Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasit Eşitsizlikler
aa ve bb gerçel sayıları için,
a3<a<∣a∣a^3 < a < |a|
a⋅b+a>0a \cdot b + a > 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
  1. A
    a+b>0a + b > 0
  2. B
    a⋅b<0a \cdot b < 0
  3. C
    a>ba > b
  4. D
    b>−1b > -1
  5. a⋅b>a+ba \cdot b > a + bCevap

Cevap

Çarpımları toplamlarından büyüktür (a⋅b>a+ba \cdot b > a + b)
Doğru cevap, aa ve bb sayılarının her ikisinin de −1-1'den küçük olduğunu tespit ettikten sonra işaret incelemesi yapılarak bulunur. aa ve bb negatif olduğu için çarpımları pozitif, toplamları ise negatiftir. Pozitif bir değer, negatif bir değerden her zaman büyüktür.

Adım Adım Çözüm

1
a3<a<∣a∣a^3 < a < |a| eşitsizliğini analiz edelim.
a<−1a < -1
Bir sayının küpünün kendisinden küçük, mutlak değerinden de küçük olması için (−1<a<0-1 < a < 0 aralığında a3>aa^3 > a olduğu için) aa sayısının −1-1'den küçük olması gerekir.
2
a⋅b+a>0a \cdot b + a > 0 eşitsizliğini çarpanlara ayırarak inceleyelim.
a(b+1)>0a(b + 1) > 0
Ortak çarpan parantezine alma işlemi uygulanır.
3
bb'nin aralığını belirleyelim.
b<−1b < -1
Çarpımın pozitif olması için çarpanların aynı işaretli olması gerekir. a<−1a < -1 olduğundan negatiftir. Bu durumda b+1b+1 de negatif olmalıdır (b+1<0  ⟹  b<−1b+1 < 0 \implies b < -1).
4
Seçenekleri değerlendirelim.
a⋅b>a+ba \cdot b > a + b daima doğrudur.
aa ve bb negatif olduğu için çarpımları (a⋅ba \cdot b) pozitif, toplamları (a+ba + b) negatiftir. Pozitif bir sayı negatif bir sayıdan daima büyüktür.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik Sistemleri ve İşaret İncelemesi

İpuçları

1
a3<a<∣a∣a^3 < a < |a| eşitsizliğini sağlayan aa sayısının hangi aralıkta (pozitif mi, negatif mi, 0-1 arası mı vb.) olduğunu belirlemeye çalışın.
2
Eğer aa pozitif olsaydı a<∣a∣a < |a| (a<aa < a) imkansız olurdu. Demek ki aa negatif. Negatif sayılarda küpü kendisinden küçük olan aralık hangisidir?
3
a<−1a < -1 olduğunu bulduktan sonra, ikinci eşitsizliği a(b+1)>0a(b+1) > 0 şeklinde yazın. aa negatif olduğuna göre b+1b+1 ne olmalıdır?

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli ve üslü eşitsizliklerin grafik üzerindeki bölgelerini inceleyen sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru