Temel Kavramlar ve Sayılar Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Soru 1Soru →

n

pozitif bir tam sayı olmak üzere,

\frac{n! + (n-1)!}{(n-1)! + (n-2)!} = \frac{35}{6}

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre,

(n-2)!

ifadesinin değeri kaçtır?

6

24

120

720

5040

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Eşitliği sağlayan n değeri 6 olduğundan, (n-2)! = 24 sonucuna ulaşılır.

Verilen eşitlikte pay (n-1)! parantezine, payda ise (n-2)! parantezine alındığında ifade

n - 1/n = 35/6

haline gelir. Buradan n=6 bulunur. İstenen değer (6-2)! = 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyel parantezine alarak sadeleştirme işlemi başlatılır.

Pay: (n-1)!(n + 1), Payda: (n-2)!(n-1 + 1) = (n-2)!n

Faktöriyel işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için terimlerin çarpım durumuna getirilmesi gerekir.

2

Elde edilen kesirli ifadeyi düzenleyerek denklemi n cinsinden yazılır.

\frac{(n-1)!(n+1)}{(n-2)!n} = (n-1)\frac{n+1}{n} = \frac{n^2-1}{n} = n - \frac{1}{n}

(n-1)! / (n-2)! ifadesi (n-1)'e eşittir.

3

Denklem çözülerek n değeri bulunur.

n - \frac{1}{n} = \frac{35}{6} \Rightarrow n - \frac{1}{n} = 6 - \frac{1}{6} \Rightarrow n=6

Denklemin yapısı incelendiğinde n=6 olduğu görülür (veya 6n² - 35n - 6 = 0 denklemi çözülür).

4

Bulunan n değeri kullanılarak istenen (n-2)! değeri hesaplanır.

(6-2)! = 4! = 24

Soruda n değil, (n-2)! sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Sadeleştirme ve İkinci Dereceden Denkleme Dönüştürme

İpuçları

1

Pay kısmını

(n-1)!

, payda kısmını

(n-2)!

parantezine alarak sadeleştirmeyi deneyin.

2

İfade sadeleştiğinde

\frac{n^2-1}{n}

veya

n - \frac{1}{n}

biçiminde bir denklem elde edeceksiniz.

3

n - \frac{1}{n} = 6 - \frac{1}{6}

benzerliğini kullanarak n değerini doğrudan görebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

n! = A * B! formatındaki sadeleştirme sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

İkinci dereceden denklem çözümü yerine şıklardan gitmek mümkün olmasa da, n için tam sayı değerleri (4, 5, 6...) denklemde yerine koyularak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2Soru →

a, b

ve

c

pozitif tam sayılar olmak üzere,

a \cdot b - 3a = 4c + 5

eşitliği veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

a

çift sayıdır

b

tek sayıdır

c

tek sayıdır

a + b

toplamı çift sayıdır

b^a + a

ifadesi tek sayıdır

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $b^a + a$ ifadesi tek sayıdır

Cevap

b^a + a

ifadesi tek sayıdır seçeneği her zaman doğrudur.

Verilen eşitlikte sağ taraf (

4c+5

) daima tek sayıdır. Bu durumda sol taraftaki çarpımın (

a(b-3)

) sonucu da tek olmalıdır. Çarpımın tek olması için çarpanların her ikisi de tek olmalıdır. Yani

a

tek sayıdır ve

b-3

tek sayıdır.

b-3

tek ise

b

çift sayıdır. Seçeneklerdeki

b^a + a

ifadesinde; çift sayının (

b

) pozitif tam sayı kuvveti (

a

) çifttir. Çift sayı ile tek sayının (

a

) toplamı daima tek sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenle.

a(b - 3) = 4c + 5

Çarpım durumundaki ifadelerin teklik-çiftlik durumunu analiz etmek daha kolaydır.

2

Eşitliğin sağ tarafının (

4c + 5

) teklik-çiftlik durumunu belirle.

4c

daima çifttir, 5 tektir. Çift + Tek = Tek olduğundan sonuç TEK sayıdır.

Bir tam sayının 4 ile çarpımı her zaman çifttir. Çift sayı ile tek sayının toplamı her zaman tektir.

3

Sol tarafın çarpanlarını analiz et.

a(b - 3) = \text{Tek}

olduğuna göre, her iki çarpan da (

a

ve

b-3

) TEK sayı olmalıdır.

İki tam sayının çarpımı tek ise, sayıların ikisi de mutlaka tek sayıdır.

4

a

ve

b

sayılarının durumunu kesinleştir.

a

= Tek sayıdır.

b - 3

= Tek ise,

b

= Çift sayıdır.

Tek sayı ile tek sayının toplamı çifttir (

T + T = Ç

), bu yüzden

b

çift olmalıdır.

5

Doğru seçeneği (

b^a + a

) incele.

b

(Çift) sayısının

a

. kuvveti Çifttir.

a

(Tek) ile toplanınca sonuç Tek olur.

Çift + Tek = Tek kuralı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda dört işlem ve parite analizi.

İpuçları

1

İfadeyi

a

parantezine alarak çarpanlarına ayırın ve eşitliğin sağ tarafının tek mi çift mi olduğunu inceleyin.

2

4c + 5

ifadesi her zaman tek sayıdır. Bu durumda

a \cdot (b - 3)

çarpımı da tek sayı olmalıdır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3Soru →

\frac{(n+1)! + n!}{(n+1)! - n!} = \frac{4}{3}

eşitliğini sağlayan

n

doğal sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

3

4

6

8

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitliği sağlayan n değeri 6'dır.

Verilen eşitlikte faktöriyel tanımı gereği

(n+1)! = (n+1) \cdot n!

dönüşümü yapılır. İfade

\frac{n!(n+1) + n!}{n!(n+1) - n!}

haline gelir. Pay ve payda

n!

parantezine alındığında

\frac{n!(n+2)}{n!(n)}

elde edilir.

n!

ler sadeleşince

\frac{n+2}{n} = \frac{4}{3}

denklemi kalır. İçler dışlar çarpımı ile

3n+6=4n

ve buradan

n=6

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyel olan n! cinsinden ifade etmek için (n+1)! ifadesini (n+1).n! şeklinde aç.

\frac{(n+1) \cdot n! + n!}{(n+1) \cdot n! - n!} = \frac{4}{3}

Faktöriyelli ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için terimlerin ortak çarpan parantezine alınması gerekir.

2

Payı ve paydayı n! ortak parantezine al.

\frac{n!(n + 1 + 1)}{n!(n + 1 - 1)} = \frac{4}{3}

Ortak çarpan olan n! ifadelerini sadeleştirmek için gruplandırma yapılır.

3

n! ifadelerini sadeleştir ve parantez içindeki işlemleri yap.

\frac{n+2}{n} = \frac{4}{3}

Kesrin pay ve paydasındaki aynı çarpanlar birbirini götürür.

4

Elde edilen basit denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yap.

3(n+2) = 4n \implies 3n + 6 = 4n

Bilinmeyen n değerini bulmak için doğrusal denklem çözülür.

5

n değerini yalnız bırak.

6 = 4n - 3n \implies n = 6

Denklemin çözümü tamamlanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Sadeleştirme

İpuçları

1

Faktöriyel içeren kesirli ifadelerde, büyük olan faktöriyeli küçük olan faktöriyele benzeterek açmalısınız.

2

(n+1)!

ifadesini

(n+1) \cdot n!

şeklinde yazıp, hem payı hem de paydayı

n!

ortak parantezine almayı deneyin.

3

İfadeyi sadeleştirdiğinizde

\frac{n+2}{n} = \frac{4}{3}

denklemini elde edeceksiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, iki bilinmeyenli faktöriyel oranları (x!/y! = 30 gibi) üzerine çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Şıklardaki değerleri n yerine koyarak deneme yapılabilir. Örneğin n=6 için: (7!+6!)/(7!-6!) = 6!(7+1)/6!(7-1) = 8/6 = 4/3 eşitliği sağlar.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Birbirinden farklı tam sayılardan oluşan iki veri grubu için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* I. Grup: Ardışık $5$ çift tam sayıdan oluşmaktadır.
* II. Grup: Ardışık $3$ tek tam sayıdan oluşmaktadır.
* I. gruptaki sayıların toplamı, II. gruptaki sayıların toplamının $2$ katına eşittir.
* I. grubun en büyük elemanı, II. grubun en küçük elemanından $13$ fazladır.

Buna göre, her iki gruptaki tüm sayılar bir araya getirildiğinde elde edilen en büyük sayı ile en küçük sayının toplamı kaçtır?

75

77

79

81

83

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 79

Cevap

Her iki grubun birleşimindeki en büyük ve en küçük sayıların toplamı 79'dur.

Verilen iki koşul (toplamların oranı ve uç terimlerin farkı) kullanılarak kurulan denklem sisteminde

y=16

ve

x=19

bulunur. Bu değerler yerine yazıldığında en küçük sayı 33, en büyük sayı 46 olur ve toplamları 79'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımla

I. Grup (Çift):

2x, 2x+2, 2x+4, 2x+6, 2x+8

II. Grup (Tek):

2y+1, 2y+3, 2y+5

Ardışık çift sayılar 2'şer, ardışık tek sayılar 2'şer artar.

2

Grupların toplamlarını hesapla ve birinci denklemi kur

I. Grup Toplamı

= 10x + 20

II. Grup Toplamı

= 6y + 9

Denklem:

10x + 20 = 2(6y + 9)

Soruda I. grup toplamının, II. grup toplamının 2 katı olduğu verilmiştir.

3

İkinci denklemi kur (En büyük/En küçük ilişkisi)

I. grubun en büyüğü

(2x+8)

, II. grubun en küçüğünden

(2y+1)

13 fazladır.
Denklem:

(2x+8) - (2y+1) = 13 → 2x - 2y = 6 → x - y = 3 → x = y + 3

Verilen fark ilişkisini matematiksel ifadeye dökmek için.

4

Denklem sistemini çöz

10x + 20 = 12y + 18

x = y+3

yerine yazılırsa:

10(y+3) + 20 = 12y + 18

10y + 30 + 20 = 12y + 18

50 - 18 = 2y → 32 = 2y → y = 16

. Buradan

x = 19

bulunur.

İki bilinmeyenli denklemi çözerek sayıların asıl değerlerine ulaşmak.

5

En büyük ve en küçük sayıları bulup topla

I. Grup:

38, 40, 42, 44, 46

II. Grup:

33, 35, 37

Tüm sayıların En Küçüğü = 33 (II. gruptan)
Tüm sayıların En Büyüğü = 46 (I. gruptan)
Toplam:

33 + 46 = 79

Sonuç için istenen değerleri belirlemek.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terim kurgusu ve iki bilinmeyenli denklem çözümü.

İpuçları

1

Ardışık çift sayıları

2x, 2x+2, ...

ve ardışık tek sayıları

2y+1, 2y+3, ...

şeklinde değişkenlerle ifade etmelisin.

2

I. grubun toplamını

x

cinsinden, II. grubun toplamını

y

cinsinden bulup, verilen '2 katı' ilişkisiyle bir denklem kur.

Daha Fazla Pratik

Ardışık sayıların toplam formülleriyle ilgili, terim sayısı arttırılmış (örn. 20 terim) benzer sorular çözülmesi önerilir.

Alternatif Yöntem

Ortanca terim formülü kullanılabilir: I. grubun ortancası

2x+4

, toplamı

5(2x+4)

. II. grubun ortancası

2y+3

, toplamı

3(2y+3)

. Bu yöntem toplam formülünü sadeleştirir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 5Soru →

$x$ ve $y$ sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere, $x + y$ toplamının ve $x \cdot y$ çarpımının birer rasyonel sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

x ve y rasyonel sayılardır.

x - y farkı rasyonel bir sayıdır.

x² + y² toplamı rasyonel bir sayıdır.

x irrasyonel bir sayı ise y rasyonel bir sayıdır.

x³ ifadesi rasyonel bir sayıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x² + y² toplamı rasyonel bir sayıdır.

Cevap

x² + y² ifadesinin rasyonel olduğu kesindir.

Verilen ifadenin doğruluğunu tam kare özdeşliği kullanarak ispatlayabiliriz. Matematikte

(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy

eşitliği vardır. Bu eşitlikten

x^2 + y^2

ifadesini çekersek:

x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy

elde ederiz. Soruda

x+y

ifadesinin rasyonel olduğu verilmiştir; rasyonel bir sayının karesi de rasyoneldir. Ayrıca

x \cdot y

ifadesinin rasyonel olduğu verilmiştir; bir rasyonel sayının 2 ile çarpımı da rasyoneldir. Rasyonel sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı olduğundan, iki rasyonel sayının farkı yine rasyoneldir. Dolayısıyla

x^2 + y^2

daima rasyoneldir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen bilgileri analiz et

x + y ∈ ℚ (Rasyonel) ve x·y ∈ ℚ (Rasyonel) olarak verilmiştir.

Soruda verilen öncüller matematiksel notasyona dökülür.

2

Örnek durumları test et

Durum 1: x=3, y=2 ise Toplam=5, Çarpım=6 (Her ikisi Rasyonel). Durum 2: x=√3, y=-√3 ise Toplam=0, Çarpım=-3 (Her ikisi Rasyonel).

Genelleme yapmadan önce hem rasyonel hem de irrasyonel (eşlenik) durumların şartları sağladığı görülmelidir.

3

Seçenekleri bu durumlara göre ele

Durum 2'de x ve y irrasyoneldir, bu yüzden 'x ve y rasyoneldir' seçeneği elenir. x - y = √3 - (-√3) = 2√3 (İrrasyonel), bu yüzden farkın rasyonel olduğu seçeneği elenir.

Aksi örnek (counter-example) yöntemi ile yanlış seçenekler elenir.

4

Doğru seçeneği cebirsel olarak kanıtla

x² + y² = (x + y)² - 2xy özdeşliği kullanılır. (x+y) rasyonel olduğundan karesi rasyoneldir. xy rasyonel olduğundan 2 katı rasyoneldir. İki rasyonel sayının farkı rasyoneldir.

Cebirsel ispat, sonucun seçilen sayılardan bağımsız olarak 'daima' doğru olduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Kapalılık Özellikleri

İpuçları

1

Sayıların kendisini bulmaya çalışmak yerine, verilen ifadelerden (toplam ve çarpım) istenen ifadeye (seçenekler) nasıl ulaşılabileceğini düşünün.

2

x ve y için sadece tamsayı veya rasyonel sayı örnekleri değil, köklü (irrasyonel) sayı örnekleri de deneyin. Özellikle birbirinin zıt işaretlisi olan köklü sayıları (eşlenik) düşünün.

3

(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy

tam kare özdeşliğini kullanarak

x^2 + y^2

ifadesini, bildiğimiz (x+y) ve (x·y) cinsinden yazmayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi: x = √3 ve y = -√3 değerlerini verin. x+y=0 (Rasyonel), x.y=-3 (Rasyonel). Şartlar sağlandı. Şimdi seçenekleri test edin: A şıkkı (İkisi de irrasyonel) elenir. B şıkkı (Fark 2√3) elenir. E şıkkı (x³=3√3) elenir. Geriye kalan seçenekler üzerinde yoğunlaşın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 6Soru →

$(2x + 1)$ ve $(3y - 4)$ aralarında asal sayılardır.

\frac{2x + 1}{3y - 4} = \frac{54}{84}

olduğuna göre, $x + y$ toplamı kaçtır?

8

9

10

11

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Verilen eşitlikteki kesir en sade haline getirildiğinde

x=4

ve

y=6

bulunur, toplamları 10'dur.

Soruda

(2x + 1)

ve

(3y - 4)

ifadelerinin aralarında asal olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, eşitliğin sağ tarafındaki

\frac{54}{84}

kesri de aralarında asal olacak şekilde sadeleştirilmelidir. Kesir en sade hali olan

\frac{9}{14}

'e getirildikten sonra paylar ve paydalar karşılıklı eşitlenerek

x=4

ve

y=6

değerleri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen kesri en sade haline getir.

\frac{54}{84}

kesrini sadeleştirmek için her iki tarafı 6'ya bölelim:

\frac{54 \div 6}{84 \div 6} = \frac{9}{14}

Soruda ifadelerin 'aralarında asal' olduğu belirtildiği için, eşitliğin karşı tarafındaki kesrin pay ve paydası da aralarında asal olmalıdır.

2

Pay ve paydaları eşitleyerek denklemleri kur.

2x + 1 = 9

ve

3y - 4 = 14

İki kesir birbirine eşitse ve her iki kesrin pay ile paydası kendi aralarında asalsa, paylar paylara, paydalar paydalara eşittir.

3

x değerini bul.

2x = 9 - 1 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4

Birinci dereceden denklem çözümü.

4

y değerini bul.

3y = 14 + 4 \Rightarrow 3y = 18 \Rightarrow y = 6

Birinci dereceden denklem çözümü.

5

İstenen toplamı hesapla.

x + y = 4 + 6 = 10

Sonuç adımı.

Anahtar Kavram

Aralarında Asal Sayılar ve Oran Orantı

İpuçları

1

Eşitliğin sağ tarafındaki kesri (54/84) en sade haline getirmeyi deneyin.

2

Sol taraftaki ifadeler aralarında asal olduğu için, sağ taraftaki kesrin pay ve paydası da aralarında asal olmalıdır.

3

Kesri 9/14 olarak sadeleştirdikten sonra,

2x+1=9

ve

3y-4=14

eşitliklerini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, aralarında asal iki sayının EKOK'unun çarpımlarına eşit olduğu kuralını kullanan sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

İçler dışlar çarpımı yaparak

84(2x+1) = 54(3y-4)

eşitliğine ulaşılabilir, ancak bu yöntem sayılar büyüdüğü için daha zordur. Sadeleştirme her zaman ilk adım olmalıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 7Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $x$ ve $y$ sayıları ile ilgili bazı önermeler aşağıda verilmiştir. Buna göre, bu önermelerden hangisi her zaman doğrudur?

x

ve

y

irrasyonel sayı ise,

x + y

toplamı da irrasyonel bir sayıdır

x

irrasyonel ve

y

rasyonel sayı ise,

x \cdot y

çarpımı irrasyonel bir sayıdır

x^2

rasyonel bir sayı ise,

x

de rasyonel bir sayıdır

x^3

irrasyonel bir sayı ise,

x

de irrasyonel bir sayıdır

x

ve

y

irrasyonel sayı ise,

\frac{x}{y}

oranı da irrasyonel bir sayıdır

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x^3$ irrasyonel bir sayı ise, $x$ de irrasyonel bir sayıdır

Cevap

x^3

irrasyonel bir sayı ise,

x

de irrasyonel bir sayıdır.

Doğru seçenek, 'olmayana ergi' (karşıt ters) yöntemiyle ispatlanabilir. Bir

x

sayısı rasyonel ise (

x \in \mathbb{Q}

), rasyonel sayıların çarpma işlemine göre kapalılık özelliği gereği

x^3 = x \cdot x \cdot x

sayısı da kesinlikle rasyoneldir. Bu önermenin mantıksal karşıtı da doğrudur: Eğer

x^3

rasyonel değilse (yani irrasyonelse), o halde

x

de rasyonel olamaz (irrasyoneldir). Bu ifade hiçbir istisna olmadan her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Seçeneklerin doğruluğunu test etmek için karşıt örnek (aksine örnek) yöntemini kullan.

Her bir ifadenin yanlış olduğu en az bir durum bulunmaya çalışılır.

Bir önermenin 'her zaman' doğru olması için hiçbir istisnasının bulunmaması gerekir.

2

İrrasyonel sayıların toplamını ve bölümünü test et.

x = \sqrt{2}

ve

y = -\sqrt{2}

için

x+y=0

(Rasyonel).

x = \sqrt{3}

ve

y = \sqrt{3}

için

x/y=1

(Rasyonel).

İrrasyonel sayılar kümesi toplama ve bölme işlemlerine göre kapalı değildir.

3

İrrasyonel ve rasyonel sayıların çarpımını test et.

x = \sqrt{5}

(İrrasyonel) ve

y = 0

(Rasyonel) alınırsa,

x \cdot y = 0

(Rasyonel).

Sıfır yutan eleman olduğu için çarpım sonucunu rasyonel yapabilir.

4

Kuvvet alma işlemlerini mantıksal olarak analiz et.

x^2 = 2

(Rasyonel) iken

x = \sqrt{2}

(İrrasyonel) olabilir. Ancak

x^3

irrasyonel ise

x

rasyonel OLAMAZ.

Rasyonel sayıların kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır. Eğer

x

rasyonel olsaydı,

x \cdot x \cdot x = x^3

de kesinlikle rasyonel olurdu.

x^3

irrasyonel olduğuna göre,

x

rasyonel olamaz.

Anahtar Kavram

Sayı Kümelerinin Kapalılık Özellikleri ve Mantıksal Çıkarım

İpuçları

1

Seçeneklerin her biri için, verilen kuralı bozan bir 'karşıt örnek' bulmaya çalışın. Örneğin, rasyonel sayı olarak 0'ı veya irrasyonel sayı olarak

\sqrt{2}

ve

-\sqrt{2}

gibi değerleri deneyin.

2

Bir sayının rasyonel olması, tam sayıların oranı şeklinde yazılabilmesi demektir. Rasyonel bir sayının küpü her zaman rasyonel midir? Bunu düşünerek doğru seçeneğe ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Rasyonel katsayılı polinomlarda irrasyonel köklerin eşlenik olması durumu incelenebilir.

Alternatif Yöntem

Mantıksal 'karşıt ters' (contrapositive) kuralı:

p \Rightarrow q

önermesi,

\neg q \Rightarrow \neg p

önermesine denktir. 'x Rasyonel

\Rightarrow

x^3

Rasyonel' ifadesi doğru olduğu için, bunun tersi olan '

x^3

İrrasyonel

\Rightarrow

x İrrasyonel' ifadesi de doğrudur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 8Soru →

$A, B$ ve $C$ sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, üç basamaklı $ABC$ , $BCA$ ve $CAB$ doğal sayıları için

\frac{ABC + BCA + CAB}{37}

ifadesi bir tam sayının karesine eşittir. Buna göre, $A \cdot B \cdot C$ çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

36

48

54

60

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Rakamlar çarpımının alabileceği en büyük değer 60'tır.

İşlem yapıldığında ifadenin

3(A+B+C)

olduğu görülür. Bu sonucun tam kare olması için rakamlar toplamının

12

olması gerekir. Toplamı

12

olan, birbirinden farklı ve çarpımı en büyük üç rakam

3, 4, 5

'tir. Çarpımları

60

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen üç basamaklı sayıları çözümle ve topla.

ABC + BCA + CAB = (100A+10B+C) + (100B+10C+A) + (100C+10A+B) = 111(A+B+C)

Basamak analizi problemlerinde sayıların rakam değerlerine göre çözümlenmesi temel adımdır.

2

Elde edilen toplamı denklemde yerine koy ve sadeleştir.

\frac{111(A+B+C)}{37} = 3(A+B+C)

111 sayısı 37'ye bölündüğünde 3 sonucunu verir.

3

İfadenin bir tam kare olması koşulunu incele.

3(A+B+C) = k^2

ise

(A+B+C) = 3 \cdot m^2

olmalıdır. Olası

A+B+C

değerleri:

3, 12, 27, \dots

Bir sayının tam kare olabilmesi için asal çarpanlarının üsleri çift olmalıdır.

4

Rakamların toplamı için sınırları ve geçerli değeri belirle.

En küçük toplam

1+2+3=6

, en büyük

9+8+7=24

. Bu aralıkta

A+B+C=12

tek çözümdür.

Rakamlar sıfırdan ve birbirinden farklı olduğu için toplam belli bir aralıkta olmalıdır.

5

Toplamı 12 olan farklı rakamlar için çarpımı maksimize et.

Sayilar birbirine en yakın seçilmelidir:

\{3, 4, 5\}

. Çarpım:

3 \times 4 \times 5 = 60

.

Toplamı sabit olan sayıların çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine mümkün olduğunca yakın seçilmelidir.

Anahtar Kavram

Basamak çözümlemesi ve sayıların tam kare olma özellikleri.

İpuçları

1

Sayıları

100A + 10B + C

şeklinde çözümleyerek toplayın.

2

Toplam

111(A+B+C)

olacaktır. Bunu 37'ye böldüğünüzde kalan ifade

3(A+B+C)

olur.

3

3(A+B+C)

ifadesinin tam kare olması için

A+B+C

kaç olmalıdır? Rakamların farklı ve sıfırdan büyük olduğunu unutmayın.

Alternatif Yöntem

Değer vererek deneme yöntemi: Rakamlar toplamı en az 6, en çok 24 olabilir. Bu aralıkta 3 ile çarpılınca tam kare veren tek sayı 12'dir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 9Soru →

a

,

b

ve

c

birer tam sayı olmak üzere,

a \cdot b - 4 = 8c + 1

eşitliği veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

a + b

toplamı çift sayıdır.

a \cdot c

çarpımı tek sayıdır.

a + c

toplamı tek sayıdır.

b - c

farkı çift sayıdır.

a \cdot b \cdot c

çarpımı tek sayıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a + b$ toplamı çift sayıdır.

Cevap

İki tek sayının toplamı daima çift sayı olduğu için

a + b

toplamı çift sayıdır.

Verilen denklem düzenlendiğinde

a \cdot b = 8c + 5

elde edilir.

8c

her zaman çift,

5

ise her zaman tek olduğu için bu toplamın sonucu olan

a \cdot b

çarpımı tektir. İki tam sayının çarpımının tek olması için çarpanların her ikisinin de (

a

ve

b

) tek olması gerekir. İki tek sayının toplamı ise (

a+b

) her zaman çift sonuç vereceğinden bu ifade daima doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin sağ tarafındaki

8c + 1

ifadesinin tekliğini/çiftliğini inceleyelim.

8c

ifadesi,

c

bir tam sayı olduğu için daima çifttir. Bir çift sayı ile bir tek sayının (

1

) toplamı daima tektir. Yani

8c + 1 = \text{Tek}

olur.

Çift bir katsayı ile çarpılan her tam sayı çift sonuç verir ve Çift + Tek = Tek kuralı geçerlidir.

2

Eşitliği

a \cdot b

çarpımını yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim.

a \cdot b = 8c + 1 + 4 \Rightarrow a \cdot b = 8c + 5

.

Eşitliğin her iki tarafına

4

ekleyerek çarpımın sonucunu net bir şekilde görebiliriz.

3

Yeni eşitlik üzerinden

a \cdot b

çarpımının sonucunu belirleyelim.

8c

çifttir,

5

tektir. Çift + Tek = Tek olduğundan

a \cdot b = \text{Tek}

olur.

Toplamdaki terimlerin paritesine göre sonucun paritesi belirlenir.

4

a

ve

b

sayılarının tekliğini/çiftliğini analiz edelim.

Çarpımları tek olan iki tam sayının her biri tek olmak zorundadır. Dolayısıyla

a

tektir ve

b

tektir.

Tek

\cdot

Tek = Tek kuralı gereği, çarpanlardan biri çift olsaydı sonuç da çift olurdu.

5

Seçenekleri değerlendirelim.

Tek + Tek = Çift kuralına göre

a + b

toplamı daima çifttir.

c

sayısı hakkında bir bilgi edinilemediği için

c

içeren seçenekler elenir.

İki tek sayının toplamı her zaman çift bir tam sayı verir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların toplama ve çarpma özellikleri.

İpuçları

1

Eşitliğin bir tarafında sabit bir tek veya çift sayı elde etmeye çalışın.

2

8c

ifadesinin

c

tam sayısının değerinden bağımsız olarak her zaman çift olduğunu unutmayın.

3

a \cdot b = \text{Tek}

sonucuna ulaştığınızda,

a

ve

b

hakkında ne söyleyebileceğinizi düşünün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda katsayıların rasyonel olması durumunda (örneğin

a/2

) çözümün nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemde

c

yerine hem

0

hem de

1

yazarak (özel değer verme yöntemi)

a

ve

b

üzerindeki kısıtlamaları kontrol edebilirsiniz. Her iki durumda da

a \cdot b

çarpımının tek çıkması gerektiğini göreceksiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

Üç basamaklı $ABC$ doğal sayısı ile iki basamaklı $BC$ doğal sayısının toplamı 546'dır. Buna göre, $A+B+C$ toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

10

11

12

14

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Rakamlar toplamının alabileceği en büyük değer 14'tür.

Verilen ifade çözümlenip sadeleştirildiğinde

50A + 10B + C = 273

denklemi elde edilir. Bu denklemde

A

için 4 ve 5 değerleri verilebilir.

A=4

verildiğinde

10B+C=73

olur ki buradan

B=7, C=3

gelir ve toplam 14 olur.

A=5

verildiğinde ise toplam 10 olur. En büyük değer 14 olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1

Sayıları basamak değerlerine göre çözümleyelim.

ABC = 100A + 10B + C

ve

BC = 10B + C

şeklinde yazılır.

Sayı basamakları arasındaki matematiksel ilişkiyi kurmak için çözümleme yöntemi kullanılır.

2

Verilen toplamı denklem haline getirelim ve sadeleştirelim.

(100A + 10B + C) + (10B + C) = 546 \Rightarrow 100A + 20B + 2C = 546

. Her iki tarafı 2'ye bölersek

50A + 10B + C = 273

elde edilir.

Denklemi en sade formuna getirerek rakam değerlerini daha kolay belirlemek için.

3

A

rakamı için olası değerleri analiz edelim.

10B+C

ifadesi en fazla 99 olabilir (

B=9, C=9

). Bu durumda

50A

en az

273 - 99 = 174

olmalıdır (

A \geq 4

). Ayrıca

50A < 273

olacağı için

A \leq 5

olmalıdır.

A

rakamının sınırlarını belirleyerek çözüm kümesini daraltmak için.

4

A=4

ve

A=5

durumlarını inceleyerek rakamlar toplamını bulalım.

Durum 1:

A=4 \Rightarrow 200 + 10B + C = 273 \Rightarrow 10B + C = 73 \Rightarrow B=7, C=3

. Toplam:

4+7+3=14

. Durum 2:

A=5 \Rightarrow 250 + 10B + C = 273 \Rightarrow 10B + C = 23 \Rightarrow B=2, C=3

. Toplam:

5+2+3=10

.

Tüm olası rakam kombinasyonlarını değerlendirip istenen en büyük değeri seçmek için.

Anahtar Kavram

Sayı Basamakları ve Çözümleme

İpuçları

1

ABC

sayısını

100A + 10B + C

olarak açmayı deneyin.

2

Elde ettiğiniz

100A + 20B + 2C = 546

denklemini sadeleştirerek

A

için sınırları belirleyin.

3

A=4

olduğunda

B

ve

C

değerlerinin ne olacağını hesaplayın ve diğer ihtimalle karşılaştırın.

Daha Fazla Pratik

İki basamaklı sayıların yer değiştirmesiyle oluşan fark sorularını çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

x

ve

y

birer tam sayı olmak üzere,

(x^3 - x + 1) \cdot (y + 5)

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

x + y

3y + 11

x · y + x

y · (x² + 4)

2x - y + 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: y · (x² + 4)

Cevap

y · (x² + 4) ifadesi daima çift sayıdır.

Verilen çarpımın tek sayı olması için çarpanların her ikisinin de tek sayı olması gerekir. İlk çarpan olan

(x^3 - x + 1)

ifadesinde

x^3 - x = (x-1)x(x+1)

ardışık üç sayının çarpımı olduğu için daima çifttir. Dolayısıyla

(x^3 - x) + 1

daima tek sayıdır. Bu durumda sonucun tek olması için ikinci çarpan olan

(y + 5)

ifadesinin de tek sayı olması gerekir.

y + 5

tek ise

y

çift sayı olmalıdır. Seçenekler incelendiğinde, çift bir sayı olan

y

ile çarpılan herhangi bir tam sayı ifadesi

(y \cdot (x^2 + 4))

daima çift sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk çarpanın yapısını analiz et.

x³ - x = x(x² - 1) = x(x - 1)(x + 1) ifadesi ardışık üç tam sayının çarpımıdır ve daima çifttir. Bu nedenle (x³ - x + 1) ifadesi (Çift + 1) = Tek sayıdır.

Çarpımın sonucunun tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.

2

İkinci çarpanın durumunu belirle.

(y + 5) ifadesi tek sayı olmalıdır.

Bir toplamın tek olması için toplananlardan biri çift, diğeri tek olmalıdır. 5 tek sayı olduğuna göre, y çift sayı olmalıdır.

3

Bulunan bilgileri özetle.

x sayısı tek veya çift olabilir (belirsiz), ancak y sayısı kesinlikle çifttir.

Seçenekleri bu bilgiye göre değerlendirmek gerekir.

4

Seçenekleri y'nin çift olduğu bilgisiyle test et.

y · (x² + 4) seçeneğinde, y çift sayı olduğundan, yanındaki tam sayı çarpanı ne olursa olsun sonuç daima çift sayıdır.

Çift bir tam sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çifttir.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayıların Çarpımı ve Tek-Çift Sayı Özellikleri

İpuçları

1

Çarpma işleminin sonucunun tek sayı olabilmesi için çarpanların her birinin ne olması gerektiğini düşünün.

2

x^3 - x

ifadesini çarpanlarına ayırarak ardışık sayıların çarpımı kuralını hatırlayın.

3

x(x-1)(x+1)

çarpımı daima çifttir. Bu, ilk parantezin

x

'ten bağımsız olarak tek sayı olduğunu gösterir. Sadece

y

'nin durumuna odaklanın.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözme: x = 2 verelim. (8-2+1)(y+5) = 7(y+5) olur. Sonucun tek olması için y+5 tek olmalı, yani y çift (örneğin 0) olmalıdır. x=2 ve y=0 değerlerini şıklarda deneyerek eleme yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 12Soru →

n

pozitif bir tam sayı olmak üzere,

\frac{n! + (n-1)!}{(n-1)!} = n^2 - 19

eşitliğini sağlayan

n

değeri kaçtır?

4

5

6

7

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitliği sağlayan n değeri 5'tir.

Verilen eşitlikte sol taraf faktöriyel parantezine alınarak sadeleştirildiğinde

n+1

ifadesi elde edilir. Bu ifade

n^2 - 19

ifadesine eşitlendiğinde

n^2 - n - 20 = 0

denklemi bulunur. Bu denklemin pozitif tam sayı kökü 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin sol tarafındaki kesirli ifadeyi sadeleştirin.

\frac{n! + (n-1)!}{(n-1)!} = \frac{n \cdot (n-1)! + (n-1)!}{(n-1)!}

Faktöriyel tanımı gereği

n! = n \cdot (n-1)!

şeklinde yazılabilir.

2

Pay kısmını

(n-1)!

ortak parantezine alıp sadeleştirme yapın.

\frac{(n-1)! \cdot (n + 1)}{(n-1)!} = n + 1

Pay ve paydadaki

(n-1)!

çarpanları birbirini götürür.

3

Bulunan sadeleşmiş ifadeyi denklemde yerine yazıp ikinci dereceden denklemi kurun.

n + 1 = n^2 - 19 \Rightarrow n^2 - n - 20 = 0

Eşitliğin her iki tarafı düzenlenerek tüm terimler bir tarafa toplanır.

4

Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözün.

(n - 5)(n + 4) = 0

Çarpımları -20, toplamları -1 olan sayılar -5 ve +4'tür.

5

Uygun n değerini belirleyin.

n = 5

veya

n = -4

. Ancak

n

pozitif tam sayı olduğu için sonuç

5

'tir.

Negatif sayıların faktöriyel tanımı doğal sayılar kümesinde geçerli değildir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren cebirsel ifadelerin sadeleştirilmesi ve ikinci dereceden denkleme dönüştürülmesi.

Soru 13Soru →

$a, b$ ve $c$ tam sayıları için

* $a \cdot b + c$ ifadesinin bir çift sayı,
* $a + b \cdot c$ ifadesinin bir tek sayı

olduğu bilinmektedir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?

a + b + c

b + c

a \cdot c

a \cdot b

a \cdot b \cdot c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a + b + c$

Cevap

a, b ve c sayılarının teklik-çiftlik durumları incelendiğinde a'nın tek, b ve c'nin çift olduğu bulunur. Bu durumda a + b + c toplamı daima tek sayıdır.

Verilen iki denklemi sağlayan tek durum a'nın tek, b'nin çift ve c'nin çift olmasıdır. b tek olduğunda iki denklem arasında bir çelişki (a+c ifadesinin hem tek hem çift olması gerektiği) oluşur. Dolayısıyla kesin olan durum

a = T, b = Ç, c = Ç

şeklindedir. Bu değerlerin toplamı (

T+Ç+Ç

) her zaman tek sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1

b sayısının çift olma durumunu inceleyin.

b çift ise;

a \cdot \text{Ç} + c = \text{Ç} \Rightarrow c = \text{Ç}

ve

a + \text{Ç} \cdot \text{Ç} = \text{T} \Rightarrow a = \text{T}

bulunur.

Değişkenlerden birini varsayarak diğerlerinin durumunu tutarlılık açısından kontrol etmek gerekir.

2

b sayısının tek olma durumunu inceleyin.

b tek ise;

a \cdot \text{T} + c = \text{Ç} \Rightarrow a + c = \text{Ç}

ve

a + \text{T} \cdot c = \text{T} \Rightarrow a + c = \text{T}

olur.

a+c

aynı anda hem çift hem tek olamaz.

Bu durum bir çelişki yarattığı için b'nin tek olması imkansızdır.

3

Elde edilen sonuçlara göre seçenekleri kontrol edin.

a = \text{Tek}, b = \text{Çift}, c = \text{Çift}

olduğuna göre;

a + b + c = \text{T} + \text{Ç} + \text{Ç} = \text{Tek}

bulunur.

Bulunan pariteleri seçeneklerdeki ifadelere uygulayarak hangisinin tek olduğunu belirlemek gerekir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinde teklik-çiftlik (parite) analizi ve durum değerlendirmesi.

İpuçları

1

Değişkenlerden birine (örneğin b'ye) bir durum atayarak diğerlerinin ne olması gerektiğini bulmaya çalışın.

2

Eğer b tek olsaydı, her iki ifade de a+c toplamının karakterini belirlerdi. Bu durumun bir çelişki yaratıp yaratmadığına bakın.

3

b'nin çift olduğunu belirledikten sonra denklemleri tekrar çözdüğünüzde a'nın tek, c'nin çift çıkması gerektiğini göreceksiniz.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin kuvvetlerini içeren (örneğin

a^b + c

) durumları pozitif tam sayılar kümesinde inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 14Soru →

Matematiksel işlemlerde karşılaşılan aşağıdaki ifadelerden hangilerinin sonucu bir rasyonel sayıdır?

I. $\sqrt{3,6} \cdot \sqrt{10}$
II. $5,\overline{9}$
III. $\pi - \frac{22}{7}$
IV. $\sqrt{27} - 3\sqrt{3}$

Yalnız I

I ve II

I, II ve IV

II, III ve IV

I, II, III ve IV

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve IV

Cevap

I, II ve IV numaralı ifadelerin sonuçları rasyoneldir.

I. ifade çarpım sonucu 6 tam sayısını, II. ifade yuvarlama kuralı gereği 6 tam sayısını, IV. ifade ise çıkarma sonucu 0 tam sayısını verir. Tüm tam sayılar aynı zamanda rasyonel sayıdır. III. ifade ise irrasyonel (

\pi

) ve rasyonel (

22/7

) sayıların farkı olduğu için irrasyoneldir.

Adım Adım Çözüm

1

I. ifadeyi düzenle:

\sqrt{3,6} \cdot \sqrt{10}

\sqrt{3,6 \cdot 10} = \sqrt{36} = 6

Kök dereceleri aynı olan sayılar çarpıldığında kök içleri çarpılır. 6 bir tam sayı olduğu için rasyoneldir.

2

II. ifadeyi düzenle:

5,\overline{9}

6

Devirli ondalık sayılarda, devreden rakam 9 ise bir önceki basamak 1 artırılır. 6 bir rasyonel sayıdır.

3

III. ifadeyi analiz et:

\pi - \frac{22}{7}

İrrasyonel

\pi

sayısı irrasyoneldir,

\frac{22}{7}

ise rasyoneldir. İrrasyonel bir sayı ile rasyonel bir sayının farkı daima irrasyoneldir (

\pi \neq \frac{22}{7}

).

4

IV. ifadeyi düzenle:

\sqrt{27} - 3\sqrt{3}

3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0

\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}

şeklinde yazılır. Fark 0 olur ve 0 bir rasyonel sayıdır.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Ayırt Edilmesi

İpuçları

1

Her bir ifadenin sonucunu en sade haliyle bulmaya çalışın.

2

Devirli ondalık sayılarda devreden 9 ise bir önceki basamağı 1 artırabilirsiniz.

\pi

sayısının rasyonel bir değeri olmadığını hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

İrrasyonel sayıların toplamının her zaman irrasyonel olup olmadığını sorgulayan bir soru çözülebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 15Soru →

Matematiksel bir tanımlama olarak; bir $p$ asal sayısı için, eğer $p + 4$ sayısı da bir asal sayı oluyorsa $p$ sayısına "Dörtlü Asal" adı verilir.

Buna göre, $30$ 'dan küçük olan Dörtlü Asalların toplamı kaçtır?

39

42

47

53

65

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

30'dan küçük Dörtlü Asalların toplamı 42'dir.

Soruda verilen tanıma göre bir asal sayının 'Dörtlü Asal' olması için kendisinden 4 fazlasının da asal olması gerekmektedir. 30'dan küçük asalları incelediğimizde: 3 (7 asal), 7 (11 asal), 13 (17 asal) ve 19 (23 asal) bu şartı sağlar. Toplamları 42'dir.

Adım Adım Çözüm

1

30'dan küçük tüm asal sayıları belirle.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Tanımı uygulayabilmek için önce aday sayı havuzunu oluşturmak gerekir.

2

Her bir

p

asalı için

p+4

değerinin asal olup olmadığını kontrol et.

3 (3+4=7 Asal), 7 (7+4=11 Asal), 13 (13+4=17 Asal), 19 (19+4=23 Asal) şartı sağlar. Diğerleri sağlamaz.

Tanıma göre sadece

p+4

'ü asal yapan

p

sayıları seçilmelidir.

3

Belirlenen Dörtlü Asal sayıları topla.

3 + 7 + 13 + 19 = 42

Soruda istenen sonuç bu sayıların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Asal Sayı Tanımı ve Özel Sayı Kümeleri

İpuçları

1

Önce 30'dan küçük tüm asal sayıları bir kenara not edin.

2

Not ettiğiniz her asal sayıya 4 ekleyin ve sonucun asal olup olmadığını kontrol edin.

3

9, 15, 21, 27 ve 33 asal sayı değildir. Bunları oluşturan asalları elemeyi unutmayın.

Daha Fazla Pratik

İkiz asallar (farkları 2 olan asallar) ile ilgili benzer bir soru çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 16Soru →

$1$ ’den $n$ ’ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı $210$ olduğuna göre, $n$ değeri kaçtır?

19

20

21

22

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Ardışık sayıların toplam formülüne göre

n = 20

olmalıdır.

1

’den

n

’ye kadar olan sayıların toplamı

\frac{n(n+1)}{2}

formülü ile bulunur.

\frac{20 \cdot 21}{2} = 10 \cdot 21 = 210

olduğundan, toplamın

210

olması için

n

sayısının

20

olması gerektiği matematiksel olarak doğrulanır.

Adım Adım Çözüm

1

Ardışık tam sayıların toplam formülünü belirle.

1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \cdot (n+1)}{2}

1

’den başlayarak birer birer artan sayıların toplamı Gauss formülü ile hesaplanır.

2

Verilen toplamı formülde yerine koyarak bir denklem oluştur.

\frac{n \cdot (n+1)}{2} = 210

Soruda toplamın

210

olduğu verilmiştir.

3

İçler dışlar çarpımı yaparak

n

ve

n+1

çarpımını bul.

n \cdot (n+1) = 420

Eşitliğin her iki tarafını

2

ile çarparak paydadan kurtuluruz.

4

Çarpımları

420

olan ardışık iki tam sayıyı tespit et.

20 \cdot 21 = 420

olduğundan

n = 20

20

ve

21

sayıları ardışıktır ve çarpımları tam olarak

420

sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayıların Toplamı (Gauss Metodu)

İpuçları

1

1'den başlayan ardışık sayıların toplamı için

\frac{n(n+1)}{2}

formülünü hatırlayınız.

2

Formüldeki toplamı

210

’a eşitlediğinizde ardışık iki sayının çarpımının

420

olduğunu göreceksiniz.

3

20

ile

21

’i çarparak

420

sonucuna ulaşıp ulaşmadığınızı kontrol ediniz.

Daha Fazla Pratik

Ardışık tek tam sayıların toplamı olan

1+3+5+...+(2n-1) = n^2

formülünü çalışarak bu konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ardışık sayıların toplamında ortanca terim kuralı da kullanılabilir. Toplam

210

ve sayı adedi

n

ise, yaklaşık ortalama değerden giderek

n

tahmin edilebilir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 17Soru →

m

ve

n

birer doğal sayı olmak üzere,

\frac{m!}{n!} = 120

eşitliğini sağlayan kaç farklı

(m, n)

sıralı ikilisi vardır?

1

2

3

4

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitliği sağlayan 4 farklı

(m, n)

sıralı ikilisi vardır.

Verilen eşitlik

\frac{m!}{n!} = 120

şeklinde olup, bu ifade

n+1

'den

m

'ye kadar olan ardışık sayıların çarpımının 120 olduğunu belirtir. 120 sayısını ardışık çarpanlar şeklinde yazabileceğimiz durumlar şunlardır:
1.

120

(Tek terim)

\rightarrow m=120, n=119

2.

6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

(Üç terim)

\rightarrow m=6, n=3

3.

5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120

(Dört terim)

\rightarrow m=5, n=1

4.

5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

(Beş terim)

\rightarrow m=5, n=0

Bu durumlara karşılık gelen

(m, n)

ikilileri

(120, 119), (6, 3), (5, 1)

ve

(5, 0)

olmak üzere toplam 4 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin anlamını analiz et

\frac{m!}{n!} = 120

ifadesi,

n!

'den sonra gelen ve

m

'ye kadar olan ardışık sayıların çarpımının 120 olduğunu gösterir. Yani

m(m-1)...(n+1) = 120

olmalıdır.

Faktöriyel tanımı gereği sadeleştirme yapıldığında geriye ardışık sayıların çarpımı kalır.

2

120 sayısını ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazma durumlarını incele (Tek terim)

Sadece bir sayı varsa:

120

. Bu durumda

m=120

ve sadeleşen kısım

n=119

olur. İkili:

(120, 119)

.

Her sayı kendisinin 1 eksiğinin faktöriyeline bölümüne eşittir.

3

Ardışık iki veya üç sayının çarpımı durumlarını incele

İki sayı:

x(x-1)=120

\rightarrow

Tam sayı çözüm yok (

11 \cdot 10 = 110

,

12 \cdot 11 = 132

).
Üç sayı:

6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

. Bu durumda en büyük sayı

m=6

, çarpıma girmeyen en büyük sayı

n=3

olur. İkili:

(6, 3)

.

120 sayısının çarpanlarını kontrol ederek ardışık dizilimler aranır.

4

Ardışık dört ve beş sayının çarpımı durumlarını incele

Dört sayı:

5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120

. Burada

m=5

,

n=1

olur. İkili:

(5, 1)

.
Beş sayı:

5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

. Burada

m=5

,

n=0

olur (

0! = 1

). İkili:

(5, 0)

.

1 çarpanı sonucu değiştirmediği için

n=1

ve

n=0

durumları ayrı ayrı çözüm üretir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tanımı ve Ardışık Çarpanlar

İpuçları

1

\frac{m!}{n!}

ifadesi,

m

'den geriye doğru

n

'ye kadar olan sayıların çarpımı demektir (n hariç).

2

120 sayısını ardışık doğal sayıların çarpımı şeklinde kaç farklı yolla yazabileceğinizi düşünün.

3

Çarpanların sonuna 1 eklemek sonucu değiştirmez ancak n değerini değiştirir (

1! = 1

ve

0! = 1

).

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla

\frac{x!}{y!} = 24

eşitliğini sağlayan ikilileri bulunuz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 18Soru →

Sıfırdan farklı $a, b$ ve $c$ gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitlik ve eşitsizlikler sağlanmaktadır:

\frac{a}{c} > 0

a \cdot b < 0

a + b > 0

b > c

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

a > c

b \cdot c > 0

\frac{a+b}{c} < 0

a - b > 0

c^2 > a^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{a+b}{c} < 0$

Cevap

\frac{a+b}{c} < 0

ifadesi kesinlikle doğrudur.

Doğru seçenekte verilen kesirli ifadenin işaretini bulmak için pay ve paydanın işaretlerine bakılır. Soruda

a+b > 0

olarak verilmiştir, yani pay pozitiftir. İşaret analizi sonucunda

c

'nin negatif olduğu bulunmuştur. Pozitif bir sayının negatif bir sayıya bölümü daima negatiftir (

< 0

). Bu nedenle bu eşitsizlik kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

İşaret ilişkilerini analiz et

\frac{a}{c} > 0

olduğu için

a

ve

c

aynı işaretlidir (

+,+

veya

-,-

).

a \cdot b < 0

olduğu için

a

ve

b

zıt işaretlidir.

Çarpma ve bölme işlemlerinde sonuç işareti kuralı.

2

Olası durumları

b > c

şartı ile ele

Durum 1:

a(+), c(+), b(-)

olsa

b > c

sağlanamaz (negatif > pozitif olamaz). Durum 2:

a(-), c(-), b(+)

olsa

b > c

sağlanır (pozitif > negatif). Demek ki işaretler:

a(-), b(+), c(-)

.

Büyüklük ilişkisi işaretleri kesinleştirmeyi sağlar.

3

Seçenekleri verilen

a + b > 0

bilgisiyle test et

Pay kısmı (

a+b

) soruda pozitif olarak verilmiştir. Payda (

c

) negatiftir. Pozitifin negatife bölümü (

+

/

-

) negatiftir (

< 0

).

Kesinlik sorusu olduğu için işaretlerin bölümü incelenir.

Anahtar Kavram

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Yorumlama

İpuçları

1

Önce

\frac{a}{c} > 0

ve

a \cdot b < 0

ifadelerini kullanarak

a, b

ve

c

arasındaki işaret gruplandırmasını yapın.

2

b

ve

c

'nin işaretlerinin zıt olduğunu bulduktan sonra,

b > c

eşitsizliğinin sağlanması için hangisinin pozitif hangisinin negatif olması gerektiğini düşünün.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 19Soru →

$x, y$ ve $z$ pozitif tam sayıları için,

I. $x^2 + x + y$ ifadesi tek sayıdır.
II. $x + y \cdot z$ ifadesi çift sayıdır.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima çifttir?

x + z

y + z

x \cdot z

x + y + z

y \cdot z + 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x + z$

Cevap

x + z

ifadesi daima çift sayıdır.

Verilen I. öncülde

x^2+x = x(x+1)

ifadesi ardışık iki sayının çarpımı olduğundan daima çifttir. Toplamın tek olması için

y

'nin tek sayı olması gerekir. II. öncülde

y

tek olduğu için,

y \cdot z

ifadesi

z

ile aynı karakterdedir (Tek

\cdot

Tek = Tek, Tek

\cdot

Çift = Çift). Toplamın (

x + z

) çift olması için

x

ve

z

ya ikisi de tek ya da ikisi de çift olmalıdır. Bu durumda

x

ve

z

aynı türden olduğu için toplamları (

x+z

) daima çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1

I. ifadeyi analiz et:

x^2 + x + y

tek sayıdır.

x(x+1)

daima çift olduğundan, sonucun tek olması için

y

tek sayı olmalıdır.

Ardışık iki tam sayının çarpımı (

x(x+1)

) daima çifttir. Çift + Tek = Tek kuralı gereği y tektir.

2

II. ifadeyi analiz et:

x + y \cdot z

çift sayıdır.

y

tek olduğu için ifade

x + z

ile aynı karakterdedir.

x

ve

z

aynı tekliğe/çiftliğe sahip olmalıdır.

Tek sayı ile çarpma (

y \cdot z

) z'nin tekliğini/çiftliğini değiştirmez. Toplamın çift olması için toplananların ikisi de tek veya ikisi de çift olmalıdır.

3

Olası durumları belirle.

Durum 1:

x

Çift,

y

Tek,

z

Çift. Durum 2:

x

Tek,

y

Tek,

z

Tek.

Her iki durumda da

x

ve

z

aynı türdendir (ikisi de tek veya ikisi de çift).

4

Seçenekleri bu durumlara göre test et.

x + z

toplamı; (Çift+Çift=Çift) veya (Tek+Tek=Çift) olduğundan daima çifttir.

Aynı türden iki tam sayının toplamı daima çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tam sayıların tek-çift özellikleri ve

x(x+1)

ifadesinin daima çift olması kuralı.

İpuçları

1

x^2 + x

ifadesini

x(x+1)

parantezine alarak incelemeye başlayın.

2

Ardışık iki tam sayının çarpımı daima çifttir. Buna göre I. maddeden

y

'nin tek mi çift mi olduğunu bulun.

3

y

bir tek sayıdır. II. maddede yerine koyduğunuzda

x

ve

z

'nin birbirine göre durumu (aynı veya zıt işaretli olmaları) ortaya çıkar.

Daha Fazla Pratik

Ardışık sayıların toplamı ve çarpımı ile ilgili sorular çözerek

n(n+1)

kuralını pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözme:

y=1

(tek) kabul edelim. II. denklem

x+z=

Çift olur. Bu durumda

x=1, z=1

veya

x=2, z=2

vererek seçenekleri deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 20Soru →

x

ve

y

aralarında asal pozitif tam sayılardır.

\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{K}{60}

eşitliğinde

K

sayısı

60

ile aralarında asal bir pozitif tam sayıdır.

Buna göre, $x$ 'in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

42

59

120

168

180

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

x'in alabileceği değerler toplamı 120'dir.

Verilen eşitlikte payda eşitlendiğinde

\frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{K}{60}

elde edilir.

x

ve

y

aralarında asal olduğu için

\text{ebob}(x^2+y^2, xy)=1

olur. Sağ taraftaki kesir de sadeleşmiş halde verildiğinden (K ve 60 aralarında asal), paydalar eşit olmalıdır (

xy=60

). Çarpımları 60 olan ve aralarında asal olan sayı çiftleri (1,60), (3,20), (4,15) ve (5,12)'dir. Denklem simetrik olduğu için

x

bu değerlerin hepsini alabilir. Bu değerlerin toplamı 120'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen eşitliği düzenle ve payda eşitle.

\frac{x^2 + y^2}{x \cdot y} = \frac{K}{60}

Kesirli ifadelerde toplama işlemi yapmak için paydalar eşitlenmelidir.

2

Aralarında asallık kuralını kullanarak

xy

değerini belirle.

x

ve

y

aralarında asal olduğu için

x^2+y^2

ve

xy

de aralarında asaldır. Eşitliğin sağ tarafındaki

\frac{K}{60}

kesri de sadeleşmiş (aralarında asal) verildiği için, paydalar doğrudan eşitlenmelidir:

x \cdot y = 60

Eğer

\text{ebob}(A,B)=1

ve

\frac{A}{B} = \frac{C}{D}

(ve C,D aralarında asal) ise

A=C

ve

B=D

olmalıdır.

3

Çarpımları 60 olan ve aralarında asal olan

(x, y)

pozitif tam sayı çiftlerini bul.

Çarpımı 60 olan çiftler:
- (1, 60)

\rightarrow

Aralarında asal

\checkmark

- (2, 30)

\rightarrow

OBEB=2

\times

- (3, 20)

\rightarrow

Aralarında asal

\checkmark

- (4, 15)

\rightarrow

Aralarında asal

\checkmark

- (5, 12)

\rightarrow

Aralarında asal

\checkmark

- (6, 10)

\rightarrow

OBEB=2

\times

Her çarpan çiftinin aralarında asallık şartını (OBEB=1) sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek gerekir.

4

Simetriyi dikkate alarak

x

'in alabileceği değerleri listele ve topla.

Eşitlik

x

ve

y

için simetriktir, bu yüzden

x

bu çiftlerin her iki bileşeni de olabilir.

x \in \{1, 60, 3, 20, 4, 15, 5, 12\}

Toplam =

1 + 60 + 3 + 20 + 4 + 15 + 5 + 12 = 120

Soruda

x

ve

y

birbirinden farklı değişkenlerdir,

x=1, y=60

olabileceği gibi

x=60, y=1

de olabilir.

Anahtar Kavram

İki sayı (

x, y

) aralarında asal ise, kareleri toplamı (

x^2+y^2

) ile çarpımları (

xy

) da aralarında asaldır. Bu özellik kesirlerin sadeleşmiş olduğunu garanti eder.

İpuçları

1

Eşitliğin sol tarafında payda eşitleyerek ifadeyi tek bir kesir haline getirin.

2

x

ve

y

aralarında asal ise, oluşturduğunuz kesrin pay ve paydasının da aralarında asal olduğunu hatırlayın. Bu durumda paydalar (

xy

ve

60

) doğrudan eşitlenebilir.

3

x \cdot y = 60

olmalıdır. Çarpımları 60 olan sayı çiftlerini yazın ve hangilerinin ortak böleninin sadece 1 olduğunu (aralarında asal) kontrol edin. (1, 60) çiftini unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Toplamları sabit (örneğin 20) ve aralarında asal olan iki sayının çarpımının alabileceği en büyük değeri soran bir soru çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Temel Kavramlar ve Sayılar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar