Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasit Eşitsizlikler
xx ve yy gerçel sayıları için,
x2<∣x∣ x^2 < |x|
x⋅y<x x \cdot y < x
x+y<0 x + y < 0
y2>y y^2 > y
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  1. y2>x2y^2 > x^2Cevap
  2. B
    x⋅y>0x \cdot y > 0
  3. C
    y>−1y > -1
  4. D
    x−y<1x - y < 1
  5. E
    1x<1\frac{1}{x} < 1

Cevap

y2>x2y^2 > x^2 ifadesi daima doğrudur.
xx sayısı 00 ile 11 arasında pozitif bir sayıdır. yy sayısı ise negatiftir ve x+y<0x+y < 0 olduğundan mutlak değerce xx'ten büyüktür (∣y∣>x|y| > x). Bu durumda yy'nin karesi kesinlikle xx'in karesinden büyük olur (y2>x2y^2 > x^2).

Adım Adım Çözüm

1
x2<∣x∣x^2 < |x| eşitsizliğini analiz et.
Bu eşitsizlik sadece −1<x<1-1 < x < 1 aralığında (sıfır hariç) sağlanır. Yani x∈(−1,0)∪(0,1)x \in (-1, 0) \cup (0, 1).
Bir sayının karesinin mutlak değerinden küçük olması için sayı basit kesir olmalıdır.
2
x⋅y<xx \cdot y < x eşitsizliğini incele (x(y−1)<0x(y-1) < 0).
İki durum vardır:
Durum 1: x∈(0,1)x \in (0, 1) (pozitif) ise, y−1<0  ⟹  y<1y-1 < 0 \implies y < 1.
Durum 2: x∈(−1,0)x \in (-1, 0) (negatif) ise, eşitsizlik yön değiştirir, y−1>0  ⟹  y>1y-1 > 0 \implies y > 1.
Eşitsizliğin her iki tarafı değişkene bölündüğünde işaretine dikkat edilmelidir.
3
y2>yy^2 > y ve x+y<0x + y < 0 koşullarını kullanarak doğru durumu belirle.
Durum 2 (xx negatif, y>1y > 1) için x+yx+y toplamı pozitif olur (çünkü y>1,x>−1y > 1, x > -1), bu x+y<0x+y<0 ile çelişir. Bu nedenle sadece Durum 1 geçerlidir: x∈(0,1)x \in (0, 1) ve y<0y < 0 (ayrıca y2>yy^2 > y sağlandığından yy negatiftir).
Çelişki analizi ile yanlış durum elenir.
4
x+y<0x+y < 0 eşitsizliğinden mutlak değer ilişkisini çıkar.
x+y<0  ⟹  y<−xx + y < 0 \implies y < -x. Her iki tarafın mutlak değeri alınırsa (y negatif, x pozitif), ∣y∣>∣x∣|y| > |x| olur.
Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının toplamı negatif ise, negatif sayının mutlak değeri daha büyüktür.
5
Sonucu seçeneklerle karşılaştır.
∣y∣>∣x∣|y| > |x| olduğundan, kareleri alındığında y2>x2y^2 > x^2 elde edilir.
Mutlak değerce büyük olan sayının karesi de büyüktür.

Anahtar Kavram

Basit eşitsizliklerde işaret incelemesi ve mutlak değer ilişkileri

İpuçları

1
x2<∣x∣x^2 < |x| eşitsizliği, xx sayısının hangi aralıkta olduğunu gösterir? Basit kesirleri düşünün.
2
xx ve yy işaretlerini bulmak için x⋅y<xx \cdot y < x eşitsizliğinde durumları inceleyin. xx pozitif ise yy ne olur, xx negatif ise yy ne olur?
3
xx pozitif (0,10,1 aralığında) ve yy negatiftir. x+y<0x+y < 0 olması, negatif olan yy'nin mutlak değerce xx'ten daha büyük olduğunu gösterir.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değer ve eşitsizlik içeren karmaşık sorular çözmeye devam edin.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde deneme yanılma yöntemi: x=0,5x=0,5 verin. x2<∣x∣x^2 < |x| sağlanır. 0,5⋅y<0,5  ⟹  y<10,5 \cdot y < 0,5 \implies y < 1. y2>y  ⟹  y<0y^2 > y \implies y < 0 veya y>1y > 1. Kesişim y<0y < 0. 0,5+y<0  ⟹  y<−0,50,5 + y < 0 \implies y < -0,5. Örnek y=−2y=-2. Şıkları deneyin: y2=4,x2=0,25  ⟹  4>0,25y^2=4, x^2=0,25 \implies 4 > 0,25.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru