması zorunludur. k tek sayı ise, şıklardaki k^m + k^n ifadesinin sonucunu (Tek + Tek) inceleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, çarpımları çift olan sayıların özelliklerini inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: Eşitliği sağlayan en küçük pozitif tam sayıları bulmaya çalışın. Örneğin k=1 için 7(1) + 6m = 8n + 5 => 2 + 6m = 8n => 1 + 3m = 4n. m=1, n=1 bu eşitliği sağlar. k=1, m=1, n=1 değerlerini şıklarda deneyerek eleme yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 11Soru →

aa, bb ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,
* a⋅b+ca \cdot b + c toplamı bir tek sayıdır.
* a+b⋅ca + b \cdot c toplamı bir tek sayıdır.
* ac+ba^c + b toplamı bir çift sayıdır.

eşitlikleri verilmektedir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b+cb + c

Cevap

Verilen koşullara göre bb tek ve cc çift sayı olduğundan, bu iki sayının toplamı olan ifade her zaman tek sayıdır.
Verilen üç koşulun aynı anda sağlanabilmesi için aa ve bb sayılarının her ikisinin de tek, cc sayısının ise çift olması gerekmektedir. Bir tek sayı (bb) ile bir çift sayının (cc) toplamı her zaman tek sayı sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
ac+ba^c + b ifadesinin tekliğini/çiftliğini analiz edin.
aa ve bb sayılarının her ikisi de ya tek ya da çifttir.
cc pozitif bir tam sayı olduğundan, aca^c ifadesinin tekliği/çiftliği aa tabanı ile aynıdır. Toplamın çift olması için iki sayının da aynı karakterde olması gerekir.
2
aa ve bb sayılarının çift olduğu varsayımını test edin.
Çelişki oluşur.
aa ve bb çift olsaydı, a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek olması için cc tek olmalıydı. Bu durumda a+b⋅ca + b \cdot c ifadesi (Ç + Ç ⋅\cdot T = Ç) çift olurdu, ancak soruda tek olduğu verilmiştir.
3
aa ve bb sayılarının tek olduğu varsayımını test edin.
aa: Tek, bb: Tek, cc: Çift.
aa ve bb tek ise, a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek olması için (T ⋅\cdot T + cc = T + cc = T) cc çift olmalıdır. Bu durumda a+b⋅ca + b \cdot c ifadesi (T + T ⋅\cdot Ç = T + Ç = T) tek olur ve tüm koşullar sağlanır.
4
Bulunan karakterlere göre seçenekleri değerlendirin.
b+cb + c toplamı T + Ç = Tek olur.
aa: Tek, bb: Tek ve cc: Çift olduğu kesinleştiği için seçeneklerdeki işlemler bu değerlere göre yapılır.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinde teklik ve çiftlik analizi.
Tahmini Süre:1m 45s
Soru 12Soru →
a,ba, b ve cc pozitif tam sayıları için,
4a2+a⋅b+b=c3+c4a^2 + a \cdot b + b = c^3 + c
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b^a + b

Cevap

ba+bb^a + b ifadesi daima çift sayıdır.
Verilen eşitlikte sağ taraf (c3+cc^3+c) daima çifttir. Sol tarafta 4a24a^2 terimi de daima çifttir. Dolayısıyla geriye kalan a⋅b+ba \cdot b + b yani b(a+1)b(a+1) ifadesi çift sayı olmalıdır. Bu koşul iki durumda sağlanır: Ya bb çifttir ya da (bb tek ise) aa tektir. İstenen seçenek (ba+bb^a + b), b(ba−1+1)b(b^{a-1} + 1) olarak da düşünülebilir veya doğrudan yerine koyma yapılabilir. bb çift ise sonuç çifttir. bb tek ise aa da tek olacağından, Tek + Tek = Çift sonucu elde edilir. Her iki senaryoda da sonuç daima çifttir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafındaki c3+cc^3 + c ifadesini çarpanlarına ayırarak incele.
c3+c=c(c2+1)c^3 + c = c(c^2 + 1). Eğer cc tek ise c2+1c^2+1 çift olur; eğer cc çift ise sonuç zaten çifttir. Yani bu ifade daima çifttir.
Eşitliğin bir tarafının paritesini (tek/çift durumunu) kesinleştirmek çözümün anahtarıdır.
2
Sol tarafı düzenle ve çift sayıya eşitle.
4a2+b(a+1)4a^2 + b(a + 1) ifadesi çifttir. 4a24a^2 ifadesi, aa ne olursa olsun (4 çarpanından dolayı) daima çifttir.
Toplamın sonucunu etkileyen terimleri ayrıştırmak.
3
Kalan terim olan b(a+1)b(a + 1) ifadesini analiz et.
Çift + b(a+1)b(a+1) = Çift olmalı. Bu durumda b(a+1)b(a + 1) ifadesi kesinlikle çift olmalıdır.
Çift sayı ile ancak çift sayının toplamı çift eder.
4
Olası durumları (senaryoları) belirle.
Durum 1: bb çifttir (aa her şey olabilir). Durum 2: bb tektir, bu durumda (a+1)(a+1) çift olmalı, yani aa tek olmalıdır.
Çarpımın çift olması için çarpanlardan en az birinin çift olması gerekir.
5
Seçenekleri bu iki duruma göre test et.
ba+bb^a + b seçeneği: Durum 1'de (bb çift) C¸ifta+C¸ift=C¸ift\text{Çift}^a + \text{Çift} = \text{Çift}. Durum 2'de (bb tek, aa tek) TekTek+Tek=Tek+Tek=C¸ift\text{Tek}^{\text{Tek}} + \text{Tek} = \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}. Her iki durumda da sonuç çifttir.
Daima doğru olanı bulmak için tüm geçerli senaryoları sağlaması gerekir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda dört işlem kuralları ve x(x+1)x(x+1) biçimindeki ifadelerin paritesi.

İpuçları

1
Önce eşitliğin sağ tarafındaki c3+cc^3 + c ifadesinin tek mi yoksa çift mi olduğunu belirleyiniz.
2
Sol taraftaki 4a24a^2 ifadesinin her zaman çift olduğunu fark edip, geriye kalan b(a+1)b(a+1) ifadesinin paritesi üzerine yoğunlaşınız.
3
b(a+1)b(a+1) çarpımı çift ise, iki olasılık vardır: Ya bb çifttir ya da bb tek ise aa tektir. Seçenekleri bu iki duruma göre test ediniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: Koşulu sağlayan küçük değerler vererek elemeyi deneyebilirsiniz. Örnek: c=1c=1 için sağ taraf 2 olur. 4a2+b(a+1)=24a^2+b(a+1)=2 için uygun a,ba,b değerleri bulup seçenekleri eleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 13Soru →

a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,

I. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek sayı,
II. b⋅c+ab \cdot c + a ifadesinin çift sayı

olduğu bilinmektedir.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a2+b2+ca^2 + b^2 + c

Cevap

a2+b2+ca^2 + b^2 + c ifadesi daima tek sayıdır.
Verilen iki denklem sistemini aynı anda sağlayan tek durum; aa ve bb sayılarının çift, cc sayısının ise tek olmasıdır. Bu durumda a2a^2 ve b2b^2 çift olacağından toplamları da çifttir. Bu toplama tek sayı olan cc eklendiğinde sonuç (C\c+TÇ+T) daima tek sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeleri analiz et
I. a⋅b+c=Teka \cdot b + c = Tek
II. b⋅c+a=C\ciftb \cdot c + a = Çift
Soru kökündeki öncüllerden yola çıkarak a,b,ca, b, c sayılarının tek veya çift olma durumlarını (paritelerini) belirlememiz gerekir.
2
II. ifadeden başlayarak durum analizi yap
b⋅c+a=C\ciftb \cdot c + a = Çift olması için iki durum vardır:
Durum 1: b⋅cb \cdot c Tek ve aa Tek
Durum 2: b⋅cb \cdot c Çift ve aa Çift
Toplamın çift olması için terimlerin ikisi de tek veya ikisi de çift olmalıdır.
3
Durum 1'i (T, T) I. ifadede test et
Eğer b⋅cb \cdot c Tek ise (b=T,c=Tb=T, c=T) ve a=Ta=T ise;
I. ifade: a⋅b+c=T⋅T+T=T+T=C\cifta \cdot b + c = T \cdot T + T = T + T = Çift olur.
Fakat soruda I. ifadenin Tek olduğu verilmiş. Bu yüzden Durum 1 GEÇERSİZDİR.
Çelişki bulma yöntemiyle hatalı senaryoları eliyoruz.
4
Durum 2'yi (Ç, Ç) analiz et ve kesin yargıya var
Geriye kalan tek ihtimal: aa Çifttir.
b⋅cb \cdot c Çift ve aa Çift ise I. ifadeye bakalım:
a⋅b+c=C\c⋅b+c=C\c+ca \cdot b + c = Ç \cdot b + c = Ç + c. Sonucun Tek olması için cc Tek olmalıdır.
cc Tek olduğuna göre, b⋅cb \cdot c çarpımının Çift olması için bb Çift olmalıdır.
Bu adımda a,b,ca, b, c değerlerinin türlerini kesinleştirdik: aa=Çift, bb=Çift, cc=Tek.
5
Bulunan değerleri (a:C\c,b:C\c,c:Ta:Ç, b:Ç, c:T) şıklarda dene
Doğru şık: a2+b2+c=C\c2+C\c2+T=C\c+C\c+T=Teka^2 + b^2 + c = Ç^2 + Ç^2 + T = Ç + Ç + T = Tek.
Daima tek sayı olan seçeneği belirliyoruz.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin tek/çift (parite) özellikleri.

İpuçları

1
İkinci ifadeden (b⋅c+a=C\ciftb \cdot c + a = Çift) başlayarak aa ve b⋅cb \cdot c için olası Tek/Çift durumlarını yazın.
2
Birinci ifade (a⋅b+c=Teka \cdot b + c = Tek) yardımıyla, yazdığınız durumlardan hangisinin çelişki yarattığını bulun ve eleyin.
3
Tek geçerli durum: aa çift, bb çift ve cc tek olmalıdır. Bunu şıklarda yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış fakat negatif sayıların kuvvetlerini içeren (işaret incelemesi gerektiren) sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: Şartları sağlayan en küçük sayıları seçin. Örneğin a=2a=2 (çift), c=1c=1 (tek) olsun. I. denklem 2b+1=Tek2b+1=Tek ise 2b2b çifttir, bu her bb için sağlanır. II. denklem b⋅1+2=C\cift⇒b+2=C\cift⇒bb\cdot1 + 2 = Çift \Rightarrow b+2=Çift \Rightarrow b Çift olmalıdır. Öyleyse a=2,b=2,c=1a=2, b=2, c=1 değerlerini şıklarda deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 14Soru →

aa bir tam sayıdır.

a+(−7)a + (-7)

işleminin sonucu bir çift sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu her zaman bir çift sayıdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+5a + 5

Cevap

a+5a + 5 ifadesinin sonucu
Verilen a+(−7)a + (-7) ifadesinin çift olması, aa ve 7 sayılarının her ikisinin de tek veya her ikisinin de çift olmasını gerektirir. 7 bir tek sayı olduğuna göre aa kesinlikle bir tek sayıdır. Tek bir sayı olan aa ile yine tek bir sayı olan 5'in toplamı (Tek+TekTek + Tek) her zaman çift bir sayı verecektir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi düzenleme
a−7a - 7 ifadesinin çift olması
a+(−7)a + (-7) işlemi, aa sayısından 7 çıkarmakla aynıdır.
2
aa sayısının türünü (tek/çift) belirleme
aa bir tek sayıdır
İki sayının farkı çift ise, bu sayılar aynı türdedir. 7 sayısı tek olduğu için aa da tek olmalıdır (Tek−Tek=C\ciftTek - Tek = Çift).
3
Seçenekleri test etme
a+5a + 5 işleminin çift çıkması
aa tek bir sayı olduğuna göre, a=1a = 1 alırsak 1+5=61 + 5 = 6 (Çift) olur. Diğer seçeneklerde sonuç her zaman tek çıkmaktadır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri

İpuçları

1
a+(−7)a + (-7) ifadesini a−7a - 7 olarak düşünebilirsiniz.
2
İki sayının farkı çift ise, bu sayıların her ikisi de tek ya da her ikisi de çifttir.
3
77 sayısı tek olduğuna göre aa sayısının ne olması gerektiğini bulun ve bu değeri seçeneklerde yerine koyarak hangisinin çift çıktığını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Tek ve çift sayıların çarpma kurallarını (örneğin Tek×C\cift=C\ciftTek \times Çift = Çift) hatırlayarak benzer soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemini kullanabilirsiniz. a+(−7)a + (-7) sonucunun çift olması için aa yerine rastgele bir tek sayı (örneğin a=1a = 1) verin. 1−7=−61 - 7 = -6 (çifttir). Şimdi seçeneklerde aa yerine 1 yazarak hangisinin çift sonuç verdiğine bakın.
Tahmini Süre:45s
Soru 15Soru →

a=−6a = -6 ve b=9b = 9 tam sayıları veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu bir tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+ba + b

Cevap

Verilen sayılar yerine konulduğunda sonucu tek olan ifade a+ba + b toplamıdır.
Verilen ifadede a=−6a = -6 çift, b=9b = 9 ise tek bir sayıdır. Temel matematik kurallarına göre bir çift sayı ile bir tek sayının toplamı (Ç + T) her zaman tektir. Bu durumda −6+9=3-6 + 9 = 3 sonucu bir tek sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin teklik-çiftlik durumunu belirleme
a=−6a = -6 (çift sayı), b=9b = 9 (tek sayı)
Bir sayının 2 ile tam bölünüp bölünmediğine bakılır.
2
a+ba + b işlemini gerçekleştirme
−6+9=3-6 + 9 = 3
Zıt işaretli sayılar toplanırken büyük olanın işareti alınır ve fark bulunur.
3
Sonucun türünü kontrol etme
3 bir tek sayıdır.
Birler basamağı {1, 3, 5, 7, 9} olan sayılar tektir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayıların Toplama ve Çarpma Özellikleri

İpuçları

1
Bir tam sayının son basamağına bakarak tek mi çift mi olduğunu belirleyebilirsin. Negatif olması bu durumu değiştirmez.
2
Temel kuralları hatırla: Çift + Tek = Tek, Çift × Tek = Çift.
3
a=−6a = -6 ve b=9b = 9 değerlerini seçeneklerde yerine koyarak basitçe hesaplama yapabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Ardışık iki tam sayının çarpımının her zaman çift olduğunu fark ettin mi? Bunu bir sonraki sorularda kullanabilirsin.

Alternatif Yöntem

Genel kuralı kullanarak hesaplama yapmadan da sonuca ulaşabilirsin: aa (Çift) ve bb (Tek) için, a+b=C\c+T=Ta+b = Ç+T = T kuralı gereği sonuç her zaman tektir.
Tahmini Süre:45s
Soru 16Soru →

K={−14,−9,0,15,22}K = \{-14, -9, 0, 15, 22\} kümesi veriliyor. Buna göre, bu kümenin elemanları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kümede 3 tane çift sayı bulunmaktadır.

Cevap

Kümede 3 tane çift sayı bulunmaktadır.
Kümedeki elemanlar incelendiğinde; -14 (çift), -9 (tek), 0 (çift), 15 (tek) ve 22 (çift) olduğu görülür. Bu durumda kümede toplam 3 tane çift sayı bulunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki her bir elemanın teklik-çiftlik durumunu belirlemek
-14: Çift, -9: Tek, 0: Çift, 15: Tek, 22: Çift
Bir sayının 2 ile tam bölünüp bölünmediğine bakılır (0 çift bir sayıdır).
2
Seçenekleri bu bilgilere göre değerlendirmek
Çift sayılar (-14, 0, 22) toplam 3 tanedir.
Doğru seçeneği bulmak için verilerle şıklar karşılaştırılır.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri (0 sayısının çift olması dahil)

İpuçları

1
0 sayısının çift bir sayı olduğunu unutmayın.
2
Negatif sayıların teklik-çiftlik durumu, pozitif karşılıkları ile aynıdır.
3
Kümedeki elemanları tek tek listeleyip yanlarına 'Tek' veya 'Çift' yazarak şıkları kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Farklı işaretli sayıların toplamının tek mi çift mi olduğunu belirlemek için 'Tek + Tek = Çift' gibi temel kuralları tekrar edin.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 17Soru →

a,ba, b ve cc tam sayıları için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

I. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi bir tek sayıdır.
II. a+b⋅ca + b \cdot c ifadesi bir çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+ca + c toplamı tek sayıdır

Cevap

a+ca + c toplamı tek sayıdır ifadesi doğrudur.
Verilen iki denklem sistemi analiz edildiğinde, sağlanan tek koşul aa ve bb sayılarının çift, cc sayısının ise tek olmasıdır. Bu durumda çift bir sayı (aa) ile tek bir sayının (cc) toplamı her zaman tek sayı sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncülü analiz et
a⋅b+ca \cdot b + c tek sayıdır. Bu durumda iki olasılık vardır: (1) a⋅ba \cdot b çift, cc tek; veya (2) a⋅ba \cdot b tek, cc çift.
İki tam sayının toplamının tek olması için, toplananlardan biri tek, diğeri çift olmalıdır.
2
İkinci öncülü analiz et ve durumları sına
a+b⋅ca + b \cdot c çift sayıdır. 1. Durumu (a⋅ba \cdot b çift, cc tek) deneyelim. cc tek ise b⋅cb \cdot c ifadesinin paritesi bb'ye bağlıdır. Ancak a⋅ba \cdot b çift olduğu için aa veya bb çifttir.
Olası durumları eleyerek tek doğru senaryoyu bulmak gerekir.
3
Mantıksal çıkarımı tamamla
Eğer aa ve bb her ikisi de tek olsaydı (Durum 2), cc çift olurdu. Bu durumda a+b⋅c=Tek+C¸ift=Teka + b \cdot c = \text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek} olurdu. Ancak sonucun çift olması gerektiği verildiği için bu durum elenir. Geriye kalan tek geçerli durum: aa çift, bb çift ve cc tektir. Sağlaması: I. C\c⋅C\c+T=TÇ \cdot Ç + T = T (Doğru), II. C\c+C\c⋅T=C\cÇ + Ç \cdot T = Ç (Doğru).
Çelişki yaratmayan tek sayı kümesi belirlenmelidir.
4
Seçenekleri değerlendir
Bulduğumuz (aa: Çift, bb: Çift, cc: Tek) durumu için seçeneklere bakalım. a+c=C¸ift+Tek=Teka + c = \text{Çift} + \text{Tek} = \text{Tek} ifadesi kesinlikle doğrudur.
Belirlenen parite değerleri şıklarda yerine konularak doğru cevap bulunur.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri

İpuçları

1
Her iki ifadenin sonucunu (tek/çift) sağlayan a,b,ca, b, c değerlerini deneme-yanılma yoluyla veya mantıksal çıkarımla belirlemeye çalışın.
2
Eğer cc çift olsaydı, birinci ifade (a⋅b+ca \cdot b + c) tek olabilir miydi? Bunu düşünerek cc'nin kesin paritesini bulun.
3
cc mutlaka tek sayı olmalıdır. cc tek ise, ikinci ifadenin (a+b⋅ca + b \cdot c) çift olması için aa ve bb'nin ne olması gerektiğini inceleyin.

Daha Fazla Pratik

Üç bilinmeyenli parite sorularında, çarpım durumundaki ifadelerden başlamak genellikle daha hızlı sonuç verir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 18Soru →
a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,
3a⋅b+10a−5c=2023 3a \cdot b + 10a - 5c = 2023
eşitliği veriliyor.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c

Cevap

Verilen eşitlik incelendiğinde a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımı her zaman çift sayıdır.
Denklem a⋅b−c=Teka \cdot b - c = \text{Tek} şeklinde sadeleşir. Bu durum, a⋅ba \cdot b ile cc sayılarının paritelerinin (teklik-çiftlik durumlarının) birbirinden farklı olduğunu gösterir. Yani biri Tek iken diğeri Çifttir. Üç sayının çarpımı (a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c) hesaplanırken, çarpanlardan (abab veya cc) en az biri kesinlikle çift olacağından, çarpımın sonucu her zaman çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi Teklik-Çiftlik (T-Ç) açısından analiz et.
3a⋅b+10a−5c=20233a \cdot b + 10a - 5c = 2023 denkleminde katsayıların ve sabit sayıların karakterini belirle.
Tam sayılarda işlemlerin sonucunun tek mi çift mi olduğunu anlamak için katsayılar sadeleştirilebilir.
2
Terimleri T ve Ç olarak yerine koy ve sadeleştir.
10a10a her zaman Çifttir (Ç). Katsayılar (3 ve 5) teklik-çiftliği değiştirmez. Denklem: (a⋅b)+C¸−c=Tek(a \cdot b) + \text{Ç} - c = \text{Tek} haline gelir.
Çift bir sayı ile çarpılan tam sayı daima çifttir (10a10a). Tek katsayılar (3,53, 5) değişkenin karakterini değiştirmez.
3
Sonuç bağıntısını kur.
a⋅b−c=Teka \cdot b - c = \text{Tek} sonucuna ulaşılır. Bu, a⋅ba \cdot b ile cc'nin zıt karakterli olması demektir.
İki sayının farkı (veya toplamı) tek ise, sayılardan biri Tek, diğeri Çift olmak zorundadır.
4
Olası durumları tablo ile incele ve şıkları test et.
Durum 1: a⋅ba \cdot b Çift ise cc Tektir. Çarpım a⋅b⋅c=C¸⋅T=C¸ifta \cdot b \cdot c = \text{Ç} \cdot \text{T} = \text{Çift}.
Durum 2: a⋅ba \cdot b Tek ise cc Çifttir. Çarpım a⋅b⋅c=T⋅C¸=C¸ifta \cdot b \cdot c = \text{T} \cdot \text{Ç} = \text{Çift}.
Her iki durumda da çarpımın içinde en az bir çift sayı bulunduğu için sonuç daima çifttir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik-çiftlik analizinde, çarpımın tek olması için tüm çarpanların tek olması gerekir; çarpımın çift olması için en az bir çarpanın çift olması yeterlidir.

İpuçları

1
Denklemdeki 10a10a ifadesinin aa ne olursa olsun her zaman çift sayı olduğuna dikkat edin.
2
Teklik-çiftlik analizinde katsayıları sadeleştirerek a⋅b−c=Teka \cdot b - c = \text{Tek} bağıntısını elde edebilirsiniz.
3
a⋅ba \cdot b ifadesi ile cc sayısı zıt karakterlidir (Biri tek ise diğeri çifttir). Çarpımlarının ne olacağını düşünün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla kurulan, ancak 'Her zaman tektir' ifadesini soran soruları çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: Denklemi sağlayan basit değerler (örneğin a=1,b=4,c=1a=1, b=4, c=1 için 12+10−5=17≠202312+10-5=17 \neq 2023 gibi değil, pariteyi sağlayan değerler: a=1,b=1a=1, b=1 için abab tek →c\to c çift olmalı) vererek şıkları eleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 19Soru →
a,ba, b ve cc pozitif tam sayıları için,
5a+7b4=c \frac{5a + 7b}{4} = c
eşitliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a + b

Cevap

a ve b sayılarının pariteleri aynı olduğundan, a + b toplamı daima çift sayıdır.
Verilen eşitlikte içler dışlar çarpımı yapıldığında 5a+7b=4c5a + 7b = 4c elde edilir. Eşitliğin sağ tarafındaki 4c4c ifadesi daima çifttir. Dolayısıyla sol taraf olan 5a+7b5a + 7b toplamı da çift olmalıdır. İki sayının toplamının çift olabilmesi için sayıların ikisinin de tek veya ikisinin de çift olması gerekir (T+T=Ç veya Ç+Ç=Ç). 55 ve 77 katsayıları tek sayı olduğundan, 5a5a ve 7b7b'nin paritesi doğrudan aa ve bb'ye bağlıdır. Bu durumda aa ve bb ya ikisi birden tek ya da ikisi birden çifttir. Her iki durumda da a+ba + b toplamı daima çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği düzenle
5a + 7b = 4c
Kesirli ifadeden kurtulup doğrusal eşitlik elde etmek için içler dışlar çarpımı yapılır.
2
Eşitliğin sağ tarafının tek/çift durumunu incele
4c ifadesi, 4 çarpanından dolayı c ne olursa olsun daima çift sayıdır.
Çift bir sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı çifttir.
3
Eşitliğin sol tarafını analiz et
5a + 7b ifadesinin sonucu çift olmalıdır.
Eşitliğin bir tarafı çift ise diğer tarafı da çift olmalıdır.
4
a ve b sayılarının durumlarını belirle
5a ve 7b'nin toplamı çift ise, ya ikisi de tektir ya da ikisi de çifttir. Katsayılar (5 ve 7) tek olduğu için, bu durum doğrudan a ve b'nin kendilerinin aynı pariteye (ikisi de tek veya ikisi de çift) sahip olduğunu gösterir.
Tek + Tek = Çift ve Çift + Çift = Çift kuralı gereği.
5
Seçenekleri değerlendir
a ve b aynı türden (ikisi tek veya ikisi çift) olduğuna göre, a + b toplamı daima çifttir.
Tek ile Tek'in toplamı Çift, Çift ile Çift'in toplamı yine Çift eder.

