Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBasamak Analizi ve Çözümleme
A,BA, B ve CC sıfırdan farklı birer rakam ve A>B>CA > B > C olmak üzere;
ABCABC üç basamaklı, XYXY iki basamaklı doğal sayıları için,
ABC−(A+B+C)9=XY \frac{ABC - (A + B + C)}{9} = XY
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı ABCABC doğal sayısı vardır?
  1. A
    35
  2. B
    49
  3. 56Cevap
  4. D
    63
  5. E
    84

Cevap

Koşulu sağlayan 56 farklı ABC sayısı vardır.
Verilen eşitlik çözümlendiğinde 11A+B=XY11A + B = XY elde edilir. XYXY iki basamaklı olduğundan sonuç 100'den küçük olmalıdır. A>B>C>0A > B > C > 0 şartıyla:
A=3A=3 için 1 durum,
A=4A=4 için 3 durum,
A=5A=5 için 6 durum,
A=6A=6 için 10 durum,
A=7A=7 için 15 durum,
A=8A=8 için 21 durum oluşur.
A=9A=9 için 11(9)+B>9911(9)+B > 99 olduğundan çözüm yoktur.
Toplam: 1+3+6+10+15+21=561+3+6+10+15+21 = 56 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte basamak çözümlemesi yap.
(100A+10B+C)−(A+B+C)9=10X+Y  ⟹  99A+9B9=XY\frac{(100A + 10B + C) - (A + B + C)}{9} = 10X + Y \implies \frac{99A + 9B}{9} = XY
Sayıları basamak değerlerine ayırarak denklemi sadeleştirmek gerekir.
2
Sadeleşmiş denklemden XY sayısını A ve B cinsinden ifade et.
11A+B=XY11A + B = XY. Burada XYXY iki basamaklı bir sayı olduğundan 11A+B≤9911A + B \le 99 olmalıdır.
XY'nin iki basamaklı olma şartı, A ve B değerleri üzerinde bir üst sınır oluşturur.
3
A > B > C > 0 şartına uygun A değerleri için kaç farklı (A,B,C) üçlüsü olduğunu hesapla.
A en az 3 olabilir (3>2>1). Her A değeri için olası B ve C sayılarını analiz edelim.
A'nın alabileceği değerlere göre B ve C'nin kombinasyonlarını sistemli bir şekilde saymak gerekir.
4
Her A değeri için durum sayılarını topla.
Toplam = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 56
Üçgensel sayı örüntüsü ile her basamak için geçerli sayı adedini bulup topluyoruz.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayma Kuralları

İpuçları

1
Eşitliğin sol tarafındaki ABC−(A+B+C)ABC - (A+B+C) ifadesini basamak değerlerini kullanarak açın (Örn: 100A+10B+C100A+10B+C). Sadeleşme sonrası XYXY sayısını AA ve BB cinsinden bulmaya odaklanın.
2
Denklem 11A+B=XY11A + B = XY haline gelir. XYXY iki basamaklı bir sayı olduğu için 11A+B<10011A + B < 100 olmalıdır. Bu şartı ve A>B>C>0A > B > C > 0 eşitsizliğini sağlayan AA değerlerini deneyin.
3
AA rakamı 3'ten başlayıp en fazla 8 olabilir. A=9A=9 olduğunda 11×9+B11 \times 9 + B değeri 100'ü geçer. Her bir AA değeri için kaç farklı (B,C)(B, C) ikilisi yazılabileceğini tek tek sayıp toplayın.
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Basamak Analizi ve Çözümleme

Bu konudan daha fazla soru