Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÖzel Tanımlı İşlemler
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=x⋅y+4x+4y+mx \triangle y = x \cdot y + 4x + 4y + m
eşitliği ile veriliyor.

Bu işlemin yutan elemanı olduğuna göre, 22 sayısının △\triangle işlemine göre tersi kaçtır?

  1. -23/6Cevap
  2. B
    -19/6
  3. C
    -10/3
  4. D
    -4
  5. E
    -3

Cevap

2 sayısının işlem altındaki tersi -23/6'dır.
Doğru cevaba ulaşmak için zincirleme bir mantık kurulmalıdır. İlk olarak 'yutan eleman' bilgisi kullanılarak işlemdeki bilinmeyen mm sayısı bulunur (y+4=0⇒y=−4y+4=0 \Rightarrow y=-4 ve 3y+m=0⇒m=123y+m=0 \Rightarrow m=12). Daha sonra işlemin 'birim elemanı' hesaplanır ((x+4)(e+3)=0⇒e=−3(x+4)(e+3)=0 \Rightarrow e=-3). Son olarak, 2 sayısının tersi tt için 2△t=e2 \triangle t = e eşitliği çözülür (6t+20=−3⇒t=−23/66t+20=-3 \Rightarrow t=-23/6).

Adım Adım Çözüm

1
Yutan eleman tanımını kullanarak m sabitini bul.
m = 12 ve yutan eleman = -4
Yutan eleman y için x ∆ y = y olmalıdır. xy + 4x + 4y + m = y eşitliğinde x parantezine alırsak x(y+4) + (3y+m) = 0. Bu eşitliğin her x için sağlanması için katsayılar 0 olmalıdır: y+4=0 => y=-4 ve 3(-4)+m=0 => m=12.
2
İşlemin kuralını m değeri ile güncelle.
x ∆ y = xy + 4x + 4y + 12
Bulunan m değerini yerine yazarak işlemin tam kuralını elde ederiz.
3
İşlemin birim (etkisiz) elemanını (e) bul.
e = -3
Birim eleman e için x ∆ e = x olmalıdır. xe + 4x + 4e + 12 = x => xe + 3x + 4e + 12 = 0 => x(e+3) + 4(e+3) = 0 => (x+4)(e+3) = 0. Her x için sağlanması için e+3=0 yani e=-3 olmalıdır.
4
2 sayısının tersini (t) bul.
t = -23/6
Bir sayının tersi ile işleme girmesi sonucu birim elemanı vermelidir. 2 ∆ t = e => 2t + 4(2) + 4t + 12 = -3 => 6t + 20 = -3 => 6t = -23 => t = -23/6.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı bir işlemde ters eleman bulabilmek için önce işlemin birim elemanının bulunması gerekir. Birim elemanın bulunabilmesi için ise (bu soruda olduğu gibi) işlemdeki bilinmeyen sabitlerin yutan eleman gibi ek bilgilerle çözülmesi gerekebilir.

İpuçları

1
Bir işlemde yutan eleman yy, her xx değeri için x△y=yx \triangle y = y eşitliğini sağlayan elemandır. Bu eşitliği kullanarak önce mm değerini bulmaya çalışın.
2
mm değerini bulduktan sonra işlemin birim elemanını (ee) bulmalısınız. Birim eleman, her xx için x△e=xx \triangle e = x eşitliğini sağlar.
3
x△y=(x+4)(y+4)−4x \triangle y = (x+4)(y+4) - 4 özdeşliğini fark ederseniz işlemleriniz kolaylaşır. Birim eleman e=−3e=-3 olacaktır. Ters eleman tanımı gereği 2△t=−32 \triangle t = -3 denklemini çözmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir işlemde yutan eleman yerine 'değişme özelliği' olduğu belirtilseydi bilinmeyen katsayıları nasıl bulurdunuz?

Alternatif Yöntem

İşlem x△y=(x+4)(y+4)−4x \triangle y = (x+4)(y+4) - 4 şeklinde çarpanlarına ayrılabilir. Bu formda, işlemin esas kısmı (x+4)(y+4)(x+4)(y+4) çarpımıdır. Bu yapıda birim eleman, parantez içini 1 yapan değerdir (yani e+4=1⇒e=−3e+4=1 \Rightarrow e=-3). Ters eleman için ise (2+4)(t+4)=1(2+4)(t+4) = 1 olmalıdır.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Özel Tanımlı İşlemler

Bu konudan daha fazla soru