Anahtar Kavram

İki sayının toplamının çift olabilmesi için, sayıların ikisinin de tek veya ikisinin de çift olması gerekir.
Soru 20Soru →
x,yx, y ve zz tam sayıları için,
x2⋅y−x=4z+3 x^2 \cdot y - x = 4z + 3
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3x+5y+73x + 5y + 7

Cevap

3x+5y+73x + 5y + 7 ifadesi kesinlikle çift sayıdır.
Verilen eşitlikte 4z+34z+3 daima tektir. Bu durumda x(xy−1)x(xy-1) çarpımı tek olmalıdır. İki sayının çarpımı tek ise her iki sayı da tek olmalıdır. Buradan xx sayısının tek olduğu kesinleşir. İkinci çarpan olan (xy−1)(xy-1) ifadesinin tek olması için xyxy çarpımının çift olması gerekir. xx tek olduğuna göre, çarpımın çift olması için yy kesinlikle çift olmalıdır. zz sayısı ise denklemde sadece katsayı ile bulunduğu için tek veya çift olabilir (belirsizdir). Seçenekler incelendiğinde; 3x3x (Tek) + 5y5y (Çift) + 77 (Tek) işlemi T+C\c+T=C\ciftT + Ç + T = Çift sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 4z+34z + 3 ifadesinin tek/çift durumunu analiz et.
4z4z her zaman çifttir, bu nedenle 4z+34z + 3 her zaman tek sayıdır.
Bir tam sayının 4 ile çarpımı çifttir, buna tek sayı eklenirse sonuç tek olur.
2
Sol taraftaki x2⋅y−xx^2 \cdot y - x ifadesini çarpanlarına ayırarak analiz et.
x(x⋅y−1)=Tekx(x \cdot y - 1) = \text{Tek} sonucuna ulaşılır.
Çarpım sonucunun tek olması için çarpanların her ikisinin de tek olması gerekir.
3
xx ve yy tam sayılarının tek/çift durumlarını belirle.
1. çarpan xx tek olmalıdır. 2. çarpan (x⋅y−1)(x \cdot y - 1) tek ise, x⋅yx \cdot y çift olmalıdır. xx tek olduğuna göre, yy çift olmak zorundadır.
Tek sayı ile çift sayının çarpımı çifttir (T⋅C\c=C\cT \cdot Ç = Ç). zz ise denklemde serbest değişkendir, tek veya çift olabilir.
4
Seçenekleri x=Tekx=\text{Tek}, y=C¸ifty=\text{Çift} ve z=Belirsizz=\text{Belirsiz} durumuna göre değerlendir.
3x+5y+73x + 5y + 7 seçeneği: 3(T)+5(C\c)+T=T+C\c+T=C¸ift3(T) + 5(Ç) + T = T + Ç + T = \text{Çift}.
İki tek sayının toplamı çifttir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda çarpma ve toplama işlemlerinin tek/çift sayı özelliklerinin (parite) analizi.

İpuçları

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 4z+34z + 3 ifadesinin tek mi yoksa çift mi olduğunu belirleyerek başlayın.
2
Sağ taraf tek sayı olduğuna göre, sol taraftaki x2⋅y−xx^2 \cdot y - x ifadesini xx parantezine alarak çarpanların tek/çift durumunu inceleyin.
3
x(xy−1)x(xy-1) çarpımı tek ise xx tektir ve xy−1xy-1 tektir. Buradan yy'nin paritesini bulup seçeneklerde yerine koyun. zz'nin belirsiz olduğunu unutmayın.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözme: z=0z=0 için denklem x2y−x=3x^2y - x = 3 olur. Bu eşitliği sağlayan x=1,y=4x=1, y=4 (veya x=−1,y=4x=-1, y=4) değerlerini seçeneklerde deneyerek eleme yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Sayfa 1 / 3Sonraki
Tek ve Çift Sayılar Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür | Examkin