Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasit Eşitsizlikler
Sıfırdan farklı xx ve yy gerçel sayıları için,
x2<∣x∣x^2 < |x|
x⋅y>yx \cdot y > y
∣x∣⋅y>x|x| \cdot y > x
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  1. A
    x⋅y>1x \cdot y > 1
  2. B
    x−y>0x - y > 0
  3. x+y>−2x + y > -2Cevap
  4. D
    x2+y2>2x^2 + y^2 > 2
  5. E
    xy<0\frac{x}{y} < 0

Cevap

x+y>−2x + y > -2 ifadesi daima doğrudur.
Yapılan analizler sonucunda xx ve yy sayılarının her ikisinin de (−1,0)(-1, 0) aralığında olduğu görülmüştür. Bu aralıktaki iki sayının toplamı, alt sınırların toplamı olan -2'den kesinlikle büyüktür (x>−1x > -1 ve y>−1  ⟹  x+y>−2y > -1 \implies x+y > -2).

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği analiz et.
x2<∣x∣  ⟹  ∣x∣<1x^2 < |x| \implies |x| < 1. Yani x∈(−1,1)x \in (-1, 1) ve x≠0x \neq 0.
Bir sayının karesi mutlak değerinden küçükse, o sayı -1 ile 1 arasındadır.
2
İkinci eşitsizliği ve xx'in aralığını kullanarak yy'nin işaretini belirle.
x⋅y−y>0  ⟹  y(x−1)>0x \cdot y - y > 0 \implies y(x - 1) > 0. x<1x < 1 olduğundan x−1x-1 negatiftir. Çarpımın pozitif olması için yy de negatif (y<0y < 0) olmalıdır.
Eşitsizliklerde işaret incelemesi yaparak değişkenin aralığını daraltmak.
3
Üçüncü eşitsizliği kullanarak xx'in işaretini ve yy'nin alt sınırını belirle.
Eğer x>0x > 0 olsaydı, x(y−1)>0  ⟹  y>1x(y-1) > 0 \implies y > 1 olurdu ki bu y<0y < 0 ile çelişir. Demek ki x<0x < 0. O halde ∣x∣=−x|x| = -x olur. −x⋅y>x  ⟹  −x(y+1)>0-x \cdot y > x \implies -x(y+1) > 0. −x-x pozitif olduğundan y+1>0  ⟹  y>−1y+1 > 0 \implies y > -1.
Mutlak değer dışına çıkarma ve çelişki yöntemiyle değişkenin işaretini kesinleştirmek.
4
Bulunan aralıkları birleştirip seçenekleri değerlendir.
Sonuç olarak: x∈(−1,0)x \in (-1, 0) ve y∈(−1,0)y \in (-1, 0). Taraf tarafa toplarsak: (−1)+(−1)<x+y<0+0  ⟹  −2<x+y<0(-1) + (-1) < x + y < 0 + 0 \implies -2 < x + y < 0.
Elde edilen aralıkları toplayarak kesin yargıya varmak.

Anahtar Kavram

Basit eşitsizliklerde aralık analizi ve işaret incelemesi.

İpuçları

1
Birinci eşitsizliği kullanarak xx'in -1 ile 1 arasında olduğunu hatırlayın.
2
İkinci eşitsizlikte yy'yi sol tarafa atıp paranteze alarak işaret incelemesi yapın.
3
xx ve yy'nin her ikisinin de negatif basit kesir olduğunu bulduktan sonra, bu aralıktaki sayıların toplamının en az kaç olabileceğini düşünün.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru