Examkin

Soru

Zorluk: ZorTekrarlı Permütasyon

Bir kamu kurumu, sekiz katlı bir hizmet binasının her katına birer adet güvenlik kamerası yerleştirecektir. Kurumun elinde özdeş 33 adet A marka, özdeş 33 adet B marka ve özdeş 22 adet C marka kamera bulunmaktadır.

A marka kameraların herhangi ikisinin alt alta gelen katlarda bulunmaması şartıyla, bu kameralar binaya kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

  1. A
    60
  2. B
    100
  3. 200Cevap
  4. D
    360
  5. E
    560

Cevap

A marka kameraların herhangi ikisinin yan yana gelmediği toplam 200 farklı yerleşim yapılabilir.
Doğru çözüm için öncelikle kısıtlama olmayan 5 kamera (3B, 2C) yerleştirilir. Bu yerleşim 5!3!2!=10\frac{5!}{3!2!} = 10 farklı şekilde yapılır. Bu yerleşimlerin her birinde, A marka kameraların yerleştirilebileceği (herhangi ikisinin yan yana gelmesini önleyen) 6 farklı boşluk bulunur. 3 özdeş A kamerasını bu 6 boşluğa (63)=20\binom{6}{3} = 20 farklı şekilde yerleştirebiliriz. Sonuç olarak 10×20=20010 \times 20 = 200 farklı durum oluşur.

Adım Adım Çözüm

1
A marka kameralar dışındaki diğer 5 kameranın dizilim sayısını hesaplayın.
5!3!×2!=10\frac{5!}{3! \times 2!} = 10
Özdeş 3 adet B ve 2 adet C marka kameranın kendi aralarındaki farklı sıralanışlarını bulmak için tekrarlı permütasyon kullanılır.
2
Dizilen 5 kameranın arasında ve uçlarında oluşan boşluk sayısını belirleyin.
6 boşluk
5 nesne yan yana dizildiğinde, nesnelerin arası ve iki uç nokta dahil olmak üzere toplam 5+1=65+1=6 farklı yerleştirme noktası oluşur.
3
3 adet özdeş A marka kamerasını bu boşluklara yerleştirin.
(63)=20\binom{6}{3} = 20
Herhangi iki A markasının yan yana gelmemesi için, bu 6 boşluktan 3 tanesi seçilmeli ve özdeş kameralar buralara yerleştirilmelidir.
4
Toplam yerleşim sayısını bulun.
10×20=20010 \times 20 = 200
Bağımsız seçimlerin sonuçları çarpılarak tüm olası durumlar hesaplanır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon problemlerinde 'herhangi ikisi yan yana gelmeme' şartı varsa, önce diğer nesneler dizilir ve oluşan boşluklara şartlı nesneler yerleştirilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru