Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasit Eşitsizlikler
xx bir tam sayı ve yy bir gerçel sayı olmak üzere;
−3≤x<4-3 \leq x < 4
−1<y≤3-1 < y \leq 3
eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, x2−2yx^2 - 2y ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri, en küçük tam sayı değerinden kaç fazladır?
  1. A
    11
  2. B
    15
  3. 16Cevap
  4. D
    17
  5. E
    23

Cevap

İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 10, en küçük tam sayı değeri -6 olduğundan aradaki fark 16'dır.
Verilen xx bir tam sayı olduğu için x2x^2 ifadesi sadece belirli değerleri (0, 1, 4, 9) alabilir. yy gerçel sayısı için oluşturulan −2y-2y aralığı [−6,2)[-6, 2) şeklindedir. Bu iki yapının toplamı sonucunda ifadenin alabileceği en küçük değer −6-6 (dahil), en büyük değer ise 1111 (açık) sınırına yaklaşır. Dolayısıyla en büyük tam sayı 1010, en küçük tam sayı −6-6 olur; farkları ise 1616 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
xx değişkeninin alabileceği tam sayı değerlerini ve x2x^2 değerlerini belirleyelim.
x∈{−3,−2,−1,0,1,2,3}x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olduğundan x2∈{0,1,4,9}x^2 \in \{0, 1, 4, 9\} olur.
xx tam sayı olarak tanımlandığı için aralıktaki her bir değerin karesi ayrı ayrı hesaplanmalıdır.
2
yy gerçel sayısı için −2y-2y ifadesinin değer aralığını bulalım.
−1<y≤3-1 < y \leq 3 eşitsizliğini −2-2 ile çarptığımızda yön değiştirir: −6≤−2y<2-6 \leq -2y < 2 olur.
Eşitsizlik negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizliğin yönü değişir.
3
x2−2yx^2 - 2y ifadesinin en büyük ve en küçük değerlerini belirleyelim.
Maksimum değer: 9+(2’den ku¨c¸u¨k en bu¨yu¨k deg˘er)<119 + (\text{2'den küçük en büyük değer}) < 11 (10 olur). Minimum değer: 0+(−6)=−60 + (-6) = -6 (dahil).
Tam sayı olan x2x^2 değerleri ile gerçel sayı olan −2y-2y aralığı toplanarak ifadenin sınırı belirlenir.
4
Bulunan değerler arasındaki farkı hesaplayalım.
10−(−6)=1610 - (-6) = 16.
Soru kökünde en büyük ve en küçük değer arasındaki fark sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Tam sayı ve gerçel sayı kısıtlamaları altında değişkenlerin aralık operasyonları ve kuvvet alma kuralları.

Alternatif Yöntem

x2x^2 için tam sayı değerlerini tek tek deneyerek (x=−3,−2,−1,0,1,2,3x=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3) ifadenin yy aralığı ile birleşimini her durum için kontrol etmek.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru