Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümeler
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı AA kümesi,
A={x∈Z∣∣x∣≤4} A = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \le 4 \}
şeklinde veriliyor.

Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir negatif çift sayı ve en az bir pozitif tek sayı birlikte bulunur?

  1. A
    256
  2. 288Cevap
  3. C
    320
  4. D
    336
  5. E
    512

Cevap

288
Soruda istenen alt kümelerin hem negatif çift sayı (−4,−2-4, -2) grubundan en az bir eleman, hem de pozitif tek sayı (1,31, 3) grubundan en az bir eleman içermesi gerekmektedir. Kümeyi üç ayrık parçaya böleriz: G1=\{-4, -2\}, G2=\{1, 3\} ve G3=\{-3, -1, 0, 2, 4\}. İstenen şartı sağlamak için G1 ve G2'den boş küme haricindeki tüm alt kümeler (22−1=32^2-1=3) seçilebilirken, G3'ten tüm alt kümeler (25=322^5=32) seçilebilir. Çarpma kuralı gereği toplam sayı 3×3×32=2883 \times 3 \times 32 = 288 olur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle yaz.
A={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}A = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}. Toplam eleman sayısı s(A)=9s(A) = 9.
Mutlak değer eşitsizliğini çözerek kümenin elemanlarını açıkça görmek gerekir.
2
Kümeyi koşullara göre üç ayrık gruba ayır: Negatif Çiftler (G1), Pozitif Tekler (G2) ve Diğerleri (G3).
G1 (Negatif Çift): {−4,−2}\{-4, -2\} (2 eleman)
G2 (Pozitif Tek): {1,3}\{1, 3\} (2 eleman)
G3 (Diğerleri): {−3,−1,0,2,4}\{-3, -1, 0, 2, 4\} (5 eleman)
Alt küme oluştururken her grubun katkısını ayrı ayrı hesaplamak işlemi kolaylaştırır.
3
Her gruptan istenen koşulu sağlayan alt küme sayısını hesapla.
G1'den (en az bir eleman): 22−1=32^2 - 1 = 3 farklı seçim.
G2'den (en az bir eleman): 22−1=32^2 - 1 = 3 farklı seçim.
G3'ten (koşul yok): 25=322^5 = 32 farklı seçim.
'En az bir' koşulu, o gruptan boş küme seçilemeyeceği anlamına gelir (Tüm durumlar - Boş küme).
4
Çarpma kuralını uygulayarak toplam alt küme sayısını bul.
3×3×32=9×32=2883 \times 3 \times 32 = 9 \times 32 = 288.
Gruplar birbirinden bağımsız seçildiği için seçenek sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Ayrık Gruplama ve Çarpma Kuralı ile Alt Küme Sayısı

İpuçları

1
Önce mutlak değer eşitsizliğini çözerek AA kümesinin elemanlarını açıkça yazınız.
2
Kümeyi üç gruba ayırın: 1) Negatif Çift Sayılar, 2) Pozitif Tek Sayılar, 3) Geriye kalan tüm sayılar (0 dahil).
3
Bir gruptan 'en az bir eleman' seçmek, o grubun 'hiçbir elemanının seçilmediği' (boş küme) durumu tüm durumlardan çıkarmak demektir (2n−12^n - 1).

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, asal sayılar ve çift sayılar üzerinden koşullu alt küme sayısı soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tümleyen Yöntemi: Tüm alt kümelerden (292^9), hiç negatif çift içermeyenleri (29−22^{9-2}) ve hiç pozitif tek içermeyenleri (29−22^{9-2}) çıkarın. Ancak bu işlemde hem negatif çift hem de pozitif tek içermeyenleri (29−42^{9-4}) iki kez çıkardığınız için bir kez geri ekleyin: 512−128−128+32=288512 - 128 - 128 + 32 = 288.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümeler

Bu konudan daha fazla soru