Examkin

Soru

Zorluk: ZorTekrarlı Permütasyon

0, 0, 1, 2, 2, 3 rakamlarının tamamı kullanılarak 6 basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

  1. A
    60
  2. B
    90
  3. 120Cevap
  4. D
    180
  5. E
    360

Cevap

Verilen rakamlarla 120 farklı doğal sayı yazılabilir.
Verilen rakamlar kümesi {0,0,1,2,2,3}\{0, 0, 1, 2, 2, 3\} şeklindedir. Toplam 6 eleman vardır. Tekrarlı permütasyon formülü gereği tüm dizilimlerin sayısı 6!2!⋅2!=180\frac{6!}{2! \cdot 2!} = 180 olarak bulunur. Ancak bir doğal sayının basamak sayısı korunmak istendiğinde ilk basamağa 0 gelemez. 6 rakamdan 4 tanesi (1, 2, 2, 3) sıfırdan farklıdır. Dolayısıyla tüm dizilimlerin 46\frac{4}{6}'sı geçerli doğal sayılardır. Sonuç: 180⋅46=120180 \cdot \frac{4}{6} = 120 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam eleman sayısını ve tekrar eden elemanları belirle.
Toplam rakam sayısı n=6n=6. Tekrar edenler: iki adet 0, iki adet 2. (0,0,1,2,2,3)
Tekrarlı permütasyon formülünü doğru kurmak için n ve tekrar sayıları tespit edilmelidir.
2
Hiçbir koşul yokmuş gibi tüm durumların sayısını hesapla.
6!2!⋅2!⋅1!⋅1!=7202⋅2=7204=180\frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{720}{2 \cdot 2} = \frac{720}{4} = 180
Tüm dizilimleri bulup daha sonra kısıtlamayı uygulamak işlem kolaylığı sağlar.
3
Sıfırın başa gelememe kuralını uygula.
6 rakamdan 2 tanesi 0'dır, yani başa 0 gelme olasılığı 26\frac{2}{6}, gelmeme olasılığı 46=23\frac{4}{6} = \frac{2}{3}'tür.
Bir doğal sayı 0 ile başlayamaz. Bu yüzden toplam dizilimlerin sadece sıfırla başlamayan oranı geçerlidir.
4
Toplam sayıyı uygun oranla çarp.
180⋅23=120180 \cdot \frac{2}{3} = 120
Tüm durumların 23\frac{2}{3}'ü geçerli doğal sayılardır.

Anahtar Kavram

Sıfır içeren tekrarlı permütasyon sorularında, toplam permütasyon sayısı hesaplandıktan sonra, (Toplam Rakam - Sıfır Sayısı) / Toplam Rakam oranı ile çarpılarak geçerli durum sayısı bulunur.

İpuçları

1
Önce 0'ın başa gelme kuralını önemsemeden, bu 6 rakamla kaç farklı dizilim yapılabileceğini hesaplayın.
2
Bulduğunuz toplam sayıdan, 0 ile başlayanları çıkarmanız veya toplam sayıyı (Sıfır Olmayan Rakam Sayısı / Toplam Rakam Sayısı) oranıyla çarpmanız gerekir.
3
Tüm durumlar 180'dir. Rakamların 6 tanesinden 2 tanesi 0'dır, yani dizilimlerin 2/6'sı 0 ile başlar ve geçersizdir. Geriye kalan 4/6'lık kısım geçerlidir.

Daha Fazla Pratik

İçinde 0 bulunan rakamlarla oluşturulabilecek 7 basamaklı çift sayıların sayısını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Çıkarma Yöntemi: Tüm durumlar (180) - Sıfır ile başlayanlar. Sıfır ile başlayanlar için bir 0'ı başa sabitleyin, geriye {0,1,2,2,3} kalır. Bu 5 rakamın permütasyonu 5!/2! = 60'tır. Sonuç: 180 - 60 = 120.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru