Examkin

Soru

Zorluk: ZorTekrarlı Permütasyon

Bir kamu hastanesinin acil servisinde görevli bir doktor için bir haftalık (7 gün) çalışma çizelgesi hazırlanacaktır. Çizelgede içerikleri bakımından özdeş olan; 3 gün 'Poliklinik', 2 gün 'Nöbet' ve 2 gün 'İzin' görevi yer alacaktır.

İzin günlerinin ardışık (peş peşe) gelmemesi koşuluyla, bu bir haftalık çalışma çizelgesi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

  1. A
    60
  2. B
    90
  3. C
    120
  4. 150Cevap
  5. E
    210

Cevap

Çizelge 150 farklı şekilde oluşturulabilir.
Soruda özdeş elemanların sıralanması (tekrarlı permütasyon) ve 'yan yana gelmeme' koşulu vardır. Bu tür sorularda en pratik yöntem, tüm durumlardan istenmeyen (yan yana olma) durumunu çıkarmaktır.

1. Tüm Durumlar: 3 Poliklinik (P), 2 Nöbet (N), 2 İzin (İ) olmak üzere toplam 7 eleman vardır. 7!3!⋅2!⋅2!=210 \frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = 210

2. İstenmeyen Durum (İzinler Yan Yana): İki izin gününü tek bir paket (İİ) gibi düşünürsek; elimizde P, P, P, N, N, (İİ) şeklinde 6 nesne olur. Bu nesnelerin sıralanışı: 6!3!⋅2!⋅1!=60 \frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = 60

3. Sonuç: 210−60=150 210 - 60 = 150 farklı şekilde oluşturulabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm durumların sayısını hesapla
7!3!⋅2!⋅2!=50406⋅2⋅2=504024=210 \frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{5040}{6 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{5040}{24} = 210
Herhangi bir koşul olmadan 7 günün sıralanması tekrarlı permütasyon formülü ile bulunur.
2
İstenmeyen durumların (İzin günlerinin yan yana olduğu) sayısını hesapla
İki izin gününü tek bir blok (XXXX) gibi düşünürsek; elimizde P,P,P,N,N,(XX)P, P, P, N, N, (XX) olmak üzere 6 nesne olur. 6!3!⋅2!⋅1!=7206⋅2=72012=60 \frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{720}{6 \cdot 2} = \frac{720}{12} = 60
'Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar' yöntemi kullanılacağı için, izinlerin bitişik olduğu durumlar hesaplanır.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar
210−60=150 210 - 60 = 150
İzin günlerinin yan yana gelmemesi şartını sağlayan durum sayısı bu fark ile bulunur.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon ve Tüm Durumlardan İstenmeyeni Çıkarma Yöntemi
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru