Examkin

Soru

Zorluk: ZorTekrarlı Permütasyon

0,1,1,2,2,3,30, 1, 1, 2, 2, 3, 3 rakamlarının yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek 77 basamaklı çift doğal sayıların sayısı kaçtır?

  1. A
    150
  2. B
    180
  3. C
    210
  4. 240Cevap
  5. E
    270

Cevap

Verilen rakamlarla 240 farklı 7 basamaklı çift doğal sayı yazılabilir.
Çift sayı olması için son basamak {0} veya {2} olmalıdır. Sıfırın başa gelme kısıtlaması nedeniyle bu iki durum ayrı ayrı hesaplanır. Sonu 0 olanlar için 90 durum, sonu 2 olanlar için (başta 0 olmayanlar dahil) 150 durum bulunur. Toplamda 240 farklı sayı yazılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sayının çift olması için birler basamağının çift rakam olması gerekir.
Birler basamağı 0 veya 2 olabilir. Bu durum iki ayrı kuralda incelenmelidir.
Sıfırın (0) hem çift sayı şartını sağlaması hem de başa gelememe kuralını etkilemesi nedeniyle ayrı incelenmesi gerekir.
2
1. Durum: Sayının sonunun 0 ile bitmesi durumunu hesapla.
Kalan rakamlar: 1, 1, 2, 2, 3, 3. Permütasyon sayısı: 6! / (2! . 2! . 2!) = 720 / 8 = 90.
Son basamak 0 olduğunda, 0 başa gelemeyeceği için ayrıca çıkarmaya gerek yoktur.
3
2. Durum: Sayının sonunun 2 ile bitmesi durumunu hesapla.
Kalan rakamlar: 0, 1, 1, 2, 3, 3. Toplam dizilim: 6! / (2! . 2!) = 180.
Bu dizilimlerin içinde 0'ın başa geldiği geçersiz durumlar da vardır.
4
2. Durum için geçersiz (0 ile başlayan) dizilimleri çıkar.
Başa 0, sona 2 sabitlendiğinde araya (1, 1, 2, 3, 3) kalır. Dizilim: 5! / (2! . 2!) = 120 / 4 = 30. Geçerli Sayı: 180 - 30 = 150.
7 basamaklı sayı olması için 0 ile başlayanlar çıkarılmalıdır.
5
Her iki durumun sonuçlarını topla.
Toplam = 90 + 150 = 240.
İki durum birbirinden bağımsızdır (bir sayı aynı anda hem 0 hem 2 ile bitemez), bu yüzden toplanır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon problemlerinde, '0' rakamı varsa ve özel şartlar (çift sayı vb.) isteniyorsa, 0'ın birler basamağında olduğu durum ile diğer çift sayıların birler basamağında olduğu durumlar ayrı ayrı incelenmelidir.

İpuçları

1
Sayının çift olması için birler basamağına hangi rakamlar gelebilir?
2
0 rakamı hem çiftlik şartını sağlar hem de başa gelemez. Bu yüzden son basamağın 0 olduğu durum ile 2 olduğu durumu ayrı ayrı hesaplamalısın.
3
Sonu 0 ise kalanları sırala. Sonu 2 ise tüm sıralamadan 0 ile başlayanları çıkar.

Daha Fazla Pratik

Rakamlar arasında 0 bulunmayan bir küme ile çift sayı oluşturma sorusu çözerek farkı pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlar (çift olma şartı olmadan) hesaplanıp, tek sayı olma durumları çıkarılarak da bulunabilir, ancak bu soruda tek sayılar (1 ve 3 ile bitenler) daha fazla durum oluşturacağı için bu yöntem daha uzundur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru