Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasit Eşitsizlikler
xx ve yy gerçel sayılar olmak üzere,
−5<x≤3 -5 < x \leq 3
−3≤y<2 -3 \leq y < 2
eşitsizlikleri veriliyor.

Buna göre, x2−4yx^2 - 4y ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    28
  2. 29Cevap
  3. C
    33
  4. D
    38
  5. E
    45

Cevap

En büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı 29'dur.
İfadeyi maksimize ve minimize etmek için aralık aritmetiği kullanılmalıdır. xx aralığı negatifi de kapsadığı için karesinin minimum değeri 0'dır (0≤x2<250 \leq x^2 < 25). −4y-4y için eşitsizlik yön değiştirir (−8<−4y≤12-8 < -4y \leq 12). Taraf tarafa toplandığında (−8,37)(-8, 37) aralığı elde edilir. Buradan en büyük tam sayı 36, en küçük tam sayı -7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x2x^2 ifadesinin aralığını bulma
0≤x2<250 \leq x^2 < 25
xx aralığı (−5,3](-5, 3] şeklindedir. Bu aralık 00 noktasını içerdiği için, x2x^2 ifadesinin alabileceği en küçük değer 00'dır. Üst sınır ise mutlak değerce en büyük uç noktanın karesidir (∣−5∣=5→52=25|-5|=5 \to 5^2=25). 25 açık aralıktır çünkü -5 dahil değildir.
2
−4y-4y ifadesinin aralığını bulma
−8<−4y≤12-8 < -4y \leq 12
yy aralığı [−3,2)[-3, 2) şeklindedir. Eşitsizlik −4-4 (negatif sayı) ile çarpıldığında yön değiştirir:
(−4)⋅2<−4y≤(−4)⋅(−3)⇒−8<−4y≤12(-4) \cdot 2 < -4y \leq (-4) \cdot (-3) \Rightarrow -8 < -4y \leq 12.
3
İki aralığı taraf tarafa toplama
−8<x2−4y<37-8 < x^2 - 4y < 37
Alt sınırlar: 0+(−8)=−80 + (-8) = -8 (Biri dahil, biri hariç ise sonuç hariçtir: <<).
Üst sınırlar: 25+12=3725 + 12 = 37 (Biri dahil, biri hariç ise sonuç hariçtir: <<).
Elde edilen aralık: (−8,37)(-8, 37).
4
En büyük ve en küçük tam sayı değerlerini belirleyip toplama
36+(−7)=2936 + (-7) = 29
Bu aralıktaki en büyük tam sayı 3636, en küçük tam sayı ise −7-7'dir. Toplamları: 36+(−7)=2936 + (-7) = 29.

Anahtar Kavram

Gerçel sayı aralıklarında işlem yapılırken, çift kuvvet alındığında aralığın 0'ı kapsayıp kapsamadığına dikkat edilmelidir. Negatif sayıyla çarpma işleminde eşitsizlik yön değiştirmelidir.
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru