x ve y sıfırdan küçük gerçel sayılar olmak üzere, x < y < 0 \neşitsizliği veriliyor. Buna … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

x

y

sıfırdan küçük gerçel sayılar olmak üzere,

x < y < 0

eşitsizliği veriliyor. Buna göre,

z = \frac{x+y}{x}

ifadesinin alabileceği değerler için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

A
$z < 0$
B
$0 < z < 1$
$1 < z < 2$ Cevap
D
$z > 2$
E
$z < -1$

Cevap

1 < z < 2

aralığı daima doğrudur.

z = \frac{x+y}{x} = 1 + \frac{y}{x}

olarak parçalandığında,

x < y < 0

durumu incelenirse

|x| > |y|

olduğu ve her ikisi de negatif olduğu için

\frac{y}{x}

değerinin

0

ile

1

arasında pozitif bir basit kesir olduğu görülür. Bu değere

1

eklenmesi,

z

sayısının kesinlikle

1

ile

2

arasında olmasını sağlar.

Adım Adım Çözüm

z

ifadesini terimlerine ayırarak yazın.

z = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} = 1 + \frac{y}{x}

Değişkenlerin sınırlarını daha kolay inceleyebilmek için ifadeyi sadeleştirmek gerekir.

x < y < 0

eşitsizliğinden

\frac{y}{x}

oranının aralığını bulun.

x < y < 0

eşitsizliğinin her tarafı

x

(negatif bir sayı) ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir:

\frac{x}{x} > \frac{y}{x} > \frac{0}{x} \Rightarrow 1 > \frac{y}{x} > 0

Eşitsizliğin her tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde yön değiştirir kuralı uygulanmalıdır.

Elde edilen

\frac{y}{x}

aralığına

1

ekleyerek

z

değerine ulaşın.

0 < \frac{y}{x} < 1

olduğuna göre her tarafa

1

eklenirse:

1+0 < 1+\frac{y}{x} < 1+1 \Rightarrow 1 < z < 2

z = 1 + \frac{y}{x}

olduğu için bu adım sonucun tam aralığını verir.

Anahtar Kavram

Negatif sayılarla bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi ve rasyonel ifadelerin parçalanması.

İpuçları

İfadeyi

z = \frac{x}{x} + \frac{y}{x}

şeklinde iki parçaya ayırarak incelemeyi deneyin.

x < y < 0

ise her iki tarafı negatif olan

x

sayısına böldüğünüzde eşitsizlik yönünün ne olacağını hatırlayın.

1 > \frac{y}{x} > 0

olduğunu bulduktan sonra, bu eşitsizliğin her tarafına

1

ekleyerek

z

ifadesini oluşturun.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin işaretlerinin farklı olduğu veya mutlak değer içeren eşitsizlik sorularına göz atabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

x = -2

y = -1

gibi sayısal değerler vererek

z = \frac{-2-1}{-2} = 1,5

olduğunu görebilir ve sonucun hangi aralığa düştüğünü kontrol edebilirsiniz. Ancak bu yöntem sadece bir örnek gösterir, kesin ispat için cebirsel çözüm tercih edilmelidir.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru