Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasamak Analizi ve Çözümleme
A,BA, B ve CC sıfırdan farklı birer rakam ve AB,BC,CAAB, BC, CA iki basamaklı doğal sayılar olmak üzere,
ABC=2⋅(AB+BC+CA)ABC = 2 \cdot (AB + BC + CA)
eşitliğini sağlayan kaç farklı ABCABC üç basamaklı doğal sayısı vardır?
  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Cevap
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

Şartları sağlayan 3 farklı sayı vardır.
Verilen eşitlik çözümlendiğinde 26A=4B+7C26A = 4B + 7C bağıntısı elde edilir. Bu eşitliği sağlayan (A,B,C)(A,B,C) üçlüleri (1,3,2)(1,3,2), (2,6,4)(2,6,4) ve (3,9,6)(3,9,6) olmak üzere toplam 3 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikteki sayıları çözümleyerek basamak değerlerine göre yazalım.
100A+10B+C=2⋅[(10A+B)+(10B+C)+(10C+A)]100A + 10B + C = 2 \cdot [(10A + B) + (10B + C) + (10C + A)]
Sayıların basamak değerlerini kullanarak denklemi rakamlar cinsinden ifade etmek için.
2
Parantez içindeki ifadeleri toplayıp denklemi düzenleyelim.
100A+10B+C=2⋅(11A+11B+11C)⇒100A+10B+C=22A+22B+22C100A + 10B + C = 2 \cdot (11A + 11B + 11C) \Rightarrow 100A + 10B + C = 22A + 22B + 22C
Denklemi sadeleştirmek için.
3
Aynı türden terimleri bir araya getirip en sade hali elde edelim.
78A−12B−21C=078A - 12B - 21C = 0. Her tarafı 3'e bölelim: 26A=4B+7C26A = 4B + 7C.
Bilinmeyenler arasındaki ilişkiyi daha net görmek için.
4
A'nın alabileceği değerleri sınırlandıralım. B ve C en fazla 9 olabilir.
4B+7C4B + 7C ifadesinin maksimum değeri 4(9)+7(9)=36+63=994(9) + 7(9) = 36 + 63 = 99 olur. Bu durumda 26A≤9926A \le 99 olduğundan AA rakamı sadece 1, 2 veya 3 olabilir.
Deneme yanılma kümesini daraltmak için.
5
A'nın olası değerleri (1, 2, 3) için denklemi sağlayan B ve C rakamlarını bulalım.
Durum 1 (A=1A=1): 26=4B+7C26 = 4B + 7C. C=2C=2 ise 26=4B+14⇒12=4B⇒B=326 = 4B + 14 \Rightarrow 12 = 4B \Rightarrow B=3. Sayı: 132.
Durum 2 (A=2A=2): 52=4B+7C52 = 4B + 7C. C=4C=4 ise 52=4B+28⇒24=4B⇒B=652 = 4B + 28 \Rightarrow 24 = 4B \Rightarrow B=6. Sayı: 264.
Durum 3 (A=3A=3): 78=4B+7C78 = 4B + 7C. C=6C=6 ise 78=4B+42⇒36=4B⇒B=978 = 4B + 42 \Rightarrow 36 = 4B \Rightarrow B=9. Sayı: 396.
Her bir durum için geçerli çözüm olup olmadığını kontrol etmek için.

Anahtar Kavram

Sayıların çözümlenmesi ve katsayılı Diophantine (tam sayı) denklemlerinin analizi.

İpuçları

1
Eşitliğin her iki tarafındaki sayıları çözümleyerek (100A+10B+C100A+10B+C gibi) yazın.
2
Denklemi sadeleştirdiğinizde 26A=4B+7C26A = 4B + 7C eşitliğini elde etmelisiniz.
3
BB ve CC rakamlarının en fazla 9 olabileceğini düşünerek AA'nın alabileceği maksimum değeri belirleyin.

Alternatif Yöntem

Bulduğunuz ilk sayı 132'dir. Diğer sayıların bunun katları olup olmadığını (örneğin 132×2132 \times 2, 132×3132 \times 3) kontrol ederek hızlıca bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Basamak Analizi ve Çözümleme

Bu konudan daha fazla soru