Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBasit Eşitsizlikler
x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
x2⋅z<0 x^2 \cdot z < 0
x⋅y>0 x \cdot y > 0
x+z>0 x + z > 0
y+z<0 y + z < 0
eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
  1. z<y<xz < y < xCevap
  2. B
    z<x<yz < x < y
  3. C
    y<z<xy < z < x
  4. D
    x<y<zx < y < z
  5. E
    y<x<zy < x < z

Cevap

Doğru sıralama z<y<xz < y < x şeklindedir.
Verilen eşitsizliklerden zz'nin negatif, xx ve yy'nin pozitif olduğu anlaşılır. Toplam eşitsizliklerinden x>∣z∣x > |z| ve y<∣z∣y < |z| bağıntıları elde edilir. Bu bilgiler birleştirildiğinde negatif sayı en küçük (zz), pozitifler arasında ise mutlak değerce büyük olan xx, yy'den büyüktür. Doğru sıralama z<y<xz < y < x olur.

Adım Adım Çözüm

1
x2⋅z<0x^2 \cdot z < 0 eşitsizliğini analiz et.
z<0z < 0
x≠0x \neq 0 olduğu için x2x^2 daima pozitiftir. Çarpımın negatif olması için zz negatif olmalıdır.
2
x⋅y>0x \cdot y > 0 ve diğer bilgileri kullanarak xx ve yy'nin işaretini belirle.
x>0x > 0 ve y>0y > 0
x+z>0x + z > 0 olduğundan x>−zx > -z olur. zz negatif olduğu için −z-z pozitiftir, dolayısıyla xx kesinlikle pozitiftir. x⋅y>0x \cdot y > 0 olduğundan xx ve yy aynı işaretlidir, yani yy de pozitiftir.
3
xx ve zz arasındaki büyüklük ilişkisini kesinleştir.
∣x∣>∣z∣|x| > |z|
x+z>0⇒x>−zx + z > 0 \Rightarrow x > -z ifadesinde her iki taraf pozitiftir. Bu, xx'in mutlak değerce zz'den büyük olduğunu gösterir.
4
yy ve zz arasındaki ilişkiyi kullanarak yy'nin büyüklüğünü belirle.
∣y∣<∣z∣|y| < |z|
y+z<0⇒y<−zy + z < 0 \Rightarrow y < -z. Burada yy pozitif, −z-z de pozitiftir. Bu durum yy'nin mutlak değerce zz'den küçük olduğunu gösterir.
5
Tüm bulguları birleştirerek sıralamayı oluştur.
z<y<xz < y < x
Negatif olan zz en küçüktür. Pozitifler arasında ∣x∣>∣z∣>∣y∣|x| > |z| > |y| ilişkisinden dolayı x>yx > y bulunur. Sonuç: z<y<xz < y < x.

Anahtar Kavram

İşaret ve mutlak değer analizi
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru