Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTekrarlı Permütasyon

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde; içerikleri bakımından birbirinden farklı 33 adet sarı, özdeş 22 adet mavi ve özdeş 22 adet kırmızı dosya bir rafa yan yana dizilecektir.

Kırmızı dosyaların daima bir arada olması ve mavi dosyaların kesinlikle yan yana gelmemesi koşuluyla, bu dosyalar rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?

  1. A
    40
  2. B
    120
  3. 240Cevap
  4. D
    360
  5. E
    480

Cevap

Dosyalar 240 farklı şekilde dizilebilir.
Kırmızı dosyalar bir arada olacağı için tek bir paket [KK] gibi düşünülür. Maviler şimdilik kenara ayrılır. Elimzde 3 farklı Sarı (S1, S2, S3) ve 1 Kırmızı Paket [KK] vardır. Bu 4 nesne 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanır. Bu sıralama sonucunda nesnelerin arasında ve uçlarında toplam 5 boşluk oluşur. Mavilerin yan yana gelmemesi için bu 5 boşluktan 2 tanesi seçilip özdeş mavi dosyalar oraya konur (C(5,2)=10C(5,2)=10). Sonuç 24×10=24024 \times 10 = 240 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kırmızı dosyaları paketleyin (Blok Yöntemi)
Kırmızı dosyalar (KK) tek bir nesne kabul edilir.
Kırmızı dosyaların bir arada olması istendiği için onları ayrılmaz bir bütün olarak düşünmeliyiz. Kırmızılar özdeş olduğu için kendi aralarında yer değiştirmeleri durumu etkilemez (11 durum).
2
Mavi dosyalar haricindeki nesneleri sıralayın
4 nesne (3 Farklı Sarı + 1 Kırmızı Blok) 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanır.
Mavi dosyalar 'yan yana gelmeyecek' şartına sahip olduğu için onları en sona, boşluklara yerleştireceğiz. Önce diğerlerini dizmemiz gerekir.
3
Oluşan boşlukları belirleyin ve Mavi dosyaları yerleştirin (Ayıraç Yöntemi)
4 nesnenin yarattığı 5 boşluğa, 2 özdeş mavi dosya C(5,2)=10C(5,2) = 10 farklı şekilde yerleştirilir.
4 nesne yan yana dizildiğinde aralarında, başında ve sonunda toplam 55 boşluk oluşur (_ N _ N _ N _ N _). Mavi dosyaların yan yana gelmemesi için bu 5 boşluktan herhangi 2'sini seçip yerleştirmeliyiz. Maviler özdeş olduğu için sıralama değil seçme (kombinasyon) yaparız.
4
Sonuçları çarpın
24×10=24024 \times 10 = 240.
Saymanın çarpma kuralı gereği, aşamalı işlemlerin sonuçları çarpılır.

Anahtar Kavram

Bu soru, 'Bloklama Yöntemi' (yan yana olma şartı) ile 'Ayıraç/Boşluk Yöntemi'nin (yan yana olmama şartı) birlikte kullanıldığı ve hem özdeş hem farklı nesnelerin bir arada bulunduğu ileri düzey bir tekrarlı permütasyon problemidir.

İpuçları

1
Önce şartı daha kısıtlayıcı olan 'Kırmızı' dosyaları halledin. Onları tek bir dosya gibi paketleyin.
2
'Yan yana gelmeme' sorularında en güvenli yol 'Boşluk (Ayıraç) Yöntemi'dir. Önce diğer dosyaları dizin, sonra mavileri oluşan boşluklara yerleştirin.
3
3 farklı Sarı ve 1 Kırmızı paketini dizdikten sonra 5 boşluk oluşur. 2 özdeş Mavi dosyayı bu 5 boşluğa kaç farklı şekilde seçip koyabilirsiniz?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı pekiştirmek için: '3 farklı matematik ve 4 özdeş fizik kitabı, fizik kitaplarının hiçbiri yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde dizilir?' sorusunu çözünüz.

Alternatif Yöntem

Tüm Durum - İstenmeyen Durum yöntemiyle de çözülebilir ancak bu soruda çok karmaşıktır çünkü 'Maviler yan yana' durumunu çıkarırken 'Kırmızılar yan yana' şartını korumanız gerekir. Boşluk yöntemi daha pratiktir.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